资源简介

浙教版七（下）数学第三章 整式的乘除 单元测试提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026八上·安州期末）将展开，若整理后不含x的二次项，则k的值为（　　）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(x-k)(x2-2x+5)=x2-kx2-2x2+2kx+5x-5k=x2-(k+2)x2+(2k+5)x-5k.
∵整理后不含x的二次项，
∴-k-2=0，解得k=-2
故答案为：C.
【分析】将两个多项式相乘展开，合并同类项后，令x2项的系数为零，解出k的值.
2．（2026八上·安州期末）若等式（3a+5b）（　　）=9a2-25b2成立，则括号内所填的代数式是（　　）
A．3a+5b B．-3a+5b C．3a-5b D．-3a-5b
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(3a+5b)(3a-5b)=9a2-25b2，
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式进行计算，即可解答.
3．（2026八上·临夏期末）如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为（a b）2，
图2中阴影部分的面积a2 2ab＋b2，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得（a b）2＝a2 2ab＋b2．
故答案为：C．
【分析】利用不同的表达式表示两个图形中的阴影部分的面积即可得到公式.
4．（2024八下·南宁月考）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
整理，得，
∴，
∴．
故选D．
【分析】表示面积，，然后根据题意得到，然后整理得到a，b的关系解答即可．
5．（2025七下·青羊月考）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（）．则①；②；③中，正确的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】①根据图示分析可得：，该结论正确。②图示表明：，推导得出：，因此：，该结论正确。③图示显示：，结合①中，根据平方差公式：，即：，该结论正确。综上所述，正确的结论是①②③，故选：A。
【分析】本题通过几何图形验证了平方差公式和完全平方公式的变形应用：结论①直接由图形关系得出；结论②通过面积差与矩形面积的关系推导；结论③运用平方差公式进行代数转换。解题关键在于理解、和之间的相互转换关系。
6．（2024七下·青州月考）若，，则的值为（ ）
A． B．24 C．25 D．50
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
两式相加得：，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式结合题意展开得到，，进而根据整式的加减运算将两式相加即可求解。
7．（2025七下·滨江期中）如图1，现有边长为b和a十b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，α的长方形纸片一张。把纸片Ⅰ，Ⅲ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积S1和S2满足S1=4S2，则a，b满足的关系式为（　　）
A．b=4a B．b= 3A C．b=2a D．b=1.5a
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可得S1=(a+b)2-b2-(a+b-b)a=a2+2ab+b2-b2-a2=2ab，S2=a(b+b-a-b)=ab-a2，
∵S1=4S2
∴2ab=4(ab-a2)
∴2ab=4a2，
∴b=2a.
故答案为：C.
【分析】结合图形根据正方形及长方形面积计算公式，由S1=边长为(a+b)的正方形的面积-边长为b的正方形的面积-长为a、宽为(a+b-b)的矩形面积，S2=长为a、宽为(b+b-a-b)的矩形的面积，分别列出式子，结合整式混合运算顺序计算出S1与S2，再结合S1=4S2建立等式，整理化简即可.
8．（2025八上·唐山月考）计算（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】本题核心是逆用同底数幂乘法和积的乘方法则简化运算。首先将带分数转化为假分数，便于后续幂的运算。观察到两个幂的指数相近，逆用同底数幂乘法法则，将拆分为，此时式子变为。再运用积的乘方法则的逆运算，将与结合，得到，计算括号内结果为，再结合剩余的得出答案。
9．（2023七下·镇海区期末）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（　　）
A．（1）与（2）的周长之差 B．（3）的面积
C．（1）与（3）的面积之差 D．长方形的周长
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，长方形的宽为，长方形的长为，
则长方形面积为：，
∵①②是两个面积相等的梯形，
∴，
∴，即，
∴长方形面积为：，
∵①与②的周长之差为：，
∴A选项的条件不能求出长方形面积；
∵③的面积为：，
∴B选项的条件不能求出长方形面积；
∵①与②的面积之差为：，
∴C选项的条件不能求出长方形面积；
长方形的周长为：，
∴D选项的条件能求出长方形面积．
故答案为：D.
【分析】 设正方形的边长为a，长方形的宽为a+x，长方形的长为2a+y，根据①②面积相等结合梯形面积公式建立等式得y=2x，根据长方形面积计算公式表示出长方形的面积为2(a+x)2，然后再根据图形周长及面积计算公式逐项判断得出答案.
10．（2024七下·温州期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：将B向左推，可得如图，
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，
根据图2是正方形，得，
即，
由图（2）两个A的位置，可得即，
∴图2正方形边长为
∴，
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，即可得出和，再结合题意得到，然后代入计算解题．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2026八上·望城期末）如果a+3b-2=0，那么3a×27b的值为　 　 .
【答案】9
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵a+3b-2=0，
∴a+3b=2，
∴3a·27b=3a×33b=3a+3b=32=9
故答案为：9
【分析】首先由条件得a+3b=2，再逆用幂的乘方公式，结合同底数幂的乘法公式求解。
12．（2024八上·孝昌月考）我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为（x、y是整式），所以M为“完美式”．若（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为　 　．
【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
，
S为“完全式”，
，
，
故答案为：34．
【分析】根据配方法化简，结合题意建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2025七下·青羊月考）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则　 　．
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：依据二阶行列式的运算规则，可得到如下等式：将等式左边展开后得到：
去除括号后整理得：
合并同类项后得到：
最终解得：
因此，正确答案为：
【分析】本题考查了二阶行列式的运算、完全平方公式的应用、代数式的化简以及一元一次方程的求解。解题的关键在于：
1.正确理解二阶行列式的运算规则
2.准确应用完全平方公式展开表达式
3.正确处理代数式的展开和化简
4.正确求解一元一次方程
通过逐步展开和化简行列式表达式，最终转化为简单的一元一次方程，从而求得未知数x的值。
14．（2025七下·瑞安期中）按如图的程序计算，输出的代数式为　 　。
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据程序计算可得：
==；
故答案为：.
【分析】根据程序列式，先计算多项式除单项式，再合并同类项即可得出答案.
15．（2024八上·肇庆期中）若是一个完全平方式，则　 　
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴（x±2）2=x2±4x+4
∴．
故答案为：．
【分析】利用完全平方式可将原式转化为（x±2）2=x2±4x+4，据此可得到k的值.
16．（2025八上·东城期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有　 　．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是．
【答案】①②③④
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
图1的阴影部分面积为：，
图2的阴影部分的面积为：，
又图1，图2中阴影部分的面积分别为4，
，，即，
，
即，
故①正确；
，
故②正确；
，，，
，，
，，
，
即正方形A与正方形B的面积差为16，
故③正确；
由于，即正方形A的边长为5，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】
根据完全平方公式的几何背景：先设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形表示出
图1的阴影部分面积为：，图2的阴影部分的面积为：，再通过阴影部分的面积分别为4，30；利用完全平方公式构造求出，，再逐一判断各个选项即可解答.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2026八上·剑河期末）计算或化简：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、负整数指数幂和0指数幂的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式的计算方法展开，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七下·余姚期中）化简求值：
（1）化简求值 ，其中 ， ．
（2）若代数式，求的值
【答案】（1）解：原式=
当，时，原式=
（2）解：原式=
当时，原式=3
【知识点】平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】 (1)、首先将( x + y ) 2通过平方差公式展开，然后展开 ( x + y ) ( x y ) ，利用合并同类项进行化简，最后将已知条件代入计算即可；
(2)、对化简，首先利用平方差公式展开，然后展开(x 2 y) (x +2y），通过消去二次项进行化简，最后将已知条件代入化简方程即可.
19．（2025七下·高州期中）若的计算结果中不含与x项．
（1）求m，n的值；
（2）求代数式的值．
【答案】（1）解：
，
∵计算结果中不含与项，
∴，，
解得，；
（2）解：
，
∵，，
∴原式．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式的运算以及整式的化简求值，多项式乘多项式需用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项，结合“不含某一项则该项系数为0”求解参数，再化简代数式代入求值。
(1)先将展开，合并同类项后得到，因为结果不含与项，所以这两项的系数分别为0，列出方程组和，求解即可得到m、n的值；
(2)先利用完全平方公式和平方差公式将代数式展开，合并同类项后进行整式的除法运算，化简为最简形式，再将(1)中求得的m、n的值代入计算。
（1）解：
，
∵计算结果中不含与项，
∴，，
解得，；
（2）解：
，
∵，，
∴原式．
20．（2025八上·北京期中）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式的特征系数对为　 　；
（2）求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积；
（3）若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为　 　．
【答案】（1）
（2）解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为，
；
（3）4
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】（1）解：关于x的二次多项式的特征系数对为，
故答案为：；
（3）解：根据题意得，
令，则，
，
，
．
故答案为：4．
【分析】(1) 直接按定义，二次项系数、一次项系数、常数项依次为 ，所以特征系数对为 。
(2) 先写出两个特征多项式：，，再相乘展开得到 。
(3) 由题意得：
令 ，代入得：
因此 。
（1）解：关于x的二次多项式的特征系数对为，
故答案为：；
（2）解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为，
；
（3）解：根据题意得，
令，则，
，
，
．
故答案为：4．
21．（2026·黔南期末）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形.用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积．
方法1：　 　； 方法2：　 　
（2）观察图2，请你写出代数式之间的等量关系：　 　
（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：
①已知，求ab的值；
②已知，求(2025-a)(a-2026)的值.
【答案】（1）(a+b)2；a2+2ab+b2
（2）(a+b) 2=a2+2ab+b2
（3）解：① 由(a+b) 2=a2+2ab+b2，得ab=2(a+b) 2 (a2+b2)
代入a+b=5，a2+b2=15，得ab=225 15=5
② 设m=2025 a，n=a 2026，则m+n= 1，
由(m+n) 2=m2+2mn+n2，
得mn=2(m+n) 2 (m2+n2) =21 7= 3，
即(2025 a)(a 2026)= 3
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法1：大正方形的边长为（a＋b），
∴大正方形的面积为：（a＋b）（a＋b）＝（a＋b）2，
方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和＝两个小正方形和两个小矩形的面积，
∴大正方形的面积为：a2＋2ab＋b2；
故答案为：方法1：（a＋b）2；方法2：a2＋2ab＋b2；
（2）代数式（a＋b）2，a2＋b2，ab之间的等量关系为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；
故答案为：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；
【分析】（1）方法1可根据正方形面积等于边长乘边长求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出；
（2）由图2可知两种方法所得大正方形的面积值相等，从而得到（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；
（3）①由（2）公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2可变形得ab＝，代入求出ab的值即可；
②令x＝2025 a，y＝a 2026，从而得到x＋y＝ 1，由（2025 a）2＋（a 2026）2＝7可得x2＋y2＝7，利用（2）公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2求出xy的值即可．
22．（2024七下·竞秀期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，，．
，．
请仿照上例解决下列问题：
（1）①若，，则______；
②若，，则______．
（2）①若满足，求的值．
②若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
【答案】(1) ①31；②
(2)①设，，而，
∴，，
∴
；
②设，，而，
∴，；
∴
；
(3) 44
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴；
（3）正方形的边长为x，，，
∴，，
∵长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，
∴，，
∴，，，，
设，，则，，
∴阴影部分的面积
∵，即，
解得：，
∴，即阴影部分的面积为44．
【分析】（1）①根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
②根据平方差公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）①设，，而，则，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
②设，，而，则，，根据平方差公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得，，再根据矩形面积设，，则，，再根据阴影部分的面积，再根据完全平方公式建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025七下·罗湖月考）数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形．
【观察发现】
用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：________________．
【操作探究】
若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片________张，乙种纸片________张，丙种纸片________张．（所拼图形不重叠无缝隙）
【拓展延伸】
两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为x，y，连接，．若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）1，2，3；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，
整理得，
，
或（不合题意，舍去），
阴影部分的面积
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）观察图形可知：图（2）的面积为：，还可以表示为：，
正确的等式为：，
故答案为：；
（2）
，
需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张，
故答案为：1，2，3.
【分析】本题围绕完全平方公式及几何背景展开，分三部分：
（1）用甲、乙、丙纸片拼大正方形，通过两种方式表示其面积（整体为 ，部分和为 ），推导完全平方公式 ，核心是利用面积相等建立等式.
（2）要拼面积为的长方形，先展开式子得 ，根据甲（ ）、乙（ ）、丙（ ）纸片面积，确定甲张、乙张、丙张，关键是多项式展开与纸片面积对应.
（3）先根据已知条件可知，然后根据已知条件为完全平方公式，求出，最后根据阴影部分的面积边长是的正方形面积边长是的正方形的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可．
24．（2025七下·温岭期中）一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是b，可将这个数记作，类似的，一个三位数可记作，其中a是百位数字，b是十位数字，c是个位数字.
（1）【基础应用】
①　 　（用含a的式子表示）；
②若，则a=　 　，b=　 　.
（2）【能力提升】
①若三位数是7的倍数，求a与b的数量关系；
②若，则k= .
（3）【思维拓展】
是否存在两位数，若存在，求出符合要求的两位数 ，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10a+6；5；2
（2）解：①∵=101a+10b=7(14a+b)+3(a+b)是7的倍数
∴3(a+b)是7的倍数，
∴a+b=7或14
②2，5，8
（3）解：存在，=48
理由如下：若10a+b=b2-a2，
则a2+10a=b2-b
(a+5)2-25=(b-0.5)2-0.25
(a+5)2-(b-0.5)2=24.75
(a+b+4.5)(a-b+5.5) =24.75
(2a+2b+9)(2a-2b+11)=99
∵2a+2b+9与2a-2b+11均为奇数，且2a+2b+9>11
只有，
.
【知识点】整式的混合运算；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】（1）表示十位数字是a，个位数字是b，
故答案为：
②由 则
所以
因为
所以
故答案为： 5， 2；
(2)② ，
∴a=1， b=2时， 12×21=252， k =5；
a=1，b=1时， 11×11=121， k=2；
a=2，b=2时， 22×22=484， k=8；
故答案为： 5，2，8；
【分析】(1)根据两位数和三位数的位值表达式即可求出；
(2)①根据三位数的位值表达式，再写成7的倍数形式即可求出a与b的数量关系；
②写出 和的表达式然后进行化简，由左右两边相等即可得出k的值；
(3)利用假设法成立，把等式进行化简，组成方程组即可求出a、b的值.
1 / 1浙教版七（下）数学第三章 整式的乘除 单元测试提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026八上·安州期末）将展开，若整理后不含x的二次项，则k的值为（　　）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
2．（2026八上·安州期末）若等式（3a+5b）（　　）=9a2-25b2成立，则括号内所填的代数式是（　　）
A．3a+5b B．-3a+5b C．3a-5b D．-3a-5b
3．（2026八上·临夏期末）如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·南宁月考）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·青羊月考）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（）．则①；②；③中，正确的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
6．（2024七下·青州月考）若，，则的值为（ ）
A． B．24 C．25 D．50
7．（2025七下·滨江期中）如图1，现有边长为b和a十b的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，α的长方形纸片一张。把纸片Ⅰ，Ⅲ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积S1和S2满足S1=4S2，则a，b满足的关系式为（　　）
A．b=4a B．b= 3A C．b=2a D．b=1.5a
8．（2025八上·唐山月考）计算（　　）
A． B． C． D．
9．（2023七下·镇海区期末）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（　　）
A．（1）与（2）的周长之差 B．（3）的面积
C．（1）与（3）的面积之差 D．长方形的周长
10．（2024七下·温州期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2026八上·望城期末）如果a+3b-2=0，那么3a×27b的值为　 　 .
12．（2024八上·孝昌月考）我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为（x、y是整式），所以M为“完美式”．若（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为　 　．
13．（2025七下·青羊月考）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则　 　．
14．（2025七下·瑞安期中）按如图的程序计算，输出的代数式为　 　。
15．（2024八上·肇庆期中）若是一个完全平方式，则　 　
16．（2025八上·东城期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有　 　．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2026八上·剑河期末）计算或化简：
（1）
（2）
18．（2025七下·余姚期中）化简求值：
（1）化简求值 ，其中 ， ．
（2）若代数式，求的值
19．（2025七下·高州期中）若的计算结果中不含与x项．
（1）求m，n的值；
（2）求代数式的值．
20．（2025八上·北京期中）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式的特征系数对为　 　；
（2）求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积；
（3）若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为　 　．
21．（2026·黔南期末）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形.用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积．
方法1：　 　； 方法2：　 　
（2）观察图2，请你写出代数式之间的等量关系：　 　
（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：
①已知，求ab的值；
②已知，求(2025-a)(a-2026)的值.
22．（2024七下·竞秀期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，，．
，．
请仿照上例解决下列问题：
（1）①若，，则______；
②若，，则______．
（2）①若满足，求的值．
②若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
23．（2025七下·罗湖月考）数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形．
【观察发现】
用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：________________．
【操作探究】
若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片________张，乙种纸片________张，丙种纸片________张．（所拼图形不重叠无缝隙）
【拓展延伸】
两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为x，y，连接，．若，，求图中阴影部分的面积．
24．（2025七下·温岭期中）一个两位数，它的十位数字是a，个位数字是b，可将这个数记作，类似的，一个三位数可记作，其中a是百位数字，b是十位数字，c是个位数字.
（1）【基础应用】
①　 　（用含a的式子表示）；
②若，则a=　 　，b=　 　.
（2）【能力提升】
①若三位数是7的倍数，求a与b的数量关系；
②若，则k= .
（3）【思维拓展】
是否存在两位数，若存在，求出符合要求的两位数 ，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(x-k)(x2-2x+5)=x2-kx2-2x2+2kx+5x-5k=x2-(k+2)x2+(2k+5)x-5k.
∵整理后不含x的二次项，
∴-k-2=0，解得k=-2
故答案为：C.
【分析】将两个多项式相乘展开，合并同类项后，令x2项的系数为零，解出k的值.
2．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：(3a+5b)(3a-5b)=9a2-25b2，
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式进行计算，即可解答.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为（a b）2，
图2中阴影部分的面积a2 2ab＋b2，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得（a b）2＝a2 2ab＋b2．
故答案为：C．
【分析】利用不同的表达式表示两个图形中的阴影部分的面积即可得到公式.
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
整理，得，
∴，
∴．
故选D．
【分析】表示面积，，然后根据题意得到，然后整理得到a，b的关系解答即可．
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】①根据图示分析可得：，该结论正确。②图示表明：，推导得出：，因此：，该结论正确。③图示显示：，结合①中，根据平方差公式：，即：，该结论正确。综上所述，正确的结论是①②③，故选：A。
【分析】本题通过几何图形验证了平方差公式和完全平方公式的变形应用：结论①直接由图形关系得出；结论②通过面积差与矩形面积的关系推导；结论③运用平方差公式进行代数转换。解题关键在于理解、和之间的相互转换关系。
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
两式相加得：，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式结合题意展开得到，，进而根据整式的加减运算将两式相加即可求解。
7．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可得S1=(a+b)2-b2-(a+b-b)a=a2+2ab+b2-b2-a2=2ab，S2=a(b+b-a-b)=ab-a2，
∵S1=4S2
∴2ab=4(ab-a2)
∴2ab=4a2，
∴b=2a.
故答案为：C.
【分析】结合图形根据正方形及长方形面积计算公式，由S1=边长为(a+b)的正方形的面积-边长为b的正方形的面积-长为a、宽为(a+b-b)的矩形面积，S2=长为a、宽为(b+b-a-b)的矩形的面积，分别列出式子，结合整式混合运算顺序计算出S1与S2，再结合S1=4S2建立等式，整理化简即可.
8．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】本题核心是逆用同底数幂乘法和积的乘方法则简化运算。首先将带分数转化为假分数，便于后续幂的运算。观察到两个幂的指数相近，逆用同底数幂乘法法则，将拆分为，此时式子变为。再运用积的乘方法则的逆运算，将与结合，得到，计算括号内结果为，再结合剩余的得出答案。
9．【答案】D
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，长方形的宽为，长方形的长为，
则长方形面积为：，
∵①②是两个面积相等的梯形，
∴，
∴，即，
∴长方形面积为：，
∵①与②的周长之差为：，
∴A选项的条件不能求出长方形面积；
∵③的面积为：，
∴B选项的条件不能求出长方形面积；
∵①与②的面积之差为：，
∴C选项的条件不能求出长方形面积；
长方形的周长为：，
∴D选项的条件能求出长方形面积．
故答案为：D.
【分析】 设正方形的边长为a，长方形的宽为a+x，长方形的长为2a+y，根据①②面积相等结合梯形面积公式建立等式得y=2x，根据长方形面积计算公式表示出长方形的面积为2(a+x)2，然后再根据图形周长及面积计算公式逐项判断得出答案.
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：将B向左推，可得如图，
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，
根据图2是正方形，得，
即，
由图（2）两个A的位置，可得即，
∴图2正方形边长为
∴，
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，即可得出和，再结合题意得到，然后代入计算解题．
11．【答案】9
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵a+3b-2=0，
∴a+3b=2，
∴3a·27b=3a×33b=3a+3b=32=9
故答案为：9
【分析】首先由条件得a+3b=2，再逆用幂的乘方公式，结合同底数幂的乘法公式求解。
12．【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
，
S为“完全式”，
，
，
故答案为：34．
【分析】根据配方法化简，结合题意建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：依据二阶行列式的运算规则，可得到如下等式：将等式左边展开后得到：
去除括号后整理得：
合并同类项后得到：
最终解得：
因此，正确答案为：
【分析】本题考查了二阶行列式的运算、完全平方公式的应用、代数式的化简以及一元一次方程的求解。解题的关键在于：
1.正确理解二阶行列式的运算规则
2.准确应用完全平方公式展开表达式
3.正确处理代数式的展开和化简
4.正确求解一元一次方程
通过逐步展开和化简行列式表达式，最终转化为简单的一元一次方程，从而求得未知数x的值。
14．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据程序计算可得：
==；
故答案为：.
【分析】根据程序列式，先计算多项式除单项式，再合并同类项即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴（x±2）2=x2±4x+4
∴．
故答案为：．
【分析】利用完全平方式可将原式转化为（x±2）2=x2±4x+4，据此可得到k的值.
16．【答案】①②③④
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
图1的阴影部分面积为：，
图2的阴影部分的面积为：，
又图1，图2中阴影部分的面积分别为4，
，，即，
，
即，
故①正确；
，
故②正确；
，，，
，，
，，
，
即正方形A与正方形B的面积差为16，
故③正确；
由于，即正方形A的边长为5，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】
根据完全平方公式的几何背景：先设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形表示出
图1的阴影部分面积为：，图2的阴影部分的面积为：，再通过阴影部分的面积分别为4，30；利用完全平方公式构造求出，，再逐一判断各个选项即可解答.
17．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、负整数指数幂和0指数幂的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式的计算方法展开，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：原式=
当，时，原式=
（2）解：原式=
当时，原式=3
【知识点】平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】 (1)、首先将( x + y ) 2通过平方差公式展开，然后展开 ( x + y ) ( x y ) ，利用合并同类项进行化简，最后将已知条件代入计算即可；
(2)、对化简，首先利用平方差公式展开，然后展开(x 2 y) (x +2y），通过消去二次项进行化简，最后将已知条件代入化简方程即可.
19．【答案】（1）解：
，
∵计算结果中不含与项，
∴，，
解得，；
（2）解：
，
∵，，
∴原式．
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式的运算以及整式的化简求值，多项式乘多项式需用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项，结合“不含某一项则该项系数为0”求解参数，再化简代数式代入求值。
(1)先将展开，合并同类项后得到，因为结果不含与项，所以这两项的系数分别为0，列出方程组和，求解即可得到m、n的值；
(2)先利用完全平方公式和平方差公式将代数式展开，合并同类项后进行整式的除法运算，化简为最简形式，再将(1)中求得的m、n的值代入计算。
（1）解：
，
∵计算结果中不含与项，
∴，，
解得，；
（2）解：
，
∵，，
∴原式．
20．【答案】（1）
（2）解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为，
；
（3）4
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】（1）解：关于x的二次多项式的特征系数对为，
故答案为：；
（3）解：根据题意得，
令，则，
，
，
．
故答案为：4．
【分析】(1) 直接按定义，二次项系数、一次项系数、常数项依次为 ，所以特征系数对为 。
(2) 先写出两个特征多项式：，，再相乘展开得到 。
(3) 由题意得：
令 ，代入得：
因此 。
（1）解：关于x的二次多项式的特征系数对为，
故答案为：；
（2）解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为，
；
（3）解：根据题意得，
令，则，
，
，
．
故答案为：4．
21．【答案】（1）(a+b)2；a2+2ab+b2
（2）(a+b) 2=a2+2ab+b2
（3）解：① 由(a+b) 2=a2+2ab+b2，得ab=2(a+b) 2 (a2+b2)
代入a+b=5，a2+b2=15，得ab=225 15=5
② 设m=2025 a，n=a 2026，则m+n= 1，
由(m+n) 2=m2+2mn+n2，
得mn=2(m+n) 2 (m2+n2) =21 7= 3，
即(2025 a)(a 2026)= 3
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法1：大正方形的边长为（a＋b），
∴大正方形的面积为：（a＋b）（a＋b）＝（a＋b）2，
方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和＝两个小正方形和两个小矩形的面积，
∴大正方形的面积为：a2＋2ab＋b2；
故答案为：方法1：（a＋b）2；方法2：a2＋2ab＋b2；
（2）代数式（a＋b）2，a2＋b2，ab之间的等量关系为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；
故答案为：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；
【分析】（1）方法1可根据正方形面积等于边长乘边长求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出；
（2）由图2可知两种方法所得大正方形的面积值相等，从而得到（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；
（3）①由（2）公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2可变形得ab＝，代入求出ab的值即可；
②令x＝2025 a，y＝a 2026，从而得到x＋y＝ 1，由（2025 a）2＋（a 2026）2＝7可得x2＋y2＝7，利用（2）公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2求出xy的值即可．
22．【答案】(1) ①31；②
(2)①设，，而，
∴，，
∴
；
②设，，而，
∴，；
∴
；
(3) 44
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴；
（3）正方形的边长为x，，，
∴，，
∵长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，
∴，，
∴，，，，
设，，则，，
∴阴影部分的面积
∵，即，
解得：，
∴，即阴影部分的面积为44．
【分析】（1）①根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
②根据平方差公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）①设，，而，则，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
②设，，而，则，，根据平方差公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得，，再根据矩形面积设，，则，，再根据阴影部分的面积，再根据完全平方公式建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）；
（2）1，2，3；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，
整理得，
，
或（不合题意，舍去），
阴影部分的面积
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）观察图形可知：图（2）的面积为：，还可以表示为：，
正确的等式为：，
故答案为：；
（2）
，
需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张，
故答案为：1，2，3.
【分析】本题围绕完全平方公式及几何背景展开，分三部分：
（1）用甲、乙、丙纸片拼大正方形，通过两种方式表示其面积（整体为 ，部分和为 ），推导完全平方公式 ，核心是利用面积相等建立等式.
（2）要拼面积为的长方形，先展开式子得 ，根据甲（ ）、乙（ ）、丙（ ）纸片面积，确定甲张、乙张、丙张，关键是多项式展开与纸片面积对应.
（3）先根据已知条件可知，然后根据已知条件为完全平方公式，求出，最后根据阴影部分的面积边长是的正方形面积边长是的正方形的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可．
24．【答案】（1）10a+6；5；2
（2）解：①∵=101a+10b=7(14a+b)+3(a+b)是7的倍数
∴3(a+b)是7的倍数，
∴a+b=7或14
②2，5，8
（3）解：存在，=48
理由如下：若10a+b=b2-a2，
则a2+10a=b2-b
(a+5)2-25=(b-0.5)2-0.25
(a+5)2-(b-0.5)2=24.75
(a+b+4.5)(a-b+5.5) =24.75
(2a+2b+9)(2a-2b+11)=99
∵2a+2b+9与2a-2b+11均为奇数，且2a+2b+9>11
只有，
.
【知识点】整式的混合运算；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】（1）表示十位数字是a，个位数字是b，
故答案为：
②由 则
所以
因为
所以
故答案为： 5， 2；
(2)② ，
∴a=1， b=2时， 12×21=252， k =5；
a=1，b=1时， 11×11=121， k=2；
a=2，b=2时， 22×22=484， k=8；
故答案为： 5，2，8；
【分析】(1)根据两位数和三位数的位值表达式即可求出；
(2)①根据三位数的位值表达式，再写成7的倍数形式即可求出a与b的数量关系；
②写出 和的表达式然后进行化简，由左右两边相等即可得出k的值；
(3)利用假设法成立，把等式进行化简，组成方程组即可求出a、b的值.
1 / 1

展开更多......

收起↑