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湘教版七（下）数学第四章 平面内的两条直线 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·永康期末）如图是校园内一块长为13m，宽为5m的长方形空地，中间设计一条宽为2m的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（　　）
A．50m2 B．55m2 C．60m2 D．65m2
2．（2025七下·永康期末）如图是小明在运动会跳远比赛中的示意图，点A，B是他落地时脚后跟所在位置，则这次跳远成绩是图中哪条线段的长度（　　）
A．AD B．BD C．AE D．BC
3．（2025七下·杭州期中）如图，下列图形中的和不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·南湖期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·杭州期中）将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使AB边与CD边互相平行，则图中的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·慈溪期中） 如图，a//b， ∠1 = 60°， 则∠2 的度数为（　　）
A．90° B．100° C．120° D．110°
7．（2025七下·台州期中）如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB//CD的是（　　）
A．∠3=∠4 B．∠1=∠2
C．∠BDC=∠DCE D．∠BDC+∠ACD=180°
8．（2025七下·宁波期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分.其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024七下·庐江期中） 如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·佛山期中）如图，，OE平分，OF平分，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2025七下·瑞安期中）如图，CD平分。若，则　 　度。
12．（2025七下·义乌月考）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，则∠2+∠3的度数为　 　度.
13．（2025七下·宁波期中）如图，现给出下列条件：①，②，③，④.其中能够得到的条件有：　 　.
14．（2025七下·越城期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝9，将Rt△ABC沿AC方向向右平移得到Rt△DEF，DE交BC于G，已知AD＝5，BG＝4，则阴影部分的面积为　 　．
15．（2025七下·德清期中） 如图，已知BA//CD//EF，∠1=50°，∠2=60°，则∠3=　 　.
16．（2025七下·椒江期末） 如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（AB段），后抬头拉升飞行至C，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后爬升至E后，开始水平巡航（EF段），已知，，则减少的仰角的度数为　 　.
17． 生活中常见的一种折叠拦道闸， 如图 1 所示． 若想求解某些特殊状态下的角度， 需将其抽象为几何图形， 如图 2 所示， 垂直于地面 于点 平行于地面 ， 则 　 　°
18．（2025七下·竞赛）如图，AB//CD，点M在直线AB，CD之间，GH是∠AGM的平分线，连接GM，HM，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N=∠BGM，∠M=∠N+∠HGN，则∠MHG 的度数为　 　.
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2025七下·慈溪期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移动到点A'处，点B，C分别移动到点B'，C'处.
（1）请画出平移后的三角形A'B'C'：
（2）若连接AA'，CC’，则这两条线段之间的位置关系　 　.
20．（2025七下·杭州期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点。
（1）补全三角形；
（2）若连接，则这两条线段之间的关系是　 　；
（3）求线段BC平移过程中扫过的面积．
21．（2025七下·义乌月考）如图，已知AB//CD，AD平分∠EAC，∠B=∠D.
（1）请说明AD//BC：
（2）若∠DAC=（2x+15）°，∠B=（105-3x）°，求∠D的度数.
22．（2025七下·龙泉期中）如图，在中，于点，点是BC上一点，过点作于点，点是AC上一点，连结DG，且。
（1）请说明的理由。
（2）若平分，求的度数。
23．（2025七下·嵊州期中）如图，∠1=∠2= 40°，MN平分∠EMB
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（2）求∠3的度数
24．（2024七下·滨海期中）如图，直线与交于点O，平分交直线l于点A，平分交直线l于点B，且．
（1）求的度数：
（2）求证：；
（3）若，求的度数．
25．（2025七下·广州期中）问题情境：如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
（1）观察猜想：小明猜想，他过点作，如图2，请帮他完成证明过程．
（2）深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
（3）问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则________°．
26．（2025七下·深圳期中）如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点，点F，EM平分交CD于点，且．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）点是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分交CD于点，过点作于点，当点在点的右侧时，若，求的度数；
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：根据题意，绿化区面积为.
故答案为：B.
【分析】通过平移的方法，将弯曲道路去掉，把绿化区拼成一个新的长方形，再根据长方形面积公式计算绿化区面积.
2．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：图中只有AE与BC均垂直于起跳线，但AE更短，故AE长为本次跳远成绩.
故答案为：C.
【分析】根据跳远成绩的定义，是取离起跳线最近的脚后跟位置到起跳线的垂直距离，据此分析图中线段.
3．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A. 图形中的和 是同位角，故A不符合题意；
B. 图形中的和 是同位角，故B不符合题意；
C. 图形中的和 不是同位角，故C符合题意；
D. 图形中的和 是同位角，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同位角的定义：在两条直线被第三条直线（称为横截线）相交时，位于相同侧且与横截线同侧的两个角是同位角，判断即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、当∠1=∠2时，AD//BC，本选项不符合题意；
B、当∠3=∠4时，AD//BC，本选项不符合题意；
C、当∠BAD+∠ABC=180°时，AD//BC，本选项不符合题意；
D、当∠BAC=∠ACD时，AB//CD，本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果.
5．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意得：∠C=45°，∠BCD=60°，
∵AE//BC，
∴∠ACB=∠B=45°
∴∠1=180°-∠ACB-∠BCD=75°
故答案为：C.
【分析】根据三角尺的特性确定∠C和∠BCD的度数，然后利用平行线的性质确定∠ACB的度数，最后利用平角的定义计算∠1的大小.
6．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵ a//b，
∴∠2+∠1=180°，即∠2=180°-∠1=180°-60°=120°.
故答案为：C.
【分析】两直线平行，同旁内角互补.
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： A、∠3=∠4，则AC∥BD，A错误；
B、∠1=∠2，则AB∥CD， B正确；
C、∠BDC=∠DCE，则AC∥BD，C错误；
D、∠BDC+∠ACD=180° ，则AC∥BD，D错误；
故答案为：B.
【分析】 本题考查平行线的判定定理。
AC选项根据“内错角相等、两直线平行”可以判断出AC∥BD；B选项根据“内错角相等、两直线平行”可以判断出AB∥CD；D选项根据“同旁内角互补、两直线平行”可以判断出AC∥BD。然后即可选出正确选项。
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BFD=∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFG=2∠AFE=2∠EFG，
∵∠AFG=2∠D，
∴∠AFE=∠EFG=∠BFD=∠D。
∵FG⊥EH，
∴∠FGH=90°，
∵FD∥EH，
∴∠FGH+∠GFD=180°，
∴∠GFD=90°，
∴∠AFE+∠EFG+∠BFD=90°，
即3∠D=90°，
∴∠D=30°。
∴①正确；
∵FD∥EH，∠D=30°，
∴∠EHC=∠D=30°，
∴2∠D+∠EHC=90°。
∴②正确；
而∠GFD=90°，
∴∠GFH+∠DFH=90°即可，∠DFH不一定是30°或45°，
∴③、④不一定正确.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义逐步去推理即可得到答案.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）当点B'在BC上时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴A'B'//AB，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=m，则∠ACA'=2m，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=m，
∴2m+m=45°，
解得：m=15°，
∴∠ACA'=30°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，设∠CA'B'=n，则∠ACA'=n，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=n，
∴，
解得：n=30°，
∴∠ACA'=15°；
（2）当点B'在△ABC外时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴AB//A'B'，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=x，则∠ACA’=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=x，
∴2x=x+45°，
解得：x=45°，
∴∠ACA'=2x=90°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，由图可得：∠CA'B'＜∠ACA'，不存在这种情况，
综上所述：∠ACA'的值为30°，15°或90°，不可能为45°，
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质和平行线的性质，结合图形，分类讨论求解即可。
10．【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由，可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；
由平分，平分，可得，故②正确；
OF平分， ∴，由可得，，∴，，∴，故③正确；
∵，∴，平分，∴
，故④正确．
故正确结论为②③④⑤
故答案为：D
【分析】由，可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；由平分，平分，可得，故②正确；
OF平分， 所以，由可得，，，故③正确；由，平分，所以，故④正确．
11．【答案】50
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵DE∥BC，
∴∠2=∠BCD，∠1=∠ACB，
∴∠2=∠ACD，
∵∠1=100°，
∴∠ACB=100°，
∴∠2=∠ACD=∠BCD=∠ACB=50°；
故答案为：50.
【分析】根据角平分线概念和平行线的性质推导计算即可得出答案.
12．【答案】210
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过∠2顶点做直线l//支撑平台，
∴l//支撑平台//工作篮底部
∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°
∴∠4+∠5+∠3=30°+180°=210°
∵∠4+∠5=∠2，
∴∠2+∠3=210°
故答案为：210.
【分析】过∠2顶点做直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解.
13．【答案】①③
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠1=∠B时AB∥CD，理由是：同位角相等，两直线平行。∴①可以；
当∠3=∠4时，能得到AD∥BC，不能得到AB∥CD。∴②不行；
当∠2=∠5时，AB∥CD，理由是：内错角相等，两直线平行。∴③可以；
当∠BCD+∠D=180°时，AD∥BC，不能得到AB∥CD。∴④不可以.
故答案为：①、③.
【分析】根据平行线的判断方法，逐步去推理，即可.
14．【答案】35
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： 因为 Rt△ABC沿AC方向向右平移得到Rt△DEF ，BC＝9 ，AD＝5，
所以Rt△ABC≌Rt△DEF ， AC=DF，EF=BC=9，CF=AD=5，
因为BG＝4， 所以CG＝5，
因为
所以=(CG+EF)×CF÷2=（5+9）×5÷2=35.
故答案为：35.
【分析】 本题考查平移性质的应用及梯形面积计算。需利用平移后图形全等的性质，结合已知线段长度，找到阴影部分对应的几何图形并推导其面积。
15．【答案】110°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ BA//CD，
∴∠BCD=∠1=50°，
∵∠2=60°，
∴∠DCE=∠DCB+∠2=110°，
∵ CD//EF，
∴∠3=∠DCE=110°.
故答案为：110°.
【分析】由平行线的性质可证得∠DCE=∠DCB+∠2=110°，再由平行线的性质得∠3=∠DCE，即可得到答案.
16．【答案】15°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
作CH∥AB，延长EF
∴ =∠BCH=150°，
∴∠DCH=30°
∵∠CEF=165°，
∴∠DEC=180°-∠CEF=180°-165°=15°，
∵EF∥CH，
∴∠DEC=∠ECH，
∴ =15°
故答案为： 15°.
【分析】作辅助线，根据平行线的性质，可以判断∠ABC=∠BCH，根据角度的关系以及平行线的性质，判断出∠DCE.
17．【答案】270
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BF∥CD，如下图：
∵BF∥CD
∴∠BCD+∠CBF=180°
∵AB⊥AE，BF∥CD∥AE
∴∠BAE=∠ABF=90°
∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠BCD+∠CBF=90°+180°=270°
故答案为：270.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠BCD+∠CBF=180°；根据垂线的性质和平行线的性质，可得∠ABC+∠BCD的值.
18．【答案】45°
【知识点】角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过M作MF//AB，过H作HE//GN，如图：
设∠BGM=2α，∠MHD=β，则∠N=∠BGM=2α，
∴∠AGM=180°-2α，
∵GH平分∠AGM.
∴，
∴∠BGH=∠BGM+∠MGH=90°+α，
∵AB//CD.
∴MF//AB//CD，
∴∠M=∠GMF+∠FMH=∠BGM+∠MHD=2α+β，
∵，
∴
∴∠HGN=β-α，
∵HE//CN.
∴∠GHE=∠HGN=β-α，∠EHM=∠N=2α，
∴∠GHD=∠GHE+∠EHM+∠MHD=(β-α)+2α+β=2β+α，
∵AB//CD.
∴∠BGH+∠GHD=180°，
∴(90°+α)+(2β+α)=180°，
∴α+β=45°，
∴∠MHG=∠GHE+∠EHM=(β-α)+2α=α+β=45°
故答案为：45°.
【分析】过M作MF//AB，过H作HE//GN，设∠BGM=2α，∠MHD=β，可得∠BGH=∠BGM+∠MGH=90°+a，由∠M=∠N+∠HGN，可得∠HGN=β-a，从而∠GHD=∠GHE+∠EHM+∠MHD=2B+a，又∠BGH+∠GHD=180°，即知a+B=45°，进而即可求解.
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）平行
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）A点的对应点为A'，C点的对应点为C'，因为平移后，对应点连线平行，所以AA'∥CC'.
故答案为：平行.
【分析】（1）利用点A与A'的位置确定平移的距离与方向，然后利用此平移规律画出B、C的对应点B'、C'后连接A'、B'、C'即可；
（2）根据平移的性质判断即可.
20．【答案】（1）如图， 三角形 即为所求；
（2）平行且相等
（3）线段BC平移过程中扫过的面积为：
S =S四边形BB'C'C=4×5=20.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）由平移得，这两条线段之间的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等.
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质即可得出答案；
（3）根据图与平移的性质可知： 线段BC平移过程中扫过的面积是平行四边形的面积，求解即可.
21．【答案】（1）证明：，
，
又，
，
（2）解：∵AD 平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=(2x+15)°
由(1) 可知： ∠EAD=∠B，
∴2x+15=105-3x，
解得：x=18，
∴∠B=(105-3x)° =(105-3×18)° =51°，
∴∠D=∠B=51°
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)首先由AB//CD得∠EAD=∠D，进而根据已知条件可得出∠EAD=∠B，然后根据平行线的判定可得出结论；
(2)先根据角平分线的定义得∠EAD=∠DAC=(2x+15)°，再根据(1)得∠EAD=∠B，据此可得出2x-15=105-3x，由此可求出x，进而求出∠B的度数即可得出答案.
22．【答案】（1），
，
，
；
（2），
平分，
．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)根据“垂直于同一直线的两条直线平行”推出CD//EF，根据“两直线平行，同位角相等”得出∠2=∠BCD，则∠1=∠BCD，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解；
(2)根据平行线的性质得出∠ACB=∠3=70°，根据角平分线定义求出∠BCD=35°，再根据平行线的性质求解可.
23．【答案】（1）解：∵∠1=∠AME，∠1=∠2
∴∠AME=∠2
∴AB//DC
（2）解：∵MN平分∠EMB，
∴∠EMN=∠BMN
∵∠1+∠EMN+∠BMN=180°，∠1=40°，
∴∠BMN=70°.
∵AB//DC，
∴∠3+∠BMN=180°，
∴∠3=110°.
【知识点】角平分线的概念；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）由对顶角的性质和 ∠1=∠2= 40°， 可得∠AME=∠2，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得到结论；
（2）由角平分线的定义可计算得∠BMN=70°，再由平行线的性质即可得到结论.
24．【答案】（1）解：分别平分和，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，
，
．
（3）解：，
，
，
，
，
平分，
，
的度数为130°．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据角的和差即可求解；
（2）由（1）可得，再结合可得，然后根据平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行，即可证明结论；
（3）由可知，再按比例分配可求得，进而可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答．
25．【答案】（1）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）127
【知识点】平行线的性质；平行公理
【解析】【解答】（3）解：如图3：过点C作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：127．
【分析】（1）过点作，根据直线平行性质可得再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作，根据直线平行性质可得∠BCM，再根据角之间的关系可得∠DCM，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）解：如图3：过点C作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：127．
26．【答案】（1）解：结论：．
理由：如图1中，
平分交CD于点，
，
．
，
．
（2）解：如图2中，
，
，
，
．
，
平分，
，
，
，
，则，
，
.
【知识点】角的运算；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再结合，利用等量代换可得，从而可证出AB//CD；
（2）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，利用角的运算求出，则，最后利用平行线的性质可得.
1 / 1湘教版七（下）数学第四章 平面内的两条直线 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·永康期末）如图是校园内一块长为13m，宽为5m的长方形空地，中间设计一条宽为2m的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（　　）
A．50m2 B．55m2 C．60m2 D．65m2
【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：根据题意，绿化区面积为.
故答案为：B.
【分析】通过平移的方法，将弯曲道路去掉，把绿化区拼成一个新的长方形，再根据长方形面积公式计算绿化区面积.
2．（2025七下·永康期末）如图是小明在运动会跳远比赛中的示意图，点A，B是他落地时脚后跟所在位置，则这次跳远成绩是图中哪条线段的长度（　　）
A．AD B．BD C．AE D．BC
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：图中只有AE与BC均垂直于起跳线，但AE更短，故AE长为本次跳远成绩.
故答案为：C.
【分析】根据跳远成绩的定义，是取离起跳线最近的脚后跟位置到起跳线的垂直距离，据此分析图中线段.
3．（2025七下·杭州期中）如图，下列图形中的和不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A. 图形中的和 是同位角，故A不符合题意；
B. 图形中的和 是同位角，故B不符合题意；
C. 图形中的和 不是同位角，故C符合题意；
D. 图形中的和 是同位角，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同位角的定义：在两条直线被第三条直线（称为横截线）相交时，位于相同侧且与横截线同侧的两个角是同位角，判断即可得出答案.
4．（2025七下·南湖期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、当∠1=∠2时，AD//BC，本选项不符合题意；
B、当∠3=∠4时，AD//BC，本选项不符合题意；
C、当∠BAD+∠ABC=180°时，AD//BC，本选项不符合题意；
D、当∠BAC=∠ACD时，AB//CD，本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果.
5．（2025七下·杭州期中）将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使AB边与CD边互相平行，则图中的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意得：∠C=45°，∠BCD=60°，
∵AE//BC，
∴∠ACB=∠B=45°
∴∠1=180°-∠ACB-∠BCD=75°
故答案为：C.
【分析】根据三角尺的特性确定∠C和∠BCD的度数，然后利用平行线的性质确定∠ACB的度数，最后利用平角的定义计算∠1的大小.
6．（2025七下·慈溪期中） 如图，a//b， ∠1 = 60°， 则∠2 的度数为（　　）
A．90° B．100° C．120° D．110°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵ a//b，
∴∠2+∠1=180°，即∠2=180°-∠1=180°-60°=120°.
故答案为：C.
【分析】两直线平行，同旁内角互补.
7．（2025七下·台州期中）如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB//CD的是（　　）
A．∠3=∠4 B．∠1=∠2
C．∠BDC=∠DCE D．∠BDC+∠ACD=180°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： A、∠3=∠4，则AC∥BD，A错误；
B、∠1=∠2，则AB∥CD， B正确；
C、∠BDC=∠DCE，则AC∥BD，C错误；
D、∠BDC+∠ACD=180° ，则AC∥BD，D错误；
故答案为：B.
【分析】 本题考查平行线的判定定理。
AC选项根据“内错角相等、两直线平行”可以判断出AC∥BD；B选项根据“内错角相等、两直线平行”可以判断出AB∥CD；D选项根据“同旁内角互补、两直线平行”可以判断出AC∥BD。然后即可选出正确选项。
8．（2025七下·宁波期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分.其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BFD=∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFG=2∠AFE=2∠EFG，
∵∠AFG=2∠D，
∴∠AFE=∠EFG=∠BFD=∠D。
∵FG⊥EH，
∴∠FGH=90°，
∵FD∥EH，
∴∠FGH+∠GFD=180°，
∴∠GFD=90°，
∴∠AFE+∠EFG+∠BFD=90°，
即3∠D=90°，
∴∠D=30°。
∴①正确；
∵FD∥EH，∠D=30°，
∴∠EHC=∠D=30°，
∴2∠D+∠EHC=90°。
∴②正确；
而∠GFD=90°，
∴∠GFH+∠DFH=90°即可，∠DFH不一定是30°或45°，
∴③、④不一定正确.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义逐步去推理即可得到答案.
9．（2024七下·庐江期中） 如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）当点B'在BC上时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴A'B'//AB，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=m，则∠ACA'=2m，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=m，
∴2m+m=45°，
解得：m=15°，
∴∠ACA'=30°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，设∠CA'B'=n，则∠ACA'=n，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=n，
∴，
解得：n=30°，
∴∠ACA'=15°；
（2）当点B'在△ABC外时，过点C作CG//AB，如图所示：
∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的，
∴AB//A'B'，
∵CG//AB，
∴CG//A'B'，
①当∠ACA'=2∠CA'B'时，设∠CA'B'=x，则∠ACA’=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠A'CG=∠CA'B'=x，
∴2x=x+45°，
解得：x=45°，
∴∠ACA'=2x=90°；
②当∠CA'B'=2∠ACA'时，由图可得：∠CA'B'＜∠ACA'，不存在这种情况，
综上所述：∠ACA'的值为30°，15°或90°，不可能为45°，
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质和平行线的性质，结合图形，分类讨论求解即可。
10．（2024七下·佛山期中）如图，，OE平分，OF平分，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由，可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；
由平分，平分，可得，故②正确；
OF平分， ∴，由可得，，∴，，∴，故③正确；
∵，∴，平分，∴
，故④正确．
故正确结论为②③④⑤
故答案为：D
【分析】由，可得，由平分可得，故①不正确，⑤正确；由平分，平分，可得，故②正确；
OF平分， 所以，由可得，，，故③正确；由，平分，所以，故④正确．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2025七下·瑞安期中）如图，CD平分。若，则　 　度。
【答案】50
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵DE∥BC，
∴∠2=∠BCD，∠1=∠ACB，
∴∠2=∠ACD，
∵∠1=100°，
∴∠ACB=100°，
∴∠2=∠ACD=∠BCD=∠ACB=50°；
故答案为：50.
【分析】根据角平分线概念和平行线的性质推导计算即可得出答案.
12．（2025七下·义乌月考）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，则∠2+∠3的度数为　 　度.
【答案】210
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过∠2顶点做直线l//支撑平台，
∴l//支撑平台//工作篮底部
∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°
∴∠4+∠5+∠3=30°+180°=210°
∵∠4+∠5=∠2，
∴∠2+∠3=210°
故答案为：210.
【分析】过∠2顶点做直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解.
13．（2025七下·宁波期中）如图，现给出下列条件：①，②，③，④.其中能够得到的条件有：　 　.
【答案】①③
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠1=∠B时AB∥CD，理由是：同位角相等，两直线平行。∴①可以；
当∠3=∠4时，能得到AD∥BC，不能得到AB∥CD。∴②不行；
当∠2=∠5时，AB∥CD，理由是：内错角相等，两直线平行。∴③可以；
当∠BCD+∠D=180°时，AD∥BC，不能得到AB∥CD。∴④不可以.
故答案为：①、③.
【分析】根据平行线的判断方法，逐步去推理，即可.
14．（2025七下·越城期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝9，将Rt△ABC沿AC方向向右平移得到Rt△DEF，DE交BC于G，已知AD＝5，BG＝4，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】35
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： 因为 Rt△ABC沿AC方向向右平移得到Rt△DEF ，BC＝9 ，AD＝5，
所以Rt△ABC≌Rt△DEF ， AC=DF，EF=BC=9，CF=AD=5，
因为BG＝4， 所以CG＝5，
因为
所以=(CG+EF)×CF÷2=（5+9）×5÷2=35.
故答案为：35.
【分析】 本题考查平移性质的应用及梯形面积计算。需利用平移后图形全等的性质，结合已知线段长度，找到阴影部分对应的几何图形并推导其面积。
15．（2025七下·德清期中） 如图，已知BA//CD//EF，∠1=50°，∠2=60°，则∠3=　 　.
【答案】110°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ BA//CD，
∴∠BCD=∠1=50°，
∵∠2=60°，
∴∠DCE=∠DCB+∠2=110°，
∵ CD//EF，
∴∠3=∠DCE=110°.
故答案为：110°.
【分析】由平行线的性质可证得∠DCE=∠DCB+∠2=110°，再由平行线的性质得∠3=∠DCE，即可得到答案.
16．（2025七下·椒江期末） 如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（AB段），后抬头拉升飞行至C，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后爬升至E后，开始水平巡航（EF段），已知，，则减少的仰角的度数为　 　.
【答案】15°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
作CH∥AB，延长EF
∴ =∠BCH=150°，
∴∠DCH=30°
∵∠CEF=165°，
∴∠DEC=180°-∠CEF=180°-165°=15°，
∵EF∥CH，
∴∠DEC=∠ECH，
∴ =15°
故答案为： 15°.
【分析】作辅助线，根据平行线的性质，可以判断∠ABC=∠BCH，根据角度的关系以及平行线的性质，判断出∠DCE.
17． 生活中常见的一种折叠拦道闸， 如图 1 所示． 若想求解某些特殊状态下的角度， 需将其抽象为几何图形， 如图 2 所示， 垂直于地面 于点 平行于地面 ， 则 　 　°
【答案】270
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BF∥CD，如下图：
∵BF∥CD
∴∠BCD+∠CBF=180°
∵AB⊥AE，BF∥CD∥AE
∴∠BAE=∠ABF=90°
∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠BCD+∠CBF=90°+180°=270°
故答案为：270.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠BCD+∠CBF=180°；根据垂线的性质和平行线的性质，可得∠ABC+∠BCD的值.
18．（2025七下·竞赛）如图，AB//CD，点M在直线AB，CD之间，GH是∠AGM的平分线，连接GM，HM，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N=∠BGM，∠M=∠N+∠HGN，则∠MHG 的度数为　 　.
【答案】45°
【知识点】角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过M作MF//AB，过H作HE//GN，如图：
设∠BGM=2α，∠MHD=β，则∠N=∠BGM=2α，
∴∠AGM=180°-2α，
∵GH平分∠AGM.
∴，
∴∠BGH=∠BGM+∠MGH=90°+α，
∵AB//CD.
∴MF//AB//CD，
∴∠M=∠GMF+∠FMH=∠BGM+∠MHD=2α+β，
∵，
∴
∴∠HGN=β-α，
∵HE//CN.
∴∠GHE=∠HGN=β-α，∠EHM=∠N=2α，
∴∠GHD=∠GHE+∠EHM+∠MHD=(β-α)+2α+β=2β+α，
∵AB//CD.
∴∠BGH+∠GHD=180°，
∴(90°+α)+(2β+α)=180°，
∴α+β=45°，
∴∠MHG=∠GHE+∠EHM=(β-α)+2α=α+β=45°
故答案为：45°.
【分析】过M作MF//AB，过H作HE//GN，设∠BGM=2α，∠MHD=β，可得∠BGH=∠BGM+∠MGH=90°+a，由∠M=∠N+∠HGN，可得∠HGN=β-a，从而∠GHD=∠GHE+∠EHM+∠MHD=2B+a，又∠BGH+∠GHD=180°，即知a+B=45°，进而即可求解.
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2025七下·慈溪期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A移动到点A'处，点B，C分别移动到点B'，C'处.
（1）请画出平移后的三角形A'B'C'：
（2）若连接AA'，CC’，则这两条线段之间的位置关系　 　.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）平行
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）A点的对应点为A'，C点的对应点为C'，因为平移后，对应点连线平行，所以AA'∥CC'.
故答案为：平行.
【分析】（1）利用点A与A'的位置确定平移的距离与方向，然后利用此平移规律画出B、C的对应点B'、C'后连接A'、B'、C'即可；
（2）根据平移的性质判断即可.
20．（2025七下·杭州期中）如图，在边长为1的方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点。
（1）补全三角形；
（2）若连接，则这两条线段之间的关系是　 　；
（3）求线段BC平移过程中扫过的面积．
【答案】（1）如图， 三角形 即为所求；
（2）平行且相等
（3）线段BC平移过程中扫过的面积为：
S =S四边形BB'C'C=4×5=20.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）由平移得，这两条线段之间的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等.
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质即可得出答案；
（3）根据图与平移的性质可知： 线段BC平移过程中扫过的面积是平行四边形的面积，求解即可.
21．（2025七下·义乌月考）如图，已知AB//CD，AD平分∠EAC，∠B=∠D.
（1）请说明AD//BC：
（2）若∠DAC=（2x+15）°，∠B=（105-3x）°，求∠D的度数.
【答案】（1）证明：，
，
又，
，
（2）解：∵AD 平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=(2x+15)°
由(1) 可知： ∠EAD=∠B，
∴2x+15=105-3x，
解得：x=18，
∴∠B=(105-3x)° =(105-3×18)° =51°，
∴∠D=∠B=51°
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)首先由AB//CD得∠EAD=∠D，进而根据已知条件可得出∠EAD=∠B，然后根据平行线的判定可得出结论；
(2)先根据角平分线的定义得∠EAD=∠DAC=(2x+15)°，再根据(1)得∠EAD=∠B，据此可得出2x-15=105-3x，由此可求出x，进而求出∠B的度数即可得出答案.
22．（2025七下·龙泉期中）如图，在中，于点，点是BC上一点，过点作于点，点是AC上一点，连结DG，且。
（1）请说明的理由。
（2）若平分，求的度数。
【答案】（1），
，
，
；
（2），
平分，
．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)根据“垂直于同一直线的两条直线平行”推出CD//EF，根据“两直线平行，同位角相等”得出∠2=∠BCD，则∠1=∠BCD，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解；
(2)根据平行线的性质得出∠ACB=∠3=70°，根据角平分线定义求出∠BCD=35°，再根据平行线的性质求解可.
23．（2025七下·嵊州期中）如图，∠1=∠2= 40°，MN平分∠EMB
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（2）求∠3的度数
【答案】（1）解：∵∠1=∠AME，∠1=∠2
∴∠AME=∠2
∴AB//DC
（2）解：∵MN平分∠EMB，
∴∠EMN=∠BMN
∵∠1+∠EMN+∠BMN=180°，∠1=40°，
∴∠BMN=70°.
∵AB//DC，
∴∠3+∠BMN=180°，
∴∠3=110°.
【知识点】角平分线的概念；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）由对顶角的性质和 ∠1=∠2= 40°， 可得∠AME=∠2，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得到结论；
（2）由角平分线的定义可计算得∠BMN=70°，再由平行线的性质即可得到结论.
24．（2024七下·滨海期中）如图，直线与交于点O，平分交直线l于点A，平分交直线l于点B，且．
（1）求的度数：
（2）求证：；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）解：分别平分和，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，
，
．
（3）解：，
，
，
，
，
平分，
，
的度数为130°．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据角的和差即可求解；
（2）由（1）可得，再结合可得，然后根据平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行，即可证明结论；
（3）由可知，再按比例分配可求得，进而可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答．
25．（2025七下·广州期中）问题情境：如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
（1）观察猜想：小明猜想，他过点作，如图2，请帮他完成证明过程．
（2）深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
（3）问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则________°．
【答案】（1）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）127
【知识点】平行线的性质；平行公理
【解析】【解答】（3）解：如图3：过点C作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：127．
【分析】（1）过点作，根据直线平行性质可得再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作，根据直线平行性质可得∠BCM，再根据角之间的关系可得∠DCM，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）解：如图3：过点C作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：127．
26．（2025七下·深圳期中）如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点，点F，EM平分交CD于点，且．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）点是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分交CD于点，过点作于点，当点在点的右侧时，若，求的度数；
【答案】（1）解：结论：．
理由：如图1中，
平分交CD于点，
，
．
，
．
（2）解：如图2中，
，
，
，
．
，
平分，
，
，
，
，则，
，
.
【知识点】角的运算；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再结合，利用等量代换可得，从而可证出AB//CD；
（2）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，利用角的运算求出，则，最后利用平行线的性质可得.
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