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二次根式·双重非负性—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·义乌期中）已知，则的值为（　　）
A． B． C．2025 D．4050
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】先根据有意义，求出x，再求出y，然后代入求值.
2． 下列说法错误的是（　　）
A．当 时， 没有意义 B．当 时，
C．当 时， D． 没有最小值
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：A、中，当x＜4时，x-4＜0，所以此二次根式无意义，故此选项正确，不符合题意；
B、当x=4时，，故此选项正确，不符合题意；
C、中，当x＞4时，x-4＞0，所以，故此选项正确，不符合题意；
D、中，当x=4时，有最小值为，故此选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由二次根式无意义的条件是被开方数不能为负数可判断A选项；将x=0代入式子按算术平方根定义计算可判断B选项；由二次根式的非负性，可判断C、D选项.
3． 方程 ， 当 时， 的值是（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴4x-8=0，x-y-m=0，
∴x=2，y=2-m，
又∵y=1，
∴2-m=1，
解得m=1.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出y=2-m，进而再结合y=1可求出m的值.
4．（2024八下·长兴月考）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．10 B．14 C．16 D．16或14
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴x-4=0，y-6=0，
∴x=4，y=6，
∵ x，y的值为等腰三角形的两边长，
∴该等腰三角形的三边长为4、4、6或6、6、4，
∵4+4＞6，4+6＞6，
∴这两种情况都能围成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为4+4+6=14或4+6+6=16.
故答案为：D.
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得x=4，y=6，进而根据等腰三角形的性质可得等腰三角形的三边长为4、4、6或6、6、4，然后根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的再根据三角形周长的计算方法算出其周长即可.
5．若则x的取值范围是（　　）
A．x<5 B．x≤5 C．x≥5 D．x>5
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：因为若 ，
所以x-5≥0，
解得：
故答案为：C.
【分析】根据，由此性质解答即可.
6．（2017八下·常山月考）如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简 的结果是（　　）
A．﹣5 B．1 C．13 D．19﹣4k
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】由三角形三边关系得3-1原式=7-
因为2则2k-9<0，2k-3>0，
所以上式=7-（9-2k）-(2k-3)=7-9+2k-2k+3=1.
故选B.
【分析】根据三角形的三边关系可得3-17．若|x-2y|+=0，则xy的值为(　　)
A．0 B．－6 C．8 D．－8
【答案】C
【知识点】代数式求值；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】首先根据非负数的性质，可列方程组求出x、y的值，再代入xy中计算即可．
【解答】由题意，得：，
解得，
所以xy=（-2)×（-4)=8．
故选C．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．若a、b为实数，且满足|a-2|+=0，则b-a的值为（　　）
A．2 B．0 C．-2 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】首先根据绝对值与二次根式的非负性，得出a与b的值，然后代入b-a求值即可．
【解答】∵|a-2|+=0，
∴a=2，b=0
∴b-a=0-2=-2．
故选C．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
二、填空题
9．（2024八下·江北期末）当x＝　 　时，的值最小．
【答案】2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：由题意可知，≥0
∴的最小值是0，
∴x-2=0，
∴x=2，
当x=2时，的值最小．
故答案为：2．
【分析】先根据二次根式的非负性求出的最小值是0，据此列出方程求解即可.
10．（2024八下·乐清期中）已知等腰三角形的两边满足，则此三角形的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AB-4=0，8-BC=0，
即AB=4，BC=8，
若等腰三角形ABC的三边分别为4，4，8，则4+4=8，不能构成三角形；
若等腰三角形ABC的三边分别为4，8，8，则此三角形周长为4+8-8=20；
故答案为：20.
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得出AB，BC的值，然后结合三角形三边关系进行计算即可.
11．（2025八下·义乌期中） 已知实数a满足，那么的值是　 　．
【答案】2025
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，解得：，
∴，
∴可化为，
∴，两边平方，得，
移项，得
故答案为：2025.
【分析】先根据式子有意义，求出a的取值范围，再化简，求得的值.
12．（2024八下·温州期中） 已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴被开方数，即，
∴原式化简得：，
整理得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的双重非负性可判断x的范围，根据所得的x的范围将原等式化简，可求得x的值，把x的值代入所求代数式计算即可求解.
13．若实数 满足 0 ， 则 　 　.
【答案】7
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵实数m，n满足，
∴，
∴，
∴.
故答案为：7.
【分析】根据非负数的性质，两个非负数的和为零时，必须满足其中的每一项都等于零，可求出m，n的值，进而代入数值即可求解.
14．（2017八下·容县期末）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简 ＋|a－2|的结果为　 　．
【答案】3
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
∴2＜x＜5.
则 +|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．
故答案为：3．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
三、解答题
15．（2024八下·义乌期中）（1）若实数满足等式，求的值；
（2）已知，求的平方根．
【答案】解：（1），
，解得，
；
（2），
，且，
，则，
，则的平方根是．
【知识点】二次根式有无意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据非负数求出的值，然后代入代数式求立方根即可；
（2）利用二次根式的被开方数为非负数求出的值，进而求出y的值，代入求出平方根即可．
16．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）已知 与|x-y-3|互为相反数，求 的值．
【答案】解：由题意，得 +|x-y-3|=0，
由非负数的性质，得
解得 ∴
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；实数的相反数
【解析】【分析】根据相反数的性质得出 +|x-y-3|=0， 再根据非负性得出二元一次方程组，解方程组得出x，y的值，再代入原式进行计算，即可得出答案.
17．（2020八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）计算：
（2）已知a= ，b= ，求a -ab+b 的值。
【答案】（1）解：原式=5-4+2
=3
（2）解：∵ ，
∴当 时，
原式=
=8+1=9
【知识点】平方差公式及应用；算术平方根的性质（双重非负性）；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据求一个数的平方和一个数算数平方根的方法进行计算。
（2）运用完全平方公式对代数式 a -ab+b 进行化简得出（a-b）2+ab，在代入求值。
18．（2023八下·长兴月考）我们知道，≥0(a≥0)，所以当a≥0时，的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式和进行了以下的探索：
∵x2≥0，∴x2+1≥1，∴≥=1，
∴当x=0时，的最小值为1．
∵x2≥0，∴-x2≤0，∴-x2+3≤3，∴≤v3，
∴当x=0时，的最大值为．
（1）求的最小值和的最大值；
（2）求的最小值；
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=，则其面积S=．这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为多少？
【答案】（1）解：∵(x+2)2≥0，∴(x+2)2+7≥7，∴≥，
∴当x+2=0时，的最小值为
∵(x-5)2≥0，∴-(x-5)2≤0，∴-(x-5)2+9≤9，∴≤=3，
∴当x-5=0时，的最大值为3．
（2）解：∵==
∴当x-2=0时，的最小值为4．
（3）解：当p=5，c=4时，S==
∵a+b+c=2p，∴b=6-a
∴S===
=
=
∴S的最大值为
【知识点】无理数的估值；三角形的面积；算术平方根的性质（双重非负性）；完全平方式
【解析】【分析】（1）利用平方的非负性，可知(x+2)2≥0，∴(x+2)2+7≥7，可得到≥；由此可得到的最小值；利用(x-5)2≥0可得到-(x-5)2+9≤9，由此可推出≤3，即可得到最大值.
（2）将转化为，即可求出其最小值.
（3）将p=5，c=4代入S和p，可得到b=6-a，，同理可求出三角形面积的最大值.
1 / 1二次根式·双重非负性—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·义乌期中）已知，则的值为（　　）
A． B． C．2025 D．4050
2． 下列说法错误的是（　　）
A．当 时， 没有意义 B．当 时，
C．当 时， D． 没有最小值
3． 方程 ， 当 时， 的值是（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
4．（2024八下·长兴月考）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．10 B．14 C．16 D．16或14
5．若则x的取值范围是（　　）
A．x<5 B．x≤5 C．x≥5 D．x>5
6．（2017八下·常山月考）如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简 的结果是（　　）
A．﹣5 B．1 C．13 D．19﹣4k
7．若|x-2y|+=0，则xy的值为(　　)
A．0 B．－6 C．8 D．－8
8．若a、b为实数，且满足|a-2|+=0，则b-a的值为（　　）
A．2 B．0 C．-2 D．以上都不对
二、填空题
9．（2024八下·江北期末）当x＝　 　时，的值最小．
10．（2024八下·乐清期中）已知等腰三角形的两边满足，则此三角形的周长为　 　．
11．（2025八下·义乌期中） 已知实数a满足，那么的值是　 　．
12．（2024八下·温州期中） 已知，则的值为　 　．
13．若实数 满足 0 ， 则 　 　.
14．（2017八下·容县期末）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简 ＋|a－2|的结果为　 　．
三、解答题
15．（2024八下·义乌期中）（1）若实数满足等式，求的值；
（2）已知，求的平方根．
16．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）已知 与|x-y-3|互为相反数，求 的值．
17．（2020八下·上虞期末）解答下列各题：
（1）计算：
（2）已知a= ，b= ，求a -ab+b 的值。
18．（2023八下·长兴月考）我们知道，≥0(a≥0)，所以当a≥0时，的最小值为0．根据这种结论，小明同学对二次根式和进行了以下的探索：
∵x2≥0，∴x2+1≥1，∴≥=1，
∴当x=0时，的最小值为1．
∵x2≥0，∴-x2≤0，∴-x2+3≤3，∴≤v3，
∴当x=0时，的最大值为．
（1）求的最小值和的最大值；
（2）求的最小值；
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=，则其面积S=．这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】先根据有意义，求出x，再求出y，然后代入求值.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：A、中，当x＜4时，x-4＜0，所以此二次根式无意义，故此选项正确，不符合题意；
B、当x=4时，，故此选项正确，不符合题意；
C、中，当x＞4时，x-4＞0，所以，故此选项正确，不符合题意；
D、中，当x=4时，有最小值为，故此选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由二次根式无意义的条件是被开方数不能为负数可判断A选项；将x=0代入式子按算术平方根定义计算可判断B选项；由二次根式的非负性，可判断C、D选项.
3．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴4x-8=0，x-y-m=0，
∴x=2，y=2-m，
又∵y=1，
∴2-m=1，
解得m=1.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出y=2-m，进而再结合y=1可求出m的值.
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴x-4=0，y-6=0，
∴x=4，y=6，
∵ x，y的值为等腰三角形的两边长，
∴该等腰三角形的三边长为4、4、6或6、6、4，
∵4+4＞6，4+6＞6，
∴这两种情况都能围成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为4+4+6=14或4+6+6=16.
故答案为：D.
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得x=4，y=6，进而根据等腰三角形的性质可得等腰三角形的三边长为4、4、6或6、6、4，然后根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的再根据三角形周长的计算方法算出其周长即可.
5．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：因为若 ，
所以x-5≥0，
解得：
故答案为：C.
【分析】根据，由此性质解答即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】由三角形三边关系得3-1原式=7-
因为2则2k-9<0，2k-3>0，
所以上式=7-（9-2k）-(2k-3)=7-9+2k-2k+3=1.
故选B.
【分析】根据三角形的三边关系可得3-17．【答案】C
【知识点】代数式求值；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】首先根据非负数的性质，可列方程组求出x、y的值，再代入xy中计算即可．
【解答】由题意，得：，
解得，
所以xy=（-2)×（-4)=8．
故选C．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】首先根据绝对值与二次根式的非负性，得出a与b的值，然后代入b-a求值即可．
【解答】∵|a-2|+=0，
∴a=2，b=0
∴b-a=0-2=-2．
故选C．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
9．【答案】2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：由题意可知，≥0
∴的最小值是0，
∴x-2=0，
∴x=2，
当x=2时，的值最小．
故答案为：2．
【分析】先根据二次根式的非负性求出的最小值是0，据此列出方程求解即可.
10．【答案】20
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AB-4=0，8-BC=0，
即AB=4，BC=8，
若等腰三角形ABC的三边分别为4，4，8，则4+4=8，不能构成三角形；
若等腰三角形ABC的三边分别为4，8，8，则此三角形周长为4+8-8=20；
故答案为：20.
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性得出AB，BC的值，然后结合三角形三边关系进行计算即可.
11．【答案】2025
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，解得：，
∴，
∴可化为，
∴，两边平方，得，
移项，得
故答案为：2025.
【分析】先根据式子有意义，求出a的取值范围，再化简，求得的值.
12．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴被开方数，即，
∴原式化简得：，
整理得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的双重非负性可判断x的范围，根据所得的x的范围将原等式化简，可求得x的值，把x的值代入所求代数式计算即可求解.
13．【答案】7
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵实数m，n满足，
∴，
∴，
∴.
故答案为：7.
【分析】根据非负数的性质，两个非负数的和为零时，必须满足其中的每一项都等于零，可求出m，n的值，进而代入数值即可求解.
14．【答案】3
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
∴2＜x＜5.
则 +|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．
故答案为：3．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
15．【答案】解：（1），
，解得，
；
（2），
，且，
，则，
，则的平方根是．
【知识点】二次根式有无意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据非负数求出的值，然后代入代数式求立方根即可；
（2）利用二次根式的被开方数为非负数求出的值，进而求出y的值，代入求出平方根即可．
16．【答案】解：由题意，得 +|x-y-3|=0，
由非负数的性质，得
解得 ∴
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；实数的相反数
【解析】【分析】根据相反数的性质得出 +|x-y-3|=0， 再根据非负性得出二元一次方程组，解方程组得出x，y的值，再代入原式进行计算，即可得出答案.
17．【答案】（1）解：原式=5-4+2
=3
（2）解：∵ ，
∴当 时，
原式=
=8+1=9
【知识点】平方差公式及应用；算术平方根的性质（双重非负性）；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据求一个数的平方和一个数算数平方根的方法进行计算。
（2）运用完全平方公式对代数式 a -ab+b 进行化简得出（a-b）2+ab，在代入求值。
18．【答案】（1）解：∵(x+2)2≥0，∴(x+2)2+7≥7，∴≥，
∴当x+2=0时，的最小值为
∵(x-5)2≥0，∴-(x-5)2≤0，∴-(x-5)2+9≤9，∴≤=3，
∴当x-5=0时，的最大值为3．
（2）解：∵==
∴当x-2=0时，的最小值为4．
（3）解：当p=5，c=4时，S==
∵a+b+c=2p，∴b=6-a
∴S===
=
=
∴S的最大值为
【知识点】无理数的估值；三角形的面积；算术平方根的性质（双重非负性）；完全平方式
【解析】【分析】（1）利用平方的非负性，可知(x+2)2≥0，∴(x+2)2+7≥7，可得到≥；由此可得到的最小值；利用(x-5)2≥0可得到-(x-5)2+9≤9，由此可推出≤3，即可得到最大值.
（2）将转化为，即可求出其最小值.
（3）将p=5，c=4代入S和p，可得到b=6-a，，同理可求出三角形面积的最大值.
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