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一元二次方程·几何问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2023八下·温州期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
，小正方形的面积为4，
大正方形的面积为，
大正方形的边长为10，
，
，
小正方形的边长为，即，
，
，
，
，
故选C．
【分析】根据已知方法求得大正方形的边长为10，即可得到，然后利用小正方形的边长和面积得到x的值，进而求出的值解答即可．
2．（2025八下·兰溪期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为70m的第笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设靠墙的长方形边长为x（m），则下列方程正确的是（　　），
A．x（72-2x）=480 B．x（68-2x）=480
C．x（72-x）=480 D．x（68-x）=480
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设靠墙的长方形边长为x(m)，根据题意得
故答案为：A.
【分析】设靠墙的长方形边长为xm，根据矩形的面积公式即可得到结论.
3．（2025八下·杭州期中）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解∶ 设与墙垂直的一边长为，
∵篱笆的总长度为25m，则平行于墙的一边长为25+1-2x=（26-2x）m，
根据题意得：x（26-2x）=80.
故答案为：A．
【分析】根据题意设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为列出关于x的一元二次方程即可.
4．（2025八下·义乌期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．（32-x）(20-x）=32×20-570 B．32x+2×20x=32×20-570
C．（32-x）(20-x）=570 D．32x+2×20x-2x2=570
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设道路的宽为xm，
可列方程： （32-x）(20-x）=570 ，
故答案为：C.
【分析】设道路的宽为xm，根据“ 在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2”列方程即可.
5．（2024八下·杭州期中）如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：矩形在边上留一个2米宽的门，设的长为米，共用长为70米的棚栏围成矩形，
∴（米），
∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，
∴，
故答案为：D．
【分析】当时，可分别得出和的长，注意由于段留有2米长的空隙，所以正确的长应该是，再由矩形面积公式列方程即可．
6．（2022八下·苍南期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地(单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的。设观花道的直角边(如图所示)为x，则可列方程为（　　）
A．(10+x)(9+x)=30 B．(10+x)(9+x)=60
C．(10-x)(9-x)=30 D．(10-x)(9-x)=60
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设观花道的直角边为xm，
根据题意得：，
∴（9-x）（10-x）=60.
故答案为：D.
【分析】根据题意得出两个三角形的面积和等于矩形面积的，列出方程进行化简，即可得出答案.
7．（2025八下·余姚期中） 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（　　）
A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440
C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设仓库的宽为x米 米)，则仓库的长为 米，
根据题意得：
故答案为：D.
【分析】设仓库的宽为x米( 米)，由铁栅栏的长度结合图形，可求出仓库的长为 (84-4x)米，再根据矩形的面积公式即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
8．（2025八下·鄞州期中）如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2.在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（　　）
A．6m 或 7m B．3m 或 3.5m
C．3.5m D．6m
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设BC的长为xm（x≤6.5m），则AB=CD=m，
由题意得
解得x1=6，x2=7
∵x≤6.5，
∴x=7，不符合题意，舍去，
∴BC的长为6m.
故答案为：D.
【分析】：设BC的长为xm（x≤6.5m），则AB=CD=m，根据矩形的面积计算公式建立方程求解并检验即可得出答案.
二、填空题
9．（2025八下·南湖期中）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，如图，设道略的宽为xm，则可列方程为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：
【分析】 设道略的宽为xm， 根据“ 绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2 ”列一元二次方程即可.
10．（2025八下·杭州月考）如图，在一块长为12m，宽为8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，则道路的宽为　 　m.
【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路宽为米，由题意列方程得：
整理方程得：
解方程得：（舍去）
故答案为：1.
【分析】设出道路宽度为米，则栽种花草部分矩形的长为米，宽为米，由其面积等于77可列出的关于一元二次方程，解方程得到两个解分别为1和19，显然道路宽度不可能超原长方形空地的长和宽，因此应舍去19即可.
11．（2025八下·临平月考）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米.停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米.则车道的宽为　 　米.
【答案】6
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(18-x)(30-x)=288，
解得x1=6，x2=42(舍去).
故答案为：6.
【分析】根据“ 停车位总占地面积为288平方米 ”，列出一元二次方程求解.
12．（2024八下·钱塘期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为，∴，，
∴，
∴，
∵有且只有一个a的值，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴S的值是
故答案为：.
【分析】先由题意列方程，再根据面积把用含的代数式表示，则可把方程表示成关于的一元二次方程，此时由于方程有两个相等的实数根，则根的送别式即可求出的值，再根据实际情况进行取舍即可．
13．如图所示的图形的面积为 24 ， 根据图中的条件可求得 的值为　 　
【答案】4
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵图形的面积为24，
∴.
∵x＞0，
∴解得x=4.
故答案为：4.
【分析】该图形面积由边长为（x+1）的正方形面积减去右上角“消失”的边长为1的小正方形面积.
14．（2024八下·宁波期中）如图，有5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，则每个小矩形的长为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小矩形的长为x，
根据题意，得，
解得（负值舍去），
故答案为：．
【分析】设小矩形的长为x，利用“阴影部分的面积为16”列一元二次方程求出x值解题．
三、解答题
15．综合实践：如何用最少的材料设计花园
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个长方形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米.
【项目解决】
目标1：确定面积与边长的关系.
当篱笆全部用完，且围成长方形花园ABCD 的面积为32平方米时，求AB 的长.
目标2：探究用最少的材料的方案.
现要围成面积为 平方米的长方形花园，设所用的篱笆为m米.
（1）若m=14，能成功围成吗 若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由.
（2）若要成功围成，则m的最小值为　 　，此时， 　 　米.
【答案】（1）解：目标1：设AB的长为x米.
∵可用的篱笆总长为20米，
∴BC的长为(20-2x)米.
根据题意，得x(20-2x)=32，
化简、整理，得x2-10x+16=0，
解得x1=2，x2=8.
当x=2时，20-2x=20-2×2=16>10，不符合题意；
当x=8时，20-2x=20-2×8=4<10，符合题意.
答：AB的长为8米.
目标2：(1)不能围成面积为平方米的长方形花园.理由如下：
假设能围成面积为平方米的长方形花园，设AB的长为y米，则BC的长为(14-2y)米.
根据题意，得y(14-2y)=，
化简、整理，得4y2-28y+81=0.
∵b2-4ac=(-28)2-4×4×81=-512<0，
∴原方程没有实数根，
∴不能围成面积为平方米的长方形花园
（2）18；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(2)设AB的长为a米，则BC的长为(m-2a)米.
根据题意，得a(m-2a)=，
化简、整理，得4a2-2ma+81=0.
由题意，得b2-4ac=(-2m)2-4×4×81≥0，
解得m≥18或m≤-18.
∵m>0，∴m的最小值为18.
当m=18时，原方程为4a2-36a+81=0，
解得a1=a2=.
当a=时，18-2a=18-2×=9<10，符合题意，∴AB=米.
故答案为18，.
【分析】(1)目标1：设AB=x，则BC=20-2x，由此得关于x的一元二次方程，求解方程后再验证知x=8符合题意；目标2：同理设AB=y，得方程4y2-28y+81=0，无实数根即知不能围成平方米的长方形花园；
(2)设AB=a，则BC=m-2a，得方程4a2-2ma+81=0，根据判别式b2-4ac≥0，即可得m的最小值，同时可得AB的长.
16．（2025八下·龙泉期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为25m的墙，用篱笆围成一个长方形花园。现有可用的篱笆长为60m（全部用完）。设AB的长为。
（1）如图1，用含的代数式表示BC的长。
（2）如图1，当长方形花园ABCD的面积为时，求的值。
（3）如图2，将墙MN全部利用，并在墙MN的延长线上拓展ND，构成长方形ABCD，其中BM，BC，CD和DN都由篱笆构成。长方形花园ABCD的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由。
【答案】（1）解：设AB的长为xm，则BC的长为(60-2x)m.
（2）解：由题意可得，
解得（舍去），，
答：当为20时，可使长方形花园ABCD的面积为．
（3）解：不能，理由如下：
由题意可知
整理得，
，
该方程无实数根
长方形花园MBCD的面积不可能为
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据题意列出代数式即可；
(2)根据长方形花园ABCD的面积为400m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
(3)求出BC的长，再根据长方形花园ABCD的面积为500m2，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论.
17．（2025八下·金华月考） 根据以下素材，探索完成任务.
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量.
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物.已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长 AD比宽AB多10米.
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统.
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米.
⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程：▲.
⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请给出改进方案.
⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值.
【答案】解：任务1：由题意，∵矩形大棚的宽为x米，则长为(x+10)米，
∴x(x+10)=1200.
故答案为：x(x+10)=1200.
任务2：该设计达标.
理由如下：
由题意，结合任务1，x(x+10)=1200，
∴x2+10x-1200=0.
∴x=-40(不合题意，舍去)或x=30
∴AD=40m，AB=30m.
∴对角线BD=50m.
∴AP=BP=CP=DP=25m.
∵当系统P到矩形内任意一点(包括边上)的距离不超过28米时视为达标，
∴该设计达标.
任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，
∴(30-2a)(40-2a)=24.
∴a=14或a=21(此时30-2a<0，不合题意，舍去)
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：依据题意，由矩形大棚的宽为x米，则长为(x+10)米，则x(x+10)= 1200，进而可以判断得解；
任务2：依据题意，结合任务1，x(x+10)=1200，进而计算可得AD=40m，AB=30m，则对角线BD=50m，故AP=BP=CP=DP=25m，再根据当系统P到矩形内任意一点(包括边上)的距离不超过28米时视为达标，进而可以判断得解；
任务3：依据题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，则(30-2a)(40-2a)=24，进而计算可以得解.
18．（2025八下·温州期中）根据以下素材，探索完成任务。
探索设计停车场
背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，需留出通道出行，入口在左上角，出口在右下角。已知。按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，且停车位的宽度不小于4.8m。
方案 如图，设计四列阴影部分为停车位，且停车位的宽度相同，即，其余部分是等宽的通道。
任务1 若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准。
任务2 若通道的宽度要求不小于4m，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积。
【答案】解：任务1：设停车位的宽度为xm，通道的宽度为ym，
由题图可知：4x+2y=32，
∴y=16-2x，
∵停车位总面积为180m2，
∴x(18-y)×2+2x×(18-2y)=180，
把y=16-2x代入，得：
x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)180，
解得：x=5或x=3(舍去)；
∵5>4.8，
∴停车位的宽度符合标准.
任务2：设停车位的总面积为Sm2，由任务1可知：
y=16-2x，
∴S=x(18-y)×2+2x×(18-2y)=x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)
=12x2-24x
=12(x -1)2-12
∵y=16-2x≥4且x≥4.8，
∴4.8≤x≤6，
∴当x=6时，S最大=12×(6-1)2-12=288，
答：当停车位的宽度为6m时，停车位的总面积最大为288m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：设停车位的宽度为x，通道的宽度为y，根据图形可知：4x+2y=32，进而得到y=16-2x，根据停车位总面积为180m2，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于4.8m进行判断即可；
任务2：设停车位的总面积为S，面积公式表示出S，配方法求最值即可.
1 / 1一元二次方程·几何问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2023八下·温州期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2025八下·兰溪期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2的长方形场地作为劳动基地若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为70m的第笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设靠墙的长方形边长为x（m），则下列方程正确的是（　　），
A．x（72-2x）=480 B．x（68-2x）=480
C．x（72-x）=480 D．x（68-x）=480
3．（2025八下·杭州期中）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·义乌期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．（32-x）(20-x）=32×20-570 B．32x+2×20x=32×20-570
C．（32-x）(20-x）=570 D．32x+2×20x-2x2=570
5．（2024八下·杭州期中）如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022八下·苍南期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地(单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的。设观花道的直角边(如图所示)为x，则可列方程为（　　）
A．(10+x)(9+x)=30 B．(10+x)(9+x)=60
C．(10-x)(9-x)=30 D．(10-x)(9-x)=60
7．（2025八下·余姚期中） 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（　　）
A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440
C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440
8．（2025八下·鄞州期中）如图，嘉琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2.在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（　　）
A．6m 或 7m B．3m 或 3.5m
C．3.5m D．6m
二、填空题
9．（2025八下·南湖期中）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，如图，设道略的宽为xm，则可列方程为　 　.
10．（2025八下·杭州月考）如图，在一块长为12m，宽为8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m2，则道路的宽为　 　m.
11．（2025八下·临平月考）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米.停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米.则车道的宽为　 　米.
12．（2024八下·钱塘期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是　 　．
13．如图所示的图形的面积为 24 ， 根据图中的条件可求得 的值为　 　
14．（2024八下·宁波期中）如图，有5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，则每个小矩形的长为　 　．
三、解答题
15．综合实践：如何用最少的材料设计花园
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个长方形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米.
【项目解决】
目标1：确定面积与边长的关系.
当篱笆全部用完，且围成长方形花园ABCD 的面积为32平方米时，求AB 的长.
目标2：探究用最少的材料的方案.
现要围成面积为 平方米的长方形花园，设所用的篱笆为m米.
（1）若m=14，能成功围成吗 若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由.
（2）若要成功围成，则m的最小值为　 　，此时， 　 　米.
16．（2025八下·龙泉期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为25m的墙，用篱笆围成一个长方形花园。现有可用的篱笆长为60m（全部用完）。设AB的长为。
（1）如图1，用含的代数式表示BC的长。
（2）如图1，当长方形花园ABCD的面积为时，求的值。
（3）如图2，将墙MN全部利用，并在墙MN的延长线上拓展ND，构成长方形ABCD，其中BM，BC，CD和DN都由篱笆构成。长方形花园ABCD的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由。
17．（2025八下·金华月考） 根据以下素材，探索完成任务.
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量.
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物.已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长 AD比宽AB多10米.
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统.
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米.
⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程：▲.
⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请给出改进方案.
⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值.
18．（2025八下·温州期中）根据以下素材，探索完成任务。
探索设计停车场
背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，需留出通道出行，入口在左上角，出口在右下角。已知。按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，且停车位的宽度不小于4.8m。
方案 如图，设计四列阴影部分为停车位，且停车位的宽度相同，即，其余部分是等宽的通道。
任务1 若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准。
任务2 若通道的宽度要求不小于4m，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
，小正方形的面积为4，
大正方形的面积为，
大正方形的边长为10，
，
，
小正方形的边长为，即，
，
，
，
，
故选C．
【分析】根据已知方法求得大正方形的边长为10，即可得到，然后利用小正方形的边长和面积得到x的值，进而求出的值解答即可．
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设靠墙的长方形边长为x(m)，根据题意得
故答案为：A.
【分析】设靠墙的长方形边长为xm，根据矩形的面积公式即可得到结论.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解∶ 设与墙垂直的一边长为，
∵篱笆的总长度为25m，则平行于墙的一边长为25+1-2x=（26-2x）m，
根据题意得：x（26-2x）=80.
故答案为：A．
【分析】根据题意设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为列出关于x的一元二次方程即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设道路的宽为xm，
可列方程： （32-x）(20-x）=570 ，
故答案为：C.
【分析】设道路的宽为xm，根据“ 在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2”列方程即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：矩形在边上留一个2米宽的门，设的长为米，共用长为70米的棚栏围成矩形，
∴（米），
∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，
∴，
故答案为：D．
【分析】当时，可分别得出和的长，注意由于段留有2米长的空隙，所以正确的长应该是，再由矩形面积公式列方程即可．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设观花道的直角边为xm，
根据题意得：，
∴（9-x）（10-x）=60.
故答案为：D.
【分析】根据题意得出两个三角形的面积和等于矩形面积的，列出方程进行化简，即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设仓库的宽为x米 米)，则仓库的长为 米，
根据题意得：
故答案为：D.
【分析】设仓库的宽为x米( 米)，由铁栅栏的长度结合图形，可求出仓库的长为 (84-4x)米，再根据矩形的面积公式即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设BC的长为xm（x≤6.5m），则AB=CD=m，
由题意得
解得x1=6，x2=7
∵x≤6.5，
∴x=7，不符合题意，舍去，
∴BC的长为6m.
故答案为：D.
【分析】：设BC的长为xm（x≤6.5m），则AB=CD=m，根据矩形的面积计算公式建立方程求解并检验即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：
【分析】 设道略的宽为xm， 根据“ 绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2 ”列一元二次方程即可.
10．【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路宽为米，由题意列方程得：
整理方程得：
解方程得：（舍去）
故答案为：1.
【分析】设出道路宽度为米，则栽种花草部分矩形的长为米，宽为米，由其面积等于77可列出的关于一元二次方程，解方程得到两个解分别为1和19，显然道路宽度不可能超原长方形空地的长和宽，因此应舍去19即可.
11．【答案】6
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(18-x)(30-x)=288，
解得x1=6，x2=42(舍去).
故答案为：6.
【分析】根据“ 停车位总占地面积为288平方米 ”，列出一元二次方程求解.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为，∴，，
∴，
∴，
∵有且只有一个a的值，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴S的值是
故答案为：.
【分析】先由题意列方程，再根据面积把用含的代数式表示，则可把方程表示成关于的一元二次方程，此时由于方程有两个相等的实数根，则根的送别式即可求出的值，再根据实际情况进行取舍即可．
13．【答案】4
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵图形的面积为24，
∴.
∵x＞0，
∴解得x=4.
故答案为：4.
【分析】该图形面积由边长为（x+1）的正方形面积减去右上角“消失”的边长为1的小正方形面积.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小矩形的长为x，
根据题意，得，
解得（负值舍去），
故答案为：．
【分析】设小矩形的长为x，利用“阴影部分的面积为16”列一元二次方程求出x值解题．
15．【答案】（1）解：目标1：设AB的长为x米.
∵可用的篱笆总长为20米，
∴BC的长为(20-2x)米.
根据题意，得x(20-2x)=32，
化简、整理，得x2-10x+16=0，
解得x1=2，x2=8.
当x=2时，20-2x=20-2×2=16>10，不符合题意；
当x=8时，20-2x=20-2×8=4<10，符合题意.
答：AB的长为8米.
目标2：(1)不能围成面积为平方米的长方形花园.理由如下：
假设能围成面积为平方米的长方形花园，设AB的长为y米，则BC的长为(14-2y)米.
根据题意，得y(14-2y)=，
化简、整理，得4y2-28y+81=0.
∵b2-4ac=(-28)2-4×4×81=-512<0，
∴原方程没有实数根，
∴不能围成面积为平方米的长方形花园
（2）18；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(2)设AB的长为a米，则BC的长为(m-2a)米.
根据题意，得a(m-2a)=，
化简、整理，得4a2-2ma+81=0.
由题意，得b2-4ac=(-2m)2-4×4×81≥0，
解得m≥18或m≤-18.
∵m>0，∴m的最小值为18.
当m=18时，原方程为4a2-36a+81=0，
解得a1=a2=.
当a=时，18-2a=18-2×=9<10，符合题意，∴AB=米.
故答案为18，.
【分析】(1)目标1：设AB=x，则BC=20-2x，由此得关于x的一元二次方程，求解方程后再验证知x=8符合题意；目标2：同理设AB=y，得方程4y2-28y+81=0，无实数根即知不能围成平方米的长方形花园；
(2)设AB=a，则BC=m-2a，得方程4a2-2ma+81=0，根据判别式b2-4ac≥0，即可得m的最小值，同时可得AB的长.
16．【答案】（1）解：设AB的长为xm，则BC的长为(60-2x)m.
（2）解：由题意可得，
解得（舍去），，
答：当为20时，可使长方形花园ABCD的面积为．
（3）解：不能，理由如下：
由题意可知
整理得，
，
该方程无实数根
长方形花园MBCD的面积不可能为
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据题意列出代数式即可；
(2)根据长方形花园ABCD的面积为400m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
(3)求出BC的长，再根据长方形花园ABCD的面积为500m2，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论.
17．【答案】解：任务1：由题意，∵矩形大棚的宽为x米，则长为(x+10)米，
∴x(x+10)=1200.
故答案为：x(x+10)=1200.
任务2：该设计达标.
理由如下：
由题意，结合任务1，x(x+10)=1200，
∴x2+10x-1200=0.
∴x=-40(不合题意，舍去)或x=30
∴AD=40m，AB=30m.
∴对角线BD=50m.
∴AP=BP=CP=DP=25m.
∵当系统P到矩形内任意一点(包括边上)的距离不超过28米时视为达标，
∴该设计达标.
任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，
∴(30-2a)(40-2a)=24.
∴a=14或a=21(此时30-2a<0，不合题意，舍去)
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：依据题意，由矩形大棚的宽为x米，则长为(x+10)米，则x(x+10)= 1200，进而可以判断得解；
任务2：依据题意，结合任务1，x(x+10)=1200，进而计算可得AD=40m，AB=30m，则对角线BD=50m，故AP=BP=CP=DP=25m，再根据当系统P到矩形内任意一点(包括边上)的距离不超过28米时视为达标，进而可以判断得解；
任务3：依据题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，则(30-2a)(40-2a)=24，进而计算可以得解.
18．【答案】解：任务1：设停车位的宽度为xm，通道的宽度为ym，
由题图可知：4x+2y=32，
∴y=16-2x，
∵停车位总面积为180m2，
∴x(18-y)×2+2x×(18-2y)=180，
把y=16-2x代入，得：
x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)180，
解得：x=5或x=3(舍去)；
∵5>4.8，
∴停车位的宽度符合标准.
任务2：设停车位的总面积为Sm2，由任务1可知：
y=16-2x，
∴S=x(18-y)×2+2x×(18-2y)=x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)
=12x2-24x
=12(x -1)2-12
∵y=16-2x≥4且x≥4.8，
∴4.8≤x≤6，
∴当x=6时，S最大=12×(6-1)2-12=288，
答：当停车位的宽度为6m时，停车位的总面积最大为288m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：设停车位的宽度为x，通道的宽度为y，根据图形可知：4x+2y=32，进而得到y=16-2x，根据停车位总面积为180m2，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于4.8m进行判断即可；
任务2：设停车位的总面积为S，面积公式表示出S，配方法求最值即可.
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