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一元二次方程·数字问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1． 连续两个整数的乘积为 12 ， 则这两个整数中较小的一个是（　　）
A．3 B．-4 C．-3 或 4 D．-4 或 3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这两个整数中较小的一个是x，则较大的是（x+1），
根据题意可得：x（x+1）=12，
解得：x1=-4，x2=3，
故答案为：D.
【分析】设这两个整数中较小的一个是x，则较大的是（x+1），结合“ 连续两个整数的乘积为 12 ”列出方程x（x+1）=12求解即可.
2．（2023八下·绿园期末）如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数如，，，，，，，，若圈出的个数中，最大数与最小数的积为，则这个数中最小数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设最小数为x，则另外八个数分别为（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16），
依题意，得：x（x+16）=161，
解得：x1=7，x2=-23（不合题意，舍去），
则这9个数中最小数为9-2=7．
故答案为：C.
【分析】
设最小数为x，则另外八个数分别为（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16），根据最大数与最小数的积为161，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
二、填空题
3．若两个相邻的奇数的积是143，则这两个奇数是　 　.
【答案】1，13或-11，-13
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这两个相邻奇数中较大的数是x，则较小的数是x-2.
依题意，得x(x-2)=143，
化简、整理，得x2-2x-143=0，
解得x1=13，x2=-11，
当x=13时，x-2=11；
当x=-11时，x-2=-13.
故这两个奇数是11，13或-11，-13.
【分析】设这两个相邻奇数中较大的数是x，则较小的数是x-2，则这两个数的积是x(2+x)即可列出方程求得这两个奇数.
4．（2025八下·瑞安期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为425，则这个最小数为　 　。
【答案】17
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设最小数为x，则最大数为，
∴
解得：
故答案为：17.
【分析】观察日历，则设最小数为x，则最大数为，然后根据最小数与最大数的乘积为425，列出方程解此方程即可求解．
5．（2024八下·平湖期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，
由题意得，，
解得：，
∴他去世时年龄为或，
又∵他去世时的年龄大于，
∴他去世时的年龄为
故答案为：．
【分析】设他去世时年龄的个位数为x，可用x表示出他去世时年龄的十位数，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程求解．
6．（2024八下·平果期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则　 　．
【答案】或
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：依题意，
即
∴
∴
解得：或
故答案为：或．
【分析】
根据题意将（a，2a）代入公式，得到一个关于a的方程，然后解这个方程，找出满足条件的a的值。
7．有一个两位数， 其十位上的数字与个位上的数字之和是 5 ， 把个位上的数字与十位上的数字对调后， 所得的新两位数与原两位数的乘积为 736 ，则原两位数为　 　.
【答案】23或32
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原数个位上的数字为x，则十位上的数字为（5-x），
由题意列方程：
[10（5-x）+x][10x+(5-x)]=736，
解得：x1=2，x2=3，
这个两位数为：23或32.
故答案为：23或32.
【分析】设原数个位上的数字为x，则十位上的数字为（5-x），根据题中的相等关系“把个位上的数字与十位上的数字对调后， 所得的新两位数与原两位数的乘积为 736”可列关于x的一元二次方程，解之求出x的值，然后根据两位数等于十位上的数字×10+个位上的数字即可求解.
8．若两个相邻自然数的积是 132，则这两个数中较大的数是　 　.
【答案】12
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设两个相邻自然数中较大的一个自然数为x，则较小一个为(x-1)，
由题意得x(x-1)=132，
解得x1=-11（舍），x2=12，
∴两个相邻自然数中较大的一个自然数为12.
故答案为：12.
【分析】设两个相邻自然数中较大的一个自然数为x，则较小一个为(x-1)，根据两个相邻自然数的积是132列出方程，求解并检验可得答案.
三、单选题
9．（2023七上·渠县期中）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（　　）．
A．32 B．126 C．135 D．144
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
10．（2024九上·洞口期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （　　）
A．741 B．600 C．465 D．300
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，
∴前行共有个点，其中为正整数，
当时，解得：（舍去），；
当时，解得：（舍去）；
当时，解得：（舍去），；
当时，解得：（舍去），；
故答案为：B．
【分析】先求出前行的总点数，然后根据选项分别解一元二次方程求出的数值，即可求解.
11．（2024九上·石家庄月考）若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（　　）
A．23 B．34 C．23或34 D．或
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
12．（2024·绥江模拟）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，
根据题意有：，
故答案为：A
【分析】设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，根据题意列出一元二次方程，再解方程即可求解。
13．（2024九上·南沙期末）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只
∴一队猴子数是
根据题意可得：
故答案为：D
【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案.
14．（2025九上·清镇市期中）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下：
…
…
则这五个数中，第一个数是（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设五个连续整数为，，，，，
前三个数的平方和等于后两个数的平方和，
，
化简得：，
∵小星的方程为，
经过对对比，得，
∴，解得，.
观察表格数据发现，
当或时，，
第一个数为或．
故答案为：．
【分析】设五个连续整数为，，，，，根据已知条件前三个数的平方和等于后两个数的平方和可列方程，化简得，和小星的方程为，对比得，观察表格数据发现，当或时，，即可得答案.
四、解答题
15．已知两个连续奇数的平方和等于130，求这两个连续奇数．
【答案】解：设两个连续奇数为x和x+2，根据题意，得
，
解得：，.
∴这两个连续奇数为7，9或
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【分析】基本关系：连续奇数相差2，可设两个连续奇数为x和x+2，根据平方和等于130建立一元二次方程，求解即可.
16．（2024八下·丰城期中） 一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
【答案】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)，
由题意，得x2=10(x-3)+x.
解得x1=6，x2=5.
当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2.
答：这个两位数是36或25.
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【分析】设个位数字为x，则十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数列方程求解即可．
17．（2025八下·杭州月考）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．
（1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
（2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设最小数为，则最大数为，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：最小数为10
（2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下：
设最小数为，则另外三个数分别是，，，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
在最后一列，
方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【分析】（1）设最小数是，则最大数是，根据题意，列出一元二次方程，即可得出答案；
（2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据题意列出一元二次方程，即可得出答案．
（1）解：设最小数为，则最大数为，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求，
答：最小数为10；
（2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下：
设最小数为，则另外三个数分别是，，，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
在最后一列，
假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80．
18．（2024·合肥模拟）【观察思考】
【规律发现】
（）第个图案中“”的个数为______；
（）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示）
【规律应用】
（）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多．
【答案】（）；（），；（）．
【知识点】探索图形规律；一元二次方程的应用-数字问题
1 / 1一元二次方程·数字问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1． 连续两个整数的乘积为 12 ， 则这两个整数中较小的一个是（　　）
A．3 B．-4 C．-3 或 4 D．-4 或 3
2．（2023八下·绿园期末）如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数如，，，，，，，，若圈出的个数中，最大数与最小数的积为，则这个数中最小数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
3．若两个相邻的奇数的积是143，则这两个奇数是　 　.
4．（2025八下·瑞安期中）如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为425，则这个最小数为　 　。
5．（2024八下·平湖期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为　 　．
6．（2024八下·平果期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则　 　．
7．有一个两位数， 其十位上的数字与个位上的数字之和是 5 ， 把个位上的数字与十位上的数字对调后， 所得的新两位数与原两位数的乘积为 736 ，则原两位数为　 　.
8．若两个相邻自然数的积是 132，则这两个数中较大的数是　 　.
三、单选题
9．（2023七上·渠县期中）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（　　）．
A．32 B．126 C．135 D．144
10．（2024九上·洞口期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （　　）
A．741 B．600 C．465 D．300
11．（2024九上·石家庄月考）若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（　　）
A．23 B．34 C．23或34 D．或
12．（2024·绥江模拟）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2024九上·南沙期末）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2025九上·清镇市期中）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下：
…
…
则这五个数中，第一个数是（　　）
A． B． C．或 D．
四、解答题
15．已知两个连续奇数的平方和等于130，求这两个连续奇数．
16．（2024八下·丰城期中） 一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
17．（2025八下·杭州月考）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．
（1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
（2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
18．（2024·合肥模拟）【观察思考】
【规律发现】
（）第个图案中“”的个数为______；
（）第（为正整数）个图案中“○”的个数为_____“”的个数为_____（用含的式子表示）
【规律应用】
（）结合上面图案中“○”和“”的排列方式及规律，求正整数，使得“○”比“”的个数多．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这两个整数中较小的一个是x，则较大的是（x+1），
根据题意可得：x（x+1）=12，
解得：x1=-4，x2=3，
故答案为：D.
【分析】设这两个整数中较小的一个是x，则较大的是（x+1），结合“ 连续两个整数的乘积为 12 ”列出方程x（x+1）=12求解即可.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设最小数为x，则另外八个数分别为（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16），
依题意，得：x（x+16）=161，
解得：x1=7，x2=-23（不合题意，舍去），
则这9个数中最小数为9-2=7．
故答案为：C.
【分析】
设最小数为x，则另外八个数分别为（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），（x+14），（x+15），（x+16），根据最大数与最小数的积为161，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
3．【答案】1，13或-11，-13
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这两个相邻奇数中较大的数是x，则较小的数是x-2.
依题意，得x(x-2)=143，
化简、整理，得x2-2x-143=0，
解得x1=13，x2=-11，
当x=13时，x-2=11；
当x=-11时，x-2=-13.
故这两个奇数是11，13或-11，-13.
【分析】设这两个相邻奇数中较大的数是x，则较小的数是x-2，则这两个数的积是x(2+x)即可列出方程求得这两个奇数.
4．【答案】17
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设最小数为x，则最大数为，
∴
解得：
故答案为：17.
【分析】观察日历，则设最小数为x，则最大数为，然后根据最小数与最大数的乘积为425，列出方程解此方程即可求解．
5．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，
由题意得，，
解得：，
∴他去世时年龄为或，
又∵他去世时的年龄大于，
∴他去世时的年龄为
故答案为：．
【分析】设他去世时年龄的个位数为x，可用x表示出他去世时年龄的十位数，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程求解．
6．【答案】或
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：依题意，
即
∴
∴
解得：或
故答案为：或．
【分析】
根据题意将（a，2a）代入公式，得到一个关于a的方程，然后解这个方程，找出满足条件的a的值。
7．【答案】23或32
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原数个位上的数字为x，则十位上的数字为（5-x），
由题意列方程：
[10（5-x）+x][10x+(5-x)]=736，
解得：x1=2，x2=3，
这个两位数为：23或32.
故答案为：23或32.
【分析】设原数个位上的数字为x，则十位上的数字为（5-x），根据题中的相等关系“把个位上的数字与十位上的数字对调后， 所得的新两位数与原两位数的乘积为 736”可列关于x的一元二次方程，解之求出x的值，然后根据两位数等于十位上的数字×10+个位上的数字即可求解.
8．【答案】12
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设两个相邻自然数中较大的一个自然数为x，则较小一个为(x-1)，
由题意得x(x-1)=132，
解得x1=-11（舍），x2=12，
∴两个相邻自然数中较大的一个自然数为12.
故答案为：12.
【分析】设两个相邻自然数中较大的一个自然数为x，则较小一个为(x-1)，根据两个相邻自然数的积是132列出方程，求解并检验可得答案.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，
∴前行共有个点，其中为正整数，
当时，解得：（舍去），；
当时，解得：（舍去）；
当时，解得：（舍去），；
当时，解得：（舍去），；
故答案为：B．
【分析】先求出前行的总点数，然后根据选项分别解一元二次方程求出的数值，即可求解.
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
12．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，
根据题意有：，
故答案为：A
【分析】设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，根据题意列出一元二次方程，再解方程即可求解。
13．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只
∴一队猴子数是
根据题意可得：
故答案为：D
【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案.
14．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设五个连续整数为，，，，，
前三个数的平方和等于后两个数的平方和，
，
化简得：，
∵小星的方程为，
经过对对比，得，
∴，解得，.
观察表格数据发现，
当或时，，
第一个数为或．
故答案为：．
【分析】设五个连续整数为，，，，，根据已知条件前三个数的平方和等于后两个数的平方和可列方程，化简得，和小星的方程为，对比得，观察表格数据发现，当或时，，即可得答案.
15．【答案】解：设两个连续奇数为x和x+2，根据题意，得
，
解得：，.
∴这两个连续奇数为7，9或
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【分析】基本关系：连续奇数相差2，可设两个连续奇数为x和x+2，根据平方和等于130建立一元二次方程，求解即可.
16．【答案】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)，
由题意，得x2=10(x-3)+x.
解得x1=6，x2=5.
当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2.
答：这个两位数是36或25.
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【分析】设个位数字为x，则十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数列方程求解即可．
17．【答案】（1）解：设最小数为，则最大数为，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：最小数为10
（2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下：
设最小数为，则另外三个数分别是，，，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
在最后一列，
方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【分析】（1）设最小数是，则最大数是，根据题意，列出一元二次方程，即可得出答案；
（2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据题意列出一元二次方程，即可得出答案．
（1）解：设最小数为，则最大数为，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求，
答：最小数为10；
（2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下：
设最小数为，则另外三个数分别是，，，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
在最后一列，
假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80．
18．【答案】（）；（），；（）．
【知识点】探索图形规律；一元二次方程的应用-数字问题
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