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一元二次方程·韦达定理—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·杭州月考）二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2024八下·安徽期末）若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2015 B． C．2016 D．2019
3．已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=3，则m的值为（　　）
A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或3
4．（2025八下·诸暨期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（　　）
A．-4 B．4 C．7 D．-7
5．（2025八下·深圳期末） 已知x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰△ABC的一边长为3，若x1，x2恰好是△ABC另外两边长，则△ABC周长为(　　)
A．9 B．9或11 C．13 D．9或13
6．（2024八下·拱墅期末）已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（　　）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
7．（2025八下·永康月考）关于的一元二次方程，下列说法：若，则方程一定有两个不相等的实数根；若，则方程没有实数根；若是方程的一个根，则；若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是(　　)
A． B． C． D．
8．（2025八下·义乌月考）若定义：方程是方程的＂倒方程＂．则下列四个结论：①如果是的倒方程的一个解，则．②一元二次方程与它的倒方程有公共解．③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（　　）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2025八下·浙江月考）方程的两根为，，则的值为　 　．
10．（2025八下·成都期中）已知关于x的一元二次方程x2-2（m+2）x+m2-5=0的两个实数根的平方和等于44，则m的值是　 　.
11．（2025·浙江竞赛）如果m、n是两个不相等的实数，且满足，，，那么代数式　 　.
12．（2024八下·宁波竞赛）设关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是　 　.
13．已知二次多项式 ．
（1） 当 时，该多项式的值为　 　
（2） 若关于 的方程 有两个不相等的整数根， 则正数 的值为　 　
14．（2025八下·杭州月考）如果关于x的一元二次方程a2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　（填序号）
①方程x2-x-2=0是倍根方程；
②若（x-2)（mx+n)=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；
③若p，q满足pq=2，则关于x的方程叔px2+3x+q=0是倍根方程；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac·
三、解答题
15．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根x1，x2.
（1）试求k的取值范围；
（2）若 试求k的值；
（3）若 试求 k的值.
16．（2025八下·北仑期末） 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
17．（2025八下·临平月考）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程a2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，若x12<0，且3<<4，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=-10，x2=-3，因-10<-3<0，3<<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”，
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断：一元二次方程x2+14x+33=0　 　（填“是”或“不是”）“限根方程”.
（2）若关于x的一元二次方程x2+（k十9）x+k2+8=0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2=-121，求k的值.
（3）若关于x的一元二次方程x2+（1-m）x-m=0是“限根方程”，求m的取值范围.
18．（2024八下·慈溪期中）十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中， 发现方程的根与系数之间存在着特殊关系， 由于该关系最早由韦达发现， 人们把这个关系称之为韦达定理。韦达定理： 有一元二次方程形如 的两根分别为 ， 则有
（1） 是关于 的一元二次方程 的两实根， 且 ，求 的值.
（2） 已知： 是一元二次方程 的两个实数根， 设 ， . 根据根的定义， 有 ， 将两式相加， 得 ， 于是， 得 .
根据以上信息， 解答下列问题：
①直接写出 的值.
②经计算可得： ， 当 时， 请猜想 之间满足的数量关系， 并给出证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程 中，且它的两根为1和5
即：
直线经过一、二、四象限
故答案为：C.
【分析】对于一次函数，当时，直线经过一、二、三象限；当时，直线经过一、三、四象限；当时，直线经过一、二、四象限；当时，直线经过二、三、四象限；因此对于直线的大体位置，由于二次项系数且两根已知，则可利用根与系数的关系先分别确定出的性质符号，则b的符号即可确定，则直线的大体位置可确定.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：是方程的两个实数根，，即，则．
故答案为：C．
【分析】把 代入，变形得，由根与系数的关系得，代入=2018-2=2016．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=2m-1 ，x1·x2=m2，
∴ (x1+1)(x2+1)=x1·x2+（x1+x2）+1=3，
即m2+2m-1+1=3，
解得m=-3或1，
当m=1时，方程为x2-x+1=0，此方程无实数根，
∴m=-3.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2m-1 ，x1·x2=m2，再根据 (x1+1)(x2+1)=x1·x2+（x1+x2）+1=3建立关于m方程，求出m值，再代入方程检验即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x2-7x-4m2=0；
∴由韦达定理得，；
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程，根据韦达定理，两根之和，代入系数即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：可分为两种情况：①3为底边，则其它两边为腰长，可设 x1=x2=a，
根据根与系数的关系可得：，
解得：，
此时 △ABC周长为 3+3+3=9；
②3为腰长，则其它两边长为3和b，
根据根与系数的关系可得：，
解得：（舍去），
此时 △ABC周长为3+3+3=9.
故答案为：A .
【分析】可分为两种情况：①3为底边，②3为腰长，分别根据根与系数的关系列出方程，解方程即可求得三角形的边长，进而得出周长即可。
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
∴，
解得，
∴正根为1，
∵的另一个根为4，
∴，
∴，
∵方程有一个正根为1，设另一个根为m，
∴则，
∴，
∴另一个根为，
∴的两个根分别为1，，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，求出正根为1；设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数，结合的另一个根为4，得到；方程有一个正根为1，设另一个根为m，利用根与系数关系得到，即可求出另一个根为．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；判断是否为一元二次方程的根；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：
当时，
方程一定有两个不相等的实数根，故结论正确；
当时，
当时，，方程没有实数根；
当时，，方程有两个实数根；故结论错误；
是方程的一个根
或，即，故结论正确；
是方程的一个根且
利用方程解的概念把代入到方程中得：
即是方程的一个根
故结论正确；
故答案为：C.
【分析】利用根的判别式直接验证即可；
先表示出根的判别式，此时由于的取值范围不确定，但因为大于，因此肯定是正数，但还需分类讨论，当时，，方程没有实数根；但当时，，方程有两个实数根；
利用方程解的概念把代入到方程中可得等于0或；
先利用方程解的概念把代入到方程中得到，由于，可给等式两边都除以，则可判定是方程的一个根.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：的倒方程为( 把 代入方程 得 解得 所以错误；
②一元二次方程( 与它的倒方程有公共解，正确，公共解是
③若一元二次方程( 无解，则它的倒方程也无解，正确，因为倒方程的判别式的值也小于0，方程没有实数根；
④当 时， 一元二次方程 的根的判别式 也为一元二次方程，此方程的根的判别式所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意；
故答案为： C.
【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程 与它的倒方程有公共解 ，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根为，，
∴.
故答案为：3.
【分析】利用根与系数的关系计算即可.对于一元二次方程(a≠0)，两个根为，，则，.
10．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两个实数根为x1
则
+26，
令 即
解得：
∵方程： 有实数根，
即：
综上所述：1.
【分析】先根据根与系数的关系得到 ，解 出方程，再根据根的判别式判断即可.
11．【答案】2029
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵m、n是两个不相等的实数，且满足
∴m、n可看作方程的两根，
∴m+n=2，
，
故答案为：2029.
【分析】先利用降次的方法得到1，则再根据题意可把m、n看作方程；的两根，根据根与系数的关系得到m+n=2，然后利用整体代入的方法计算.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程有两个不相等的实数根
∴＞0，
∴ (-5a+2)(7a+2)＞0
∴，解得
或无解
∵
∴
即
∴ 9-（-）+1＜0
解得：
综上，a的取值范围是
故答案 为：.
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的应用及解不等式及不等式组等知识，熟练掌握两根之和，两根之积，根的判别式是解题关键。由方程及两个不相等的实数根可得；＞0，可得；由得，则，可得，则a的范围可知.
13．【答案】（1）-4
（2）2或5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）当x=1时，x2-ax+a-5=1-a+a-5=-4；
故答案为：-4；
（2）设x1与x2是关于x的方程x2-ax+a-5=0的两个不相等的整数根，
∴x1+x2=a，x1x2=a-5，
∴a与a-5都是整数，
∴(-a)2-4(a-5)=a2-4a+20=(a-2)2+16为完全平方数，
设(a-2)2+16=t2（t为正整数），
则(a-2)2-t2=-16，
∴(a-2-t)(a-2+t)=-16，
由于a-2-t与a-2+t奇偶性相同，且a-2-t＜a-2+t，
∴或或，
解得或(舍去)或，
经检验，a=2与a=5符合要求，
∴正数a的值为2或5.
故答案为：2或5.
【分析】（1）直接把x=1代入多项式，化简即可；
（2）设x1与x2是关于x的方程x2-ax+a-5=0的两个不相等的整数根，由根与系数的关系得x1+x2=a，x1x2=a-5，且a与a-5都是整数，由根的判别式可得(-a)2-4(a-5)=a2-4a+20=(a-2)2+16为完全平方数，设(a-2)2+16=t2（t为正整数），则(a-2-t)(a-2+t)=-16，由于a-2-t与a-2+t奇偶性相同，且a-2-t＜a-2+t，从而列出方程组，求解即可.
14．【答案】①④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解： ①
不是倍根方程，故 ① 错误；
②
③
④ 设方程的两个根分别为和
当时，，化简得：
当时，，化简得：
故④正确；
故答案为：①④.
【分析】（1）先利用因式分解法求出方程的两个根再进行验证即可；
（2）（3）信息不全，无法作答；
（4）先设出方程的两个根，再利用公式法求出两个根，最后再进行验证即可.
15．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2kx+k2+k+1=0有两个实数根，
∴b2-4ac=(-2k)2-4×1×(k2+k+1)≥0，解得k≤-1
（2）解：∵方程x2-2kx+k2+k+1=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，
∵+=(x1+x2)2-2x1x2=10，
∴(2k)2-2(k2+k+1)=10，
整理，得k2-k-6=0，解得k1=3，k2=-2.
又∵k≤-1，∴k=-2
（3）解：由(2)可知：x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1.
∵k2+k+1=(k+)2+>0，
∴x1x2>0，
∵|x1|+|x2|=2，
∴(|x1|+|x2|)2=4，
∴+2|x1x2|+=4，
∵x1x2>0，
∴+2x1x2+=4，
∴(x1+x2)2=4，
∴(2k)2=4，∴k=±1.
又∵k≤-1，∴k=-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1） 根据一元二次方程根的判别式列出不等式，进而得出答案；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，再由+=(x1+x2)2-2x1x2=10，即可得出答案；
（3）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，再由k2+k+1=(k+)2+>0可得x1x2>0，再由|x1|+|x2|=2得+2|x1x2|+=4，由x1x2>0可得(x1+x2)2=4，进而得出(2k)2=4，解得k值，再判断即可.
16．【答案】（1）③
（2）解：解方程得，
∵方程是“邻根方程”，
∴，
解得m=或，
故答案为：或；
（3）解：设，是一元二次方程的两个根 ，
∴，，，
∵，
∴4c=b2-1，
∴.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
解：(1)解①得，x1=1，x2=-1，，故不符合条件；
解②得：，，故不符合条件；
解③得：，，故符合条件；
故答案为：③
【分析】(1)根据“邻根方程”的定义分别计算下列方程的根，然后判断即可；
(2)根据“邻根方程”的定义，可以得到两个根之间的关系，可以得到关于m的绝对值方程，解之即可；
(3)根据“邻根方程”的定义，设两个根，然后得到关于b，c的等式，变形即可证明.
17．【答案】（1）是
（2）解：根据题意得x1+x2=-(k+9)<0， x1x2=k2+8>0，
∵11x1+11x2+x1x2=-121，
∴11(x1+x2)+ x1x2=-121，
∴-11(k+9)+k2+8=-121，
整理得k2-11k+3=0，
解得k1=5，k2=6，
当k=5时，原方程化为x2+14x+33=0，此方程为“限根方程”；
当k=6时，原方程化为x2+15x+44=0，解得x1=-11，x2=-5，
∵-11＜-4＜0，＜3，
∴一元二次方程x2+15x+44=0不是“限根方程”；
综上所述，k的值为5.
（3）解：解方程x2+(1-m)x-m=0得x1=m，x2=-1，
关于x的一元二次方程x2+(1-m)x-m=0是“限根方程”，
当m<-1时，3<<4，
解得-4当-1解得
综上所述，m的取值范围为-4【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）x2+14x+33=0
（x+11）（x+3）=0，
所以x+11=0或x+3=0，
解得x1=-11，x2=-3，
所以x1<0，x2<0，
，
，
所以这个方程为“限根方程”．
故答案为：是.
【分析】（1）求出方程的根，再判断两根的符号，及两根的商的范围，再作判断；
（2）根据“限根方程”定义，求出k.
18．【答案】（1）解：
解得： ，
由伟达定理可得 (4 分)
由 可得
代入可得：
解得： 舍
的值为 1
（2）解：①
②猜想： 当 时，
证明： 因为 为方程的根， 所以有 ， 等式两边都乘以 得 ：
同理可得：
两式相加可得：
根据题意知： ，
， 且根据题意 ， 因此
所以当 3 时， 有 .
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)先把展开，再根据韦达定理表示出代入即可
（2）①先根据韦达定理，求出，从而算出S1，再代入关系中，即可求出S2
②根据根的定义，先把代入中得：，然后两边同时乘以，得出，同理得出，两式相加即可得出：.
1 / 1一元二次方程·韦达定理—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·杭州月考）二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程 中，且它的两根为1和5
即：
直线经过一、二、四象限
故答案为：C.
【分析】对于一次函数，当时，直线经过一、二、三象限；当时，直线经过一、三、四象限；当时，直线经过一、二、四象限；当时，直线经过二、三、四象限；因此对于直线的大体位置，由于二次项系数且两根已知，则可利用根与系数的关系先分别确定出的性质符号，则b的符号即可确定，则直线的大体位置可确定.
2．（2024八下·安徽期末）若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2015 B． C．2016 D．2019
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：是方程的两个实数根，，即，则．
故答案为：C．
【分析】把 代入，变形得，由根与系数的关系得，代入=2018-2=2016．
3．已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=3，则m的值为（　　）
A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=2m-1 ，x1·x2=m2，
∴ (x1+1)(x2+1)=x1·x2+（x1+x2）+1=3，
即m2+2m-1+1=3，
解得m=-3或1，
当m=1时，方程为x2-x+1=0，此方程无实数根，
∴m=-3.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2m-1 ，x1·x2=m2，再根据 (x1+1)(x2+1)=x1·x2+（x1+x2）+1=3建立关于m方程，求出m值，再代入方程检验即可.
4．（2025八下·诸暨期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（　　）
A．-4 B．4 C．7 D．-7
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x2-7x-4m2=0；
∴由韦达定理得，；
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程，根据韦达定理，两根之和，代入系数即可得出答案.
5．（2025八下·深圳期末） 已知x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰△ABC的一边长为3，若x1，x2恰好是△ABC另外两边长，则△ABC周长为(　　)
A．9 B．9或11 C．13 D．9或13
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：可分为两种情况：①3为底边，则其它两边为腰长，可设 x1=x2=a，
根据根与系数的关系可得：，
解得：，
此时 △ABC周长为 3+3+3=9；
②3为腰长，则其它两边长为3和b，
根据根与系数的关系可得：，
解得：（舍去），
此时 △ABC周长为3+3+3=9.
故答案为：A .
【分析】可分为两种情况：①3为底边，②3为腰长，分别根据根与系数的关系列出方程，解方程即可求得三角形的边长，进而得出周长即可。
6．（2024八下·拱墅期末）已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（　　）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
∴，
解得，
∴正根为1，
∵的另一个根为4，
∴，
∴，
∵方程有一个正根为1，设另一个根为m，
∴则，
∴，
∴另一个根为，
∴的两个根分别为1，，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，求出正根为1；设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数，结合的另一个根为4，得到；方程有一个正根为1，设另一个根为m，利用根与系数关系得到，即可求出另一个根为．
7．（2025八下·永康月考）关于的一元二次方程，下列说法：若，则方程一定有两个不相等的实数根；若，则方程没有实数根；若是方程的一个根，则；若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；判断是否为一元二次方程的根；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：
当时，
方程一定有两个不相等的实数根，故结论正确；
当时，
当时，，方程没有实数根；
当时，，方程有两个实数根；故结论错误；
是方程的一个根
或，即，故结论正确；
是方程的一个根且
利用方程解的概念把代入到方程中得：
即是方程的一个根
故结论正确；
故答案为：C.
【分析】利用根的判别式直接验证即可；
先表示出根的判别式，此时由于的取值范围不确定，但因为大于，因此肯定是正数，但还需分类讨论，当时，，方程没有实数根；但当时，，方程有两个实数根；
利用方程解的概念把代入到方程中可得等于0或；
先利用方程解的概念把代入到方程中得到，由于，可给等式两边都除以，则可判定是方程的一个根.
8．（2025八下·义乌月考）若定义：方程是方程的＂倒方程＂．则下列四个结论：①如果是的倒方程的一个解，则．②一元二次方程与它的倒方程有公共解．③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（　　）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：的倒方程为( 把 代入方程 得 解得 所以错误；
②一元二次方程( 与它的倒方程有公共解，正确，公共解是
③若一元二次方程( 无解，则它的倒方程也无解，正确，因为倒方程的判别式的值也小于0，方程没有实数根；
④当 时， 一元二次方程 的根的判别式 也为一元二次方程，此方程的根的判别式所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意；
故答案为： C.
【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程 与它的倒方程有公共解 ，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断.
二、填空题
9．（2025八下·浙江月考）方程的两根为，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根为，，
∴.
故答案为：3.
【分析】利用根与系数的关系计算即可.对于一元二次方程(a≠0)，两个根为，，则，.
10．（2025八下·成都期中）已知关于x的一元二次方程x2-2（m+2）x+m2-5=0的两个实数根的平方和等于44，则m的值是　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两个实数根为x1
则
+26，
令 即
解得：
∵方程： 有实数根，
即：
综上所述：1.
【分析】先根据根与系数的关系得到 ，解 出方程，再根据根的判别式判断即可.
11．（2025·浙江竞赛）如果m、n是两个不相等的实数，且满足，，，那么代数式　 　.
【答案】2029
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵m、n是两个不相等的实数，且满足
∴m、n可看作方程的两根，
∴m+n=2，
，
故答案为：2029.
【分析】先利用降次的方法得到1，则再根据题意可把m、n看作方程；的两根，根据根与系数的关系得到m+n=2，然后利用整体代入的方法计算.
12．（2024八下·宁波竞赛）设关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程有两个不相等的实数根
∴＞0，
∴ (-5a+2)(7a+2)＞0
∴，解得
或无解
∵
∴
即
∴ 9-（-）+1＜0
解得：
综上，a的取值范围是
故答案 为：.
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的应用及解不等式及不等式组等知识，熟练掌握两根之和，两根之积，根的判别式是解题关键。由方程及两个不相等的实数根可得；＞0，可得；由得，则，可得，则a的范围可知.
13．已知二次多项式 ．
（1） 当 时，该多项式的值为　 　
（2） 若关于 的方程 有两个不相等的整数根， 则正数 的值为　 　
【答案】（1）-4
（2）2或5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）当x=1时，x2-ax+a-5=1-a+a-5=-4；
故答案为：-4；
（2）设x1与x2是关于x的方程x2-ax+a-5=0的两个不相等的整数根，
∴x1+x2=a，x1x2=a-5，
∴a与a-5都是整数，
∴(-a)2-4(a-5)=a2-4a+20=(a-2)2+16为完全平方数，
设(a-2)2+16=t2（t为正整数），
则(a-2)2-t2=-16，
∴(a-2-t)(a-2+t)=-16，
由于a-2-t与a-2+t奇偶性相同，且a-2-t＜a-2+t，
∴或或，
解得或(舍去)或，
经检验，a=2与a=5符合要求，
∴正数a的值为2或5.
故答案为：2或5.
【分析】（1）直接把x=1代入多项式，化简即可；
（2）设x1与x2是关于x的方程x2-ax+a-5=0的两个不相等的整数根，由根与系数的关系得x1+x2=a，x1x2=a-5，且a与a-5都是整数，由根的判别式可得(-a)2-4(a-5)=a2-4a+20=(a-2)2+16为完全平方数，设(a-2)2+16=t2（t为正整数），则(a-2-t)(a-2+t)=-16，由于a-2-t与a-2+t奇偶性相同，且a-2-t＜a-2+t，从而列出方程组，求解即可.
14．（2025八下·杭州月考）如果关于x的一元二次方程a2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　（填序号）
①方程x2-x-2=0是倍根方程；
②若（x-2)（mx+n)=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；
③若p，q满足pq=2，则关于x的方程叔px2+3x+q=0是倍根方程；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac·
【答案】①④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解： ①
不是倍根方程，故 ① 错误；
②
③
④ 设方程的两个根分别为和
当时，，化简得：
当时，，化简得：
故④正确；
故答案为：①④.
【分析】（1）先利用因式分解法求出方程的两个根再进行验证即可；
（2）（3）信息不全，无法作答；
（4）先设出方程的两个根，再利用公式法求出两个根，最后再进行验证即可.
三、解答题
15．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根x1，x2.
（1）试求k的取值范围；
（2）若 试求k的值；
（3）若 试求 k的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-2kx+k2+k+1=0有两个实数根，
∴b2-4ac=(-2k)2-4×1×(k2+k+1)≥0，解得k≤-1
（2）解：∵方程x2-2kx+k2+k+1=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，
∵+=(x1+x2)2-2x1x2=10，
∴(2k)2-2(k2+k+1)=10，
整理，得k2-k-6=0，解得k1=3，k2=-2.
又∵k≤-1，∴k=-2
（3）解：由(2)可知：x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1.
∵k2+k+1=(k+)2+>0，
∴x1x2>0，
∵|x1|+|x2|=2，
∴(|x1|+|x2|)2=4，
∴+2|x1x2|+=4，
∵x1x2>0，
∴+2x1x2+=4，
∴(x1+x2)2=4，
∴(2k)2=4，∴k=±1.
又∵k≤-1，∴k=-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1） 根据一元二次方程根的判别式列出不等式，进而得出答案；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，再由+=(x1+x2)2-2x1x2=10，即可得出答案；
（3）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k，x1x2=k2+k+1，再由k2+k+1=(k+)2+>0可得x1x2>0，再由|x1|+|x2|=2得+2|x1x2|+=4，由x1x2>0可得(x1+x2)2=4，进而得出(2k)2=4，解得k值，再判断即可.
16．（2025八下·北仑期末） 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
【答案】（1）③
（2）解：解方程得，
∵方程是“邻根方程”，
∴，
解得m=或，
故答案为：或；
（3）解：设，是一元二次方程的两个根 ，
∴，，，
∵，
∴4c=b2-1，
∴.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
解：(1)解①得，x1=1，x2=-1，，故不符合条件；
解②得：，，故不符合条件；
解③得：，，故符合条件；
故答案为：③
【分析】(1)根据“邻根方程”的定义分别计算下列方程的根，然后判断即可；
(2)根据“邻根方程”的定义，可以得到两个根之间的关系，可以得到关于m的绝对值方程，解之即可；
(3)根据“邻根方程”的定义，设两个根，然后得到关于b，c的等式，变形即可证明.
17．（2025八下·临平月考）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程a2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，若x12<0，且3<<4，则称这个方程为“限根方程”．比如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=-10，x2=-3，因-10<-3<0，3<<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”，
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断：一元二次方程x2+14x+33=0　 　（填“是”或“不是”）“限根方程”.
（2）若关于x的一元二次方程x2+（k十9）x+k2+8=0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足11x1+11x2+x1x2=-121，求k的值.
（3）若关于x的一元二次方程x2+（1-m）x-m=0是“限根方程”，求m的取值范围.
【答案】（1）是
（2）解：根据题意得x1+x2=-(k+9)<0， x1x2=k2+8>0，
∵11x1+11x2+x1x2=-121，
∴11(x1+x2)+ x1x2=-121，
∴-11(k+9)+k2+8=-121，
整理得k2-11k+3=0，
解得k1=5，k2=6，
当k=5时，原方程化为x2+14x+33=0，此方程为“限根方程”；
当k=6时，原方程化为x2+15x+44=0，解得x1=-11，x2=-5，
∵-11＜-4＜0，＜3，
∴一元二次方程x2+15x+44=0不是“限根方程”；
综上所述，k的值为5.
（3）解：解方程x2+(1-m)x-m=0得x1=m，x2=-1，
关于x的一元二次方程x2+(1-m)x-m=0是“限根方程”，
当m<-1时，3<<4，
解得-4当-1解得
综上所述，m的取值范围为-4【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）x2+14x+33=0
（x+11）（x+3）=0，
所以x+11=0或x+3=0，
解得x1=-11，x2=-3，
所以x1<0，x2<0，
，
，
所以这个方程为“限根方程”．
故答案为：是.
【分析】（1）求出方程的根，再判断两根的符号，及两根的商的范围，再作判断；
（2）根据“限根方程”定义，求出k.
18．（2024八下·慈溪期中）十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中， 发现方程的根与系数之间存在着特殊关系， 由于该关系最早由韦达发现， 人们把这个关系称之为韦达定理。韦达定理： 有一元二次方程形如 的两根分别为 ， 则有
（1） 是关于 的一元二次方程 的两实根， 且 ，求 的值.
（2） 已知： 是一元二次方程 的两个实数根， 设 ， . 根据根的定义， 有 ， 将两式相加， 得 ， 于是， 得 .
根据以上信息， 解答下列问题：
①直接写出 的值.
②经计算可得： ， 当 时， 请猜想 之间满足的数量关系， 并给出证明.
【答案】（1）解：
解得： ，
由伟达定理可得 (4 分)
由 可得
代入可得：
解得： 舍
的值为 1
（2）解：①
②猜想： 当 时，
证明： 因为 为方程的根， 所以有 ， 等式两边都乘以 得 ：
同理可得：
两式相加可得：
根据题意知： ，
， 且根据题意 ， 因此
所以当 3 时， 有 .
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)先把展开，再根据韦达定理表示出代入即可
（2）①先根据韦达定理，求出，从而算出S1，再代入关系中，即可求出S2
②根据根的定义，先把代入中得：，然后两边同时乘以，得出，同理得出，两式相加即可得出：.
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