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专题七 一元二次方程根与系数关系的分类应用
一、利用根与系数的关系求代数式的值
1.(2024·菏泽单县模拟)已知 m,n 是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于 ( )
A.2026 B.2025 C.2024 D.2023
2.一元二次方程 的两根为x ,x ,则 的值为 ( )
A. B.-3 C.3 D.
3.已知m,n 是方程 的两个根，则 的值是 ( )
A.12 B.10 C.8 D.2
4.若p，q是一元二次方程. 的两个根，则 的值是 ( )
A.6 B.9 C.12 D.13
5.若x ,x 是方程 的两个根，则 ( )
A. B. C. D.
6.若 x ,x 是关于 x 的一元二次 方程 的两个实数根.
(1)求k 的取值范围；
(2)若 求 的值.
二、已知方程的一个根，求字母系数的值
7.若x=-1是方程 的一个根，则此方程的另一个根是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
8.已知关于x 的方程 的一个根 是 一 6，则该 方 程 的 另一个 根为
9.已知关于x 的方程 的一个根为
(1)求m 的值及方程的另一个根；
(2)设方程的两个根为x ,x ,求 x 的值.
三、已知含有两根代数式的值，求字母系数的值
10.若一元二次方程 有两个不相等的实数根x ，x ，且. x x ,则m 的值是 ( )
A.-1 B.3
C.3或-1 D.-3或1
11.(2024·德州德城区模拟)已知关于 x 的方程 的两根分别为 x 和x ,若 则 k 的值为 ( )
A.-2 B.
C. D.
12.已知关于 x 的一元二次方程
(1)判断该方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k 的值.
四、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的综合
13.(2024·烟台莱山区期中)已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根x ,x .
(1)求实数 k 的取值范围；
(2)若方程的两实数根x ,x 满足 ,求k 的值.
14.(2024·济南莱芜区月考)已知关于x 的一元二次方程：
(1)求证：不论 m 为何实数，方程总有实数根；
(2)当方程的两个根x ,x 均为正数时，
①求 m 的取值范围；
②若x ,x 分别是菱形 ABCD 的两条对角线的长，求菱形 ABCD 的边长(用含 m的代数式表示).
1. C 解析:∵m,n是一元二次方程. 的两个实数根，
∴m -2m-2026=0,m+n=-2,
2 024.故选 C.
2. C
3. C 解析:∵m,n 是一元二次方程 的两个根，
∴m -mn+3m+n=5-2m-mn+3m+n=5-mn+m+n=5-(-5)-2=5+5-2=8.故选C.
4. C 5. A
6.解：(1)∵关于x的一元二次方程. 有两个实数根，.
∴k≠0,且. ，解得 且k≠0.
(2)由根与系数的关系，可得 解得
7. B
8.1 解析：设另一根为a，
则 解得a=1.
9.解:(1)∵关于x的方程 的一个根为2+ ，设另一根为a，
即
(2)∵方程的两个根为x ,x ,
∴原式
10. B
11. A 解析:∵关于x的方程3x -5x+k=0的两根分别为x 和x ,
即
∴k=-2,经检验k=-2符合题意.故选 A.
12.解：(1)方程有两个不相等的实数根.理由：
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)设方程的两根为x ,x ,
则有
∵方程的两个实数根之和等于两根之积.
解得
13.解:(
整理，得
∵该方程有两个实数根.x ,x ,
解得
∴实数k 的取值范围是
(2)∵x ,x )是方程 的两实数根，
又∵
可化简为
∴(k-2)(k+4)=0,解得 (不合题意，舍去)，
∴k的值为-4.
14.(1)证明:∵a=2,b=m-2,c=-m,
∴不论m为何实数，方程总有实数根.
(2)解:①由题意,得 解得
∴m的取值范围为m<0.
②设菱形的边长为a，则
(舍);所以菱形的边长为

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