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河北辛集中学 2025-2026 学年第二学期开学收心练习 高三数学试卷
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.)
1. 已知集合 ，则( )
A. B.
C. D.
2. 若复数 满足 ，则 ( )
A. 4 B. 3 C. 1 D. 2
3. 记 为正项等比数列 的前 项和,已知 ,则该数列的公比为( )
A. 4 B. -1 C. 1 D. 2
4. 若倾斜角为锐角且过点 的直线 截圆 所得弦长为 2,则 的斜率为 ( )
A. B. C. D. 1
5. 已知函数 是奇函数,则 ( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
6. 高和底面圆直径均为 2 的圆锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7. 函数 的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知过点 作抛物线 的两条切线，分别交 轴于点 ，则 外接圆的方程为 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 下列说法正确的是( )
A. 如果一组数据的极差为 0 , 则这组数据的方差也为 0
B. 经验回归直线至少经过一个样本点
C. 若事件 满足 ,且 ,则事件 独立
D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数 的值越接近于 1
10. 已知双曲线 的渐近线方程为 ,虚轴长为 4,则( )
A. 的焦距为
B. 的方程为
C. 的焦点到渐近线的距离为 2
D. 与直线 仅一个公共点
11. 已知函数 ,若函数 有 4 个零点,且其 4 个零点 , 成等差数列,则 ( )
A. 函数 是偶函数 B.
C. D.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分.)
12. 若随机变量 ,且 ,则
13. 若 的展开式中二项式系数之和为 32，则展开式中 的系数为_____.
14. 如图,斜率为 的直线与椭圆 交于 两点,与 轴、 轴分别交于点 ， ，若 ，则椭圆 的焦距为_____.
四、解答题(本题共 5 个大题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
15. 已知函数 .
(1)求函数 在 上的单调递增区间；
(2)若函数 在 上的值域为 ，求 的取值范围.
16. 在三棱柱 中，底面 是正三角形， ， .
(1)求证: ；
(2)若 ，且 ，求直线 与平面 ，所成角的余弦值.
17. 已知数列 满足， .
(1)若数列 是等差数列，求 的值；
(2)当 时,求数列 的前 项和 .
18. 为提升工作效率, 某公司对员工进行了培训. 公司规定: 只有培训合格才能上岗, 否则将补训.
(1)若员工甲、乙培训合格的概率分别为 ，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛. 已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 近似服从正态分布 ，若该集团共有 2000 名员工，试估计这些员工中成绩超过 93 分的人数;(结果精确到个位)
(3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下:共有 3 道题,每答对 1 道题奖励现金 800 元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 , 且每题答对与否都相互独立,记甲获得总奖金为 元,求 的分布列与数学期望 .
参考数据: 若 ,则 ,
19. 已知椭圆 的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ， .
(1)求 的方程；
(2)已知动点 不在 轴上，点 在射线 上，且满足 .
(i) 设 ,求 的坐标 (用 表示);
(ii) 设 为坐标原点, 是 上的动点,直线 的斜率为直线 的斜率的 3 倍,求 的最大值.
1. B
集合 ,当 时, ,
当 时, ,故 选项错误;
集合 对 都成立,
故集合 ， 选项错误， 选项正确.
故选: B
2. C
设 ,
由 ,则 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,
故选: C.
3. D
设公比为 ,
若 ,则由 ,可得 ,解得 ,不符合题意,所以
由 ,则 ,显然 ,
所以 ,即 ,
即 ,解得 (负值已舍去).
故选: D
4. A
由题可得,直线 斜率存在,故设 斜率为 ,
直线 的方程: ,化为一般式: ,
圆 圆心坐标为 ,半径 ,
设圆心到直线的距离为 ,
则直线 截得圆的弦长 ,即 ,
代入得: ,
化简计算得: ,
,解得: .
故选: A
5. D
由题意知 ,所以 ,
当 时,由 可得: 此时等式 恒成立,
即 ,
则 ,
故选: D
6. C
设外接球的半径为 ,依题意可得 ,解得 ,
所以圆锥的外接球的表面积 .
故选:
7.
因为 ,即 ,所以 ,
所以函数 的定义域为 ,关于原点对称,
又 ,所以函数 是奇函数,其图象关于原点对称,
故排除 ;
当 时, ,即 ,因此 ,故排除 .
故选: D.
8. B
设切线方程为 .
由 ,得 .
由 ,得 .
所以切线方程为 .
令 ,得 或 .
所以 ,或 .
设 外接圆的方程为 ,
则 解得 .
所以 外接圆的方程为 .
故选: B.
9. AC
对于选项 A: 如果一组数据的极差为 0 , 则这组数据为同一实数,
所以这组数据的方差也为 0 , 故 A 正确;
对于选项 B: 回归直线恒过样本点的中心，但可以不经过任何一个样本点，故 B 错误；
对于选项 C: 因为 ,
则 ,
且 ,所以事件 独立,故 正确;
对于选项 D:若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的绝对值越接近于 1 , 故 D 错误;
故选: AC.
10. CD
依题意, ,即 ,
若双曲线焦点在 轴上,则由 ,解得 ,
所以 ,所以焦距为 ,
若焦点在 轴上,则 ,解得 ,所以 ,
所以焦距为 ,故 A 错误;
由 选项分析可知,双曲线 的焦点位置不确定,方程有两个,故 错误;
若双曲线焦点在 轴上,由双曲线的对称性,不妨取焦点 ,渐近线 ,
则焦点到渐近线的距离 ,
同理双曲线焦点在 轴上,可得 ,故 正确;
因为 与双曲线的一条渐近线 平行，故 与直线 仅一个公共点, 所以 D 正确,
故选: CD
11. ACD
因为 ,所以当 时, ,
当 时, ,其图象如图所示,
对于选项 ,因为 的定义域为 关于原点对称,
又 ,所以选项 正确,
由图知 ,且 ,
又 成等差数列,所以 ,又 ,得到 ,所以选项 错误,
对于选项 ,因 ,得到 ,所以
,故选项 正确;
对于选项 ,又 ,所以 ,得到 ,
所以 ,故选项 D 正确,
故选: ABD.
12.
因为随机变量 ,所以 ,
所以 .
故答案为: 0.7 .
13. 40
二项式系数之和为 ,所以 ,
因为 的展开式的通项公式为:
当 时,所以 ,
则展开式中 的系数为 40 .
故答案为: 40 .
14.
设 ,又因为 ,
所以 ,则 ,则
由 ,两式相减得 ,
即 ，因为 ，所以 ，所以 ，
,所以 ,解得 ,
所以 ,所以椭圆 的焦距为 .
故答案为: .
15. (1)
(2)
(1) 函数 ,
由 ,得 ,则当 ,即 时,函数 单调递增, 所以函数 在 上的单调递增区间是 .
(2)由 ，得 ，而函数 在 上的值域为 ， 则 ,解得 ,
所以 的取值范围为 .
16.1)过点 作 平面 于点 平面 ,所以 ,
又 平面 ,
平面 平面 ,
同理可证 ,又 是正三角形,则 是 的中心,
连接 并延长交 于 ，则 分别为 的中点，
又 平面 平面 ,故 ,
同理可证 ,
综上, .
(2)法一:由(1)知，三棱锥 是正三棱锥，
且 在底面 内的投影为等边 的中心 ，
又 ,故三棱锥 的三个侧面
均为直角三角形,
且 ,则 ,又 ,
可知 ,则 ,
解得 ,在平面 中过 作 ,
交 延长线于点 ,则 平面 ,
则 即为直线 与平面 所成角,其中
故
即直线 与平面 所成角的余弦值 .
法二: 以 的中点 为坐标原点,以 为 的正方向, 过 且与 平行的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
因为 ,
则 ,取 ,则 ,
又 ，
设直线 与平面 所成角为 ,
所以 ,故 ,
即直线 与平面 所成角的余弦值 .
17. (1) ；(2) .
( 1 )解法一: 数列 是等差数列，
由 ,得 ,
,
即 ,解得 .
解法二: 在等差数列 中,
由 ,得 ,
.
又 .
(2)由题意知，①当 为奇数时，
.
② 当 为偶数时，
.
综上, .
18.(1)分别记甲、乙培训合格为事件 ,
则甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率:
(2)由已知得 的近似值为 的近似值为 3,
所以 ,
而 ,
所以估计这些员工中成绩超过 93 分的人数为 317 .
(3) 的所有可能取值为 0,800,1600,2400 .
且 ,
所以 的分布列为
0 800 1600 2400
1 9 64 27 64 27 64
19. (1)
(2)(i) (ii)
(1)由题可知, ,所以 ,解得 , 故椭圆 的标准方程为 ;
(2)(i)设 ，易知 ，
法一: 所以 ,故 ,且 .
因为 ,所以 ,
即 ,解得 ,所以 ,
所以点 的坐标为 .
法二: 设 ,则 ,所以 ,故点 的坐标为 .
(ii) 因为 ,由 ,可得 ,化简得 ,即 , 所以点 在以 为圆心, 为半径的圆上 (除去两个点), 为 到圆心 的距离加上半径,
法一: 设 ,所以
,当且仅当 时取等号,
所以 .
法二: 设 ,则 ,
,当且仅当 时取等号,
故 .

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