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8.5一元二次方程的根与系数的关系
基础夯实
1.一元二次方程 的两根为x 和x ，则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2.若x=-2是一元二次方程 2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是 ( )
A.0,-2 B.0,0
C.-2,-2 D.-2,0
3.若方程 的两个实数根为x ，x ,则值为 ( )
A.-5 B.3 C.7 D.9
4.若关于x 的一元二次方程 的两个根分别是 则 b+c= .
5.(2024·济宁邹城市模拟)设α，β是一元二次方程 的两个根，则 5α+2β= .
6.若关于x 的方程 有两个实数根且互为相反数，试求： 的值.
7.(2024·淄博博山中学期中)已知关于x 的一元二次方程
(1)求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为x ,x ,且x + 求 m 的值.
易错点 利用根与系数的关系时，因忽略“△≥0”而致错
8.下列方程两根之和是-2的是 ( )
A. B.
C. D.
能力提升
9.(2024·烟台莱山区期中)若x ,x 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等于 ( )
A.2 024 B.2027
C.2 032 D.2 035
10.若m，n 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ( )
A.-2 B.6
C.-4 D.4
11.一元二次方程 的两根分别为x ,x ,则 的值为 .
12.(2024·临沂郯城县模拟)若 m,n 是方程 的两个实数根，则
13.已知关于 x 的一元二次方程 3x+1=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数 k 的取值范围；
(2)是否存在实数k，使该方程的两个实数根x ,x 满足 若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由.
素养培优
14.[运算能力]先阅读下面材料，再解方程.
例：解方程
解：当 时，原方程化为 解得 (不合题意，舍去)；
当x<0时，原方程化为 解
得 (不合题意，舍去)，
因此，原方程的根是
(1)请参照例题解方程： 3=0;
(2)拓展应用：已知实数 m，n满足 求 的值.
1. B解析:由题,知 故 A 项错误，不符合题意；B项正确，符合题意；
故D项错误，不符合题意；
故 C项错误，不符合题意.故选 B.
2. B 3. A 4.-17
5.11 解析:∵a,β是一元二次方程 的两个根，
6.解:设 的两根为α，β，则a+β=4(m-1).
∵关于x的方程. 有两个实数根且互为相反数，
∴α+β=0,
∴4(m-1)=0,解得m=1,
经检验，m=1时，原方程有两个不相等的实数根，
7.(1)证明:由题意,知
即△>0,
∴不论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
(2)解：由根与系数的关系，
得
由 得2m+1+3(-m-2)=1,解得m=-6.
8. C
9. C 解析:∵x ,x 是方程 的两个实数根，
∴原式 2×4+2024=2032.故选 C.
10. A 11.16
12.-2 解析:∵m,n是方程. 的两个实数根，
∴ /m+n -3=2m-4+2n+1-3=2(m+n)-6=2×2-6=-2.
13.解：(1)∵关于x的一元二次方程( 有两个不相等的实数根，
∴△>0,且k-1≠0,
解得 且k≠1.
(2)存在实数k，使该方程的两个实数根.x ,x 满足.x +
若x ,x 是( 的两个实数根，则x +
解得
时,( 有两个实数根，
∴存在实数 使该方程的两个实数根x ，x 满足
14.解:(1)当x≥1时,原方程化为 解得 (不合题意，舍去)；
当x<1时，原方程化为 解得x = (不合题意，舍去).
因此原方程的根是
(2)①当m=n时,
②当m=n时，由题意，知m，n是方程 的两个根,∴m+n=7, mm=2.
的值为2或

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