资源简介

2025-2026 学年高三下学期开学考试 数学试题
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中，只有一项符合要求)
1. 在复平面内,复数 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
3. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 下列结论中, 错误的是 ( )
A. 数据4,1,6,2,9,5,8的第 60 百分位数为 6
B. 若随机变量 ,则
C. 已知经验回归方程为 ,且 ,则
D. 根据分类变量 与 成对样本数据,计算得到 ,依据小概率值 的 独立性检验 ,可判断 与 有关联,此推断犯错误的概率不大于 0.001
5. 已知圆 是圆 上的两个动点,且 , 则 ( )
A. 4 B. C. 16 D. 8
6. 某次市运会跳水项目的预赛中有 6 名参赛选手,其中 校有 3 名, 校有 2 名, 校有 1 名. 现要求 校 2 名选手的出场均不能和 校选手的出场相邻,则这 6 名选手不同出场顺序的种数为( )
A. 144 B. 288 C. 360 D. 432
7. 已知函数 ,若不等式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,若 ,存在 ,使得 成立,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求.
9. 已知 是等差数列 的前 项和, ,则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
10. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于点 ， ( 在第一象限)，以 为直径的圆 与 的准线相切于点 . 若 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 三点共线
B. 的斜率为
C. D. 圆 的半径是 4
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ; 过右焦点 向一条渐近线作垂线，垂足为 ，线段 与双曲线 交于点 ，则()
A.
B. 当 时, 面积的最大值为 16
C. 当 时,双曲线 的离心率为
D. 当 时,双曲线的渐近线方程为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 双曲线 的焦点坐标为_____.
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 ,点 是第一象
限内双曲线 上的一点,满足 . 记 的面积分别为 、 , 则
14. 已知函数 ,则不等式 的解集为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤.
15. 在 中, .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积；
(3)在(2)的条件下，求 的角平分线 的长.
16. 在直角梯形 中, ,如图(1). 把 沿 翻折,使得平面 平面 .
图(1)
图(2)
(1)求证: ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角为 ？若存在，求出 的值； 若不存在, 说明理由.
17. 如图,在四棱锥 中,底面 为平行四边形, , ,点 是 的中点, .
(1)证明: ；
(2)棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，请确定点 的位置; 否则,请说明理由.
18. 已知点 ,动点 满足 ,动点 的轨迹记为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与 轴交于点 为 上的动点，过 作 的两条切线，分别交 轴于点 .
①证明:直线 的斜率成等差数列；
② 经过 三点，是否存在点 ，使得 ？若存在，求 ；若不存在， 请说明理由.
19. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 零点个数；
(3)若 是函数 的两个零点,证明: .
1. D
复数 ,
其在复平面内所对应的点 位于第四象限,
故选: D.
2. B
设等差数列 的首项为 ,公差为 ,
由题知 ,解得 ,
从而 .
故选: B
3. A
因为 ,
所以 ,
所以
故选: A
4. D
A 选项,数据4,1,6,2,9,5,8排序后得到1,2,4,5,6,8,9,
,故选取第 5 个数据作为第 60 百分位数,即为 正确;
B 选项，因为 ，根据对称性可知 ，
故 , B 正确;
选项，已知经验回归方程为 ，且 ，则 ，
解得 正确;
D 选项, ,故不能得到此结论, 错误
故选: D
5. D
因为 是圆 上的两个动点,
所以 ,所以
.
因为 ,所以 .
故选: D.
6. B
记 校 2 名选手分别为甲、乙,
记事件 : 甲与 校选手的出场相邻,事件 :乙与 校选手的出场相邻,如下图所示:
事件 为: 校选手的两边为甲和乙,
则满足题意的排法种数为
种.
故选: B.
7. D
由于函数 ,定义域为 ,满足 ,
得 是奇函数,且在 上为减函数.
在 上恒成立, 在 上恒成立,
在 上恒成立, 在 上恒成立.
令 ,则 ,
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减,在 上单调递增,
,即 的取值范围为 ,
故选: D.
8. B
因为 ,所以 ,
将其解集(部分)在数轴上表示如下:
若 ,存在 ,使得 成立,
则区间 的长度大于等于相邻两个解集之间的长度,
即 ,即 ,
又 ,所以 ,所以 的最大值为 .
故选: B.
9. BCD
在等差数列 中, ,解得 ,则公差
对于 , A 错误;
对于 正确;
对于 正确;
对于 ,因此 正确.
故选: BCD
10. ACD
连接 ,则 为圆 的半径,过 作准线的垂线,垂足为 ,过 作准线的垂线,垂足为 ,连接 ,如图,
对于 A， ，则 三点共线，A 正确；
对于 ,由 为直径,得 ,而 ,则 ,
而 为等腰三角形，则 ， ，于是 ，
即直线 的倾斜角为 ,其斜率为 , B 错误;
对于 ,点 ,直线 的方程为 ,由 得 , 解得 ,则 ,即 正确;
对于 ,由 ,得 ,则圆 的直径是 8,其半径为 正确. 故选: ACD
11. ACD
因为双曲线 的左、右焦点分别为 ,
所以 ,渐近线为 .
假设过右焦点 向一条渐近线 作垂线,垂足为 ,
则 为点 到渐近线 即 的距离,即 , A 正确;
当 时, ,所以 .
所以 的面积为 .
在直角三角形 中， ，所以 .
所以 ,所以 ,所以 .
由于 ,当且仅当 时等号成立,此时 的面积取最大值为 8,
B 错误;
因为 ,所以点 是 的中点,因为 ,所以 .
又点 在双曲线上,所以 ,化简得 .
所以解得双曲线的离心率为 , 正确;
设 ,由点 在 到渐近线的垂线段上,
直线 的斜率为 ,所以直线 的方程为 ,
,设 ,所以
设 ,所以 ,解得 ,而 .
所以 ,则 .
在 中,由余弦定理得 ,
利用关系式 ,
即 ,化简得 ,
将 的表达式代入,得到关于 的方程,化简后可解得 ,
故渐近线方程为 , D 正确.
故选: ACD.
12.
由双曲线方程 得双曲线焦点在 轴上,且 , 所以双曲线 的焦点坐标为 ,
故答案为:
13. 8
如图,设 的内切圆与三边分别相切于 ,可得 , 又由双曲线定义可得 ,则
又 ,解得 ,则 点横坐标为 ,即内切圆圆心横坐标为 . 又 ,可得 ,化简得 ,即 ,
即 是 的平分线,由于 ,可得 即为 的内心,且半径 为 2, 则 . 即 .
故答案为: 8 .
14.
当 时, ,所以 ,
所以 在 上单调递增,所以 ;
当 时, ,
因为 在 上单调递减, 在定义域内单调递增,
所以 在 上单调递减,
因为 在 上单调递增,
所以 在 上单调递增,
所以 ;
所以 在 上单调递增.
令 ,因为 在 上单调递增,所以 在 上单调递增,
所以 在 上单调递增,且 ,
故不等式 可化为 ,所以 ,
所以不等式 的解集为 .
故答案为:
15. (1) 3
(2)
(3)
( 1 ) , 由 得 .
(2)由(1)得 ，
或 (舍去),
的面积 .
(3)设 ，
则 ,
,
.
16.
(1)因为 ，且 ，
可得 ，
又因为 ,可得 ,
所以 ,则 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 ,且 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ,
所以 ;
(2)因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
如图所示，以点 为原点，建立空间直角坐标系，
可得 ,
所以 .
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,可得 ,所以 ,
假设存在点 ，使得 与平面 所成角为 ，
设 ,(其中 ),则 ,
所以 ,
整理得 ,解得 或 (舍去),
所以在线段 上存在点 ,使得 与平面 所成角为 ,此时 .
17.(1)证明: 底面 为平行四边形， ， ， 在 中， ， ，
,
,即 ,
平面 ,
平面 平面 ,
四边形 为平行四边形, .
(2)解:由(1)得 平面
平面 平面 ,
,
以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
假设存在点 ,设 ,
,
设 是平面 的一个法向量,
则 ,即
令 ,则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
或 (舍去),
,即点 是 的中点.
棱 的中点 ,使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18.(1) 因为 ,
所以 的轨迹是以 为焦点,且长轴长为 4 的椭圆,
设 的轨迹方程为 ,则 ,可得 .
又 ,所以 ,所以 的方程为 .
(2)设 ，易知过 且与 相切的直线斜率存在，设直线方程为 ，联立
由 ,得 ,
设两条切线 的斜率分别为 ,则 .
①证明:设 的斜率为 ，则 ，
因为 ,所以 的斜率成等差数列.
②法 1: 在 中,令 ,得 ,所以 ,
同理,得 ,所以 的中垂线为 .
易得 的中点为 ,所以 的中垂线为 ,
联立 解得 ,
所以 ,
要使 ，则 ，即 ，
整理得 ,
而 ,
所以 ,解得 ,因此 ,
故存在符合题意的点 ,使得 ，此时 .
法 2: 在 中,令 ,得 ,因此 ,
同理可得 ,所以 的中垂线为 .
易得 的中点为 ,所以 的中垂线为 ,
联立 解得 ,
因为 ,所以 ,即 ,
而 ,
所以 ,解得 ,因此 ,
故存在符合题意的点 ,使得 ，此时 .
法 3: 要使 ,即 或 ,
从而 ，又 ，所以 ，
因为 ,
所以 ,解得 ,所以 ,
故存在符合题意的点 ,使得 ,此时 .
法 4: 要使 ,即 或 ,从而 .
在 中,令 ,得 ,故 ,同理可得 ,因此 ,
所以 ,
故 ,即 ,
整理得 ,
所以 ,整理得 ,解得 或 -9 (舍去),
因此 ,故存在符合题意的点 ,使得 ,
此时 . 法 5: 要使 ,即 或 ,从而 .
在 中,令 ,得 ,故 ,同理可得 ,
由等面积法得 ,
即 ,整理得 ,
所以 ,整理得 ,解得 或 -9 (舍去),
因此 ,故存在符合题意的点 ,使得 ,
此时 .
19.(1) 当 时,则 ,
,
在点 处的切线方程为 ,
即 ,即 .
(2)令 ，因为 ，所以 ，
令 ,则 ,
令 ,则 ; 令 ,则 或 ;
的递增区间为 ,递减区间为 和 ;
是 的极小值, 是 的极大值,
当 时, ; 当 时, 且 ,
则 的零点个数即为 与 的交点个数,
当 时， 与 无交点，即函数 无零点；
当 或 时， 与 有且仅有 1 个交点，即函数 有 1 个零点；
当 时， 与 有 2 个交点，即函数 有 2 个零点；
当 时, 与 有 3 个交点,即函数 有 3 个零点.
综上可得,当 时,函数 无零点;
当 或 时,函数 有 1 个零点;
当 时,函数 有 2 个零点;
当 时，函数 有 3 个零点.
(3)由题意得 ,
是方程 的两个正实数根,
由(2)可知 在 上单调递增,
在 单调递减,且 ,要证 ,
需证 ,只需证 ,
,只需证 ,即需证 ,
两边取对数,整理得 ,
令 ,则 ,
在 上单调递增, ,
成立,

展开更多......

收起↑