资源简介

二次根式·分母有理化—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·宁波月考）设，，则与的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
2．（2024八下·绍兴期中）下列化简正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023八下·余杭月考）化简（　　）
A． B． C． D．
4．下列各式中，不成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： 除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的二次根式，如：对于设x 易知 故x >0，由 得 x= ，即 根据以上方法，化简 的结果是 （　　）
A． B． C． D．
6．（2020八下·滨江开学考）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2019八下·余姚期末）设a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b>c>a B．b>a>c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
8．的有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．填空 　 　　 　=　 　
10．若 则A　 　B(填“>”“<”或“=”).
11．（2024八下·平湖期末）已知，则的值为　 　．
12．（2025八下·义乌月考）如图，一块长方形场地的长与宽的比为，于点，于点，连接，，则四边形与长方形的面积比为　 　．
13．（2022八下·定海期末）若的小数部分是，则的值是　 　．
14．（2015八下·萧山期中）观察下列等式： ， ，请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算（ …+ ） （ + ）=　 　．
三、解答题
15．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
16．（2025八下·温州期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题．
（1）　 　；
（2）求的值．
（3）比较　 　（用“”、“”或“”填空）．
17．（2025八下·杭州期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）________；_______；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
18．阅读下列材料，然后回答问题。
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）计算：．
（2）已知是正整数，，，，求．
（3）已知，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解：∵a=-3，b=，
∴b===-(+3)，
∵，
∴-3＞-(+3)，
∴a＞b.
故答案为：D .
【分析】由题意并结合二次根式的分母有理化可得b的值，根据实数大小的比较法则“两个负实数，绝对值大的反而小”可判断求解.
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：A.，计算正确；
B.，原式错误；
C.，原式错误；
D.，原式错误；
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可．
3．【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】分母乘即可分母有理化.
4．【答案】C
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除混合运算；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：选项A，故选项A正确；
选项B，故选项B正确；需要注意的是，不是最简二次根式，在做题的过程中要化到最简；
选项C，，故选项C错误；
选项D，，故选项D正确.
故答案为：C.
【分析】选项A，利用二次根式的性质将、化成最简二次根式后进行计算；选项B，将被开方数先进行计算得，然后化成最简二次根式；选项C，将分子化成最简二次根式，然后合并同类二次根式；选项D，直接分母有理化，分子分母同时乘以，然后利用完全平放式进行计算．
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：设，
则
=12-6
=6；
∵，
∴；
∴；
∴
.
故答案为：D.
【分析】根据题意设，求出，代入原式，化简求值即可.
6．【答案】A
【知识点】实数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解： =
∵ ＞ ＞
∴ ＞ ＞
∴
故答案为：A.
【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论.
7．【答案】B
【知识点】最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：，
由 ， 则b>a， 由， 则b>c， ∴b最大， 又∵ ，则a>c. 故b>a>c.
故答案为：B
【分析】先把已知量化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小，最大值比其他任何数都大，找出最大值，以此类推找出次大值和最小值.
8．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式．然后根据题意就可以求出其解．
【解答】由题意，得的有理化因式是：，
故选C.
【点评】在解答中根据有理化因式的特征解题是关键．
9．【答案】；；+1
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：==，
故答案为：，，+1.
【分析】根据“分母有理化”对二次根式进行化简.
10．【答案】>
【知识点】实数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解：∵===，
又，
∴>5-4=1，
即A>B，
故答案为：>.
【分析】先对A进行分母有理化进行化简并估算，再与B对比即可.
11．【答案】32
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∴，
故答案为：32．
【分析】先将，b分母有理化，再将代数式配方，然后代入求解．
12．【答案】
【知识点】分母有理化；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：设长方形的长和宽为：和，
由勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
同理可得：，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形与长方形的面积比为：．
故答案为：．
【分析】设长方形的长和宽为和，用x分别表示出AC，DE，BF，再利用HL定理可证明，根据全等三角形的性质，可得出，再求出AE、EF，接着用x表示出，，再求出它们的比即可．
13．【答案】
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：∵，
的整数部分是3，小数部分是，
．
故答案为：.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<<4，则a=-3，然后代入中进行计算即可.
14．【答案】4020
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：原式=2（ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）（ + ）
=2（ ﹣ ）（ + ）
=2×2010=4020．
故答案为：4020．
【分析】先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可求出第一个括号内代数式的值，进而可根据平方差公式求出整个代数式的值．
15．【答案】（1）解：原式=3-=2.
（2）解：原式=+=2
（3）解：原式=(4-3)÷=÷=1
（4）解：原式=()2-(2)2+3=2-12+3=3-10.
（5）解：原式=3-6+9+2-3=12-7.
（6）解：原式=+-(+)=+--=-.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】⑴先化简及（），再进行计算作答.
⑵根据及化简计算.
⑶先化简，再计算
⑷根据平方差公式计算，再化简，最后化简计算即可.
⑸根据完全平方公式计算，再根据计算最后再化简计即可.
⑹先对进行分母有理化，再合并化简即可.
16．【答案】（1）
（2）解：
（3）
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： (1)；
(2)
(3)，
，
由于，
故对应的倒数，
即 。
【分析】 (1) 根据发现，将2化为，将所给式子进行分母有理化，化简即可；
(2)根据题一的计算，发现运算规律，进一步利用规律，即根据分母有理化的性质进行化简，将所有项展开后， 抵消中间项 ，累加求和；
(3) 无法直接比较，通过上述（1）（2）规律，通过对规律逆运用，通分比较分母的大小关系比较.
17．【答案】（1）；
（2）解：原式=，
=（）+（）+（）+……+（），
=-1+13
12
（3）解：∵==，
∴a-2=，
∴（a-2）2=5，
∴，
∴
将代入得：
=
=
=1+3
=4.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；；
【分析】（1）将分母分别乘以和，利用分母有理化计算即可；
（2）先将分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（3）先根据分母有理化得到，将其变形为，进而得到，然后利用整体代入法进行计算即可．
（1）解：，
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：
18．【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：，，
，，，
，
∵a+b+2ab=2024
∴4m＋2+2=2024
∴m=505
（3）解：设，，则，
∵，
，
，
，
，
，
．（舍去），
．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【分析】(1)先把每一项的分子分母同乘共轭式进行分母有理化，再提取，使中间项形成“裂项相消”，最后合并得到结果；
(2)先对a、b分别进行分母有理化，得到a，b，再计算ab=1与a+b=4m+2，代入方程a+b+2ab=2024求解m；
(3)设，则，则a-b=1，然后根据，得到ab=20，最后利用求出a+b的值。
1 / 1二次根式·分母有理化—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·宁波月考）设，，则与的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解：∵a=-3，b=，
∴b===-(+3)，
∵，
∴-3＞-(+3)，
∴a＞b.
故答案为：D .
【分析】由题意并结合二次根式的分母有理化可得b的值，根据实数大小的比较法则“两个负实数，绝对值大的反而小”可判断求解.
2．（2024八下·绍兴期中）下列化简正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：A.，计算正确；
B.，原式错误；
C.，原式错误；
D.，原式错误；
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可．
3．（2023八下·余杭月考）化简（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】分母乘即可分母有理化.
4．下列各式中，不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式；二次根式的乘除混合运算；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：选项A，故选项A正确；
选项B，故选项B正确；需要注意的是，不是最简二次根式，在做题的过程中要化到最简；
选项C，，故选项C错误；
选项D，，故选项D正确.
故答案为：C.
【分析】选项A，利用二次根式的性质将、化成最简二次根式后进行计算；选项B，将被开方数先进行计算得，然后化成最简二次根式；选项C，将分子化成最简二次根式，然后合并同类二次根式；选项D，直接分母有理化，分子分母同时乘以，然后利用完全平放式进行计算．
5．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： 除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的二次根式，如：对于设x 易知 故x >0，由 得 x= ，即 根据以上方法，化简 的结果是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：设，
则
=12-6
=6；
∵，
∴；
∴；
∴
.
故答案为：D.
【分析】根据题意设，求出，代入原式，化简求值即可.
6．（2020八下·滨江开学考）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解： =
∵ ＞ ＞
∴ ＞ ＞
∴
故答案为：A.
【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论.
7．（2019八下·余姚期末）设a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b>c>a B．b>a>c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】B
【知识点】最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：，
由 ， 则b>a， 由， 则b>c， ∴b最大， 又∵ ，则a>c. 故b>a>c.
故答案为：B
【分析】先把已知量化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小，最大值比其他任何数都大，找出最大值，以此类推找出次大值和最小值.
8．的有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式．然后根据题意就可以求出其解．
【解答】由题意，得的有理化因式是：，
故选C.
【点评】在解答中根据有理化因式的特征解题是关键．
二、填空题
9．填空 　 　　 　=　 　
【答案】；；+1
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：==，
故答案为：，，+1.
【分析】根据“分母有理化”对二次根式进行化简.
10．若 则A　 　B(填“>”“<”或“=”).
【答案】>
【知识点】实数的大小比较；分母有理化
【解析】【解答】解：∵===，
又，
∴>5-4=1，
即A>B，
故答案为：>.
【分析】先对A进行分母有理化进行化简并估算，再与B对比即可.
11．（2024八下·平湖期末）已知，则的值为　 　．
【答案】32
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∴，
故答案为：32．
【分析】先将，b分母有理化，再将代数式配方，然后代入求解．
12．（2025八下·义乌月考）如图，一块长方形场地的长与宽的比为，于点，于点，连接，，则四边形与长方形的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】分母有理化；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：设长方形的长和宽为：和，
由勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
同理可得：，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形与长方形的面积比为：．
故答案为：．
【分析】设长方形的长和宽为和，用x分别表示出AC，DE，BF，再利用HL定理可证明，根据全等三角形的性质，可得出，再求出AE、EF，接着用x表示出，，再求出它们的比即可．
13．（2022八下·定海期末）若的小数部分是，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：∵，
的整数部分是3，小数部分是，
．
故答案为：.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得3<<4，则a=-3，然后代入中进行计算即可.
14．（2015八下·萧山期中）观察下列等式： ， ，请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算（ …+ ） （ + ）=　 　．
【答案】4020
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：原式=2（ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）（ + ）
=2（ ﹣ ）（ + ）
=2×2010=4020．
故答案为：4020．
【分析】先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可求出第一个括号内代数式的值，进而可根据平方差公式求出整个代数式的值．
三、解答题
15．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）解：原式=3-=2.
（2）解：原式=+=2
（3）解：原式=(4-3)÷=÷=1
（4）解：原式=()2-(2)2+3=2-12+3=3-10.
（5）解：原式=3-6+9+2-3=12-7.
（6）解：原式=+-(+)=+--=-.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】⑴先化简及（），再进行计算作答.
⑵根据及化简计算.
⑶先化简，再计算
⑷根据平方差公式计算，再化简，最后化简计算即可.
⑸根据完全平方公式计算，再根据计算最后再化简计即可.
⑹先对进行分母有理化，再合并化简即可.
16．（2025八下·温州期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题．
（1）　 　；
（2）求的值．
（3）比较　 　（用“”、“”或“”填空）．
【答案】（1）
（2）解：
（3）
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： (1)；
(2)
(3)，
，
由于，
故对应的倒数，
即 。
【分析】 (1) 根据发现，将2化为，将所给式子进行分母有理化，化简即可；
(2)根据题一的计算，发现运算规律，进一步利用规律，即根据分母有理化的性质进行化简，将所有项展开后， 抵消中间项 ，累加求和；
(3) 无法直接比较，通过上述（1）（2）规律，通过对规律逆运用，通分比较分母的大小关系比较.
17．（2025八下·杭州期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值，他是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）________；_______；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：原式=，
=（）+（）+（）+……+（），
=-1+13
12
（3）解：∵==，
∴a-2=，
∴（a-2）2=5，
∴，
∴
将代入得：
=
=
=1+3
=4.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；；
【分析】（1）将分母分别乘以和，利用分母有理化计算即可；
（2）先将分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（3）先根据分母有理化得到，将其变形为，进而得到，然后利用整体代入法进行计算即可．
（1）解：，
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：
18．阅读下列材料，然后回答问题。
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）计算：．
（2）已知是正整数，，，，求．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：，，
，，，
，
∵a+b+2ab=2024
∴4m＋2+2=2024
∴m=505
（3）解：设，，则，
∵，
，
，
，
，
，
．（舍去），
．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【分析】(1)先把每一项的分子分母同乘共轭式进行分母有理化，再提取，使中间项形成“裂项相消”，最后合并得到结果；
(2)先对a、b分别进行分母有理化，得到a，b，再计算ab=1与a+b=4m+2，代入方程a+b+2ab=2024求解m；
(3)设，则，则a-b=1，然后根据，得到ab=20，最后利用求出a+b的值。
1 / 1

展开更多......

收起↑