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2026北京师达中学初三（下）开学考
数 学
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义．下列纹样中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，于点 ．若，，则的长为(　　)
A. 12 B. 10 C. 6 D. 5
4. 下列函数中，当时，y的值随着x的值增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
5. 不透明袋子中装有个红球和个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好摸出个红球和1个黄球的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 是由中国初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的模型，于2024年12月发布，它具有架构，总共有个参数．这里“”的含义是，即等于十亿．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，等腰直角三角形中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，连接，则随着的增大，的度数（ ）
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 先增大后减小
8. 小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的的值满足（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
10. 分解因式：__________．
11. 若点在双曲线上，则代数式的值为 _____．
12. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_．
13. 某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植棵数 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数 87 279 535 887 6337 13581
成活的频率（保留小数点后三位）
根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____（精确到）．
14. 如图，是的直径，点，在上，，若，则_____．
15. 如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为_____．
16. 某工厂生产的一种产品由，两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有条流水线生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）：
零件 流水线 流水线 流水线 流水线
程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换．
（1）如果只开通其中一条流水线，天最多生产该产品______件；
（2）如果条流水线都开通，天最多生产该产品______件．
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20题6分，第21－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）
17. 计算：．
18.解不等式组：
19. 已知，求代数式的值．
20. 如图，在中，，点在上，．过点分别作的平行线交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
21. 京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？
22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
（1）求该函数的表达式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围．
23. 某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息．
a．七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：
b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3
志愿服务得分/分 60 70 80 90
c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_____，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组：
①该频数分布直方图反映的是_____（填“七”或“八”）年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_____组；
（3）该校七年级有120名学生，八年级有100名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_____．
24. 如图，是的直径，点在上，平分．
（1）求证：；
（2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，求半径的长．
25. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高15.25cm．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．
某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：根据以上数据，解决下列问题：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 28.75 33 45 49 33 0
（1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是_____cm，表格中的值为_____；
（2）求出满足条件的函数表达式；
（3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后_____落到对面球台上（填“能”或“不能”）．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当时，的最大值为12；
①请求出的值；
②若，是抛物线上两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为4，直接写出的取值范围．
27. 如图，在中，为内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点．
（1）求的度数；
（2）用等式表示与的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点，另一个公共点在边上（不与点重合），则称为的“点关联三角形”．
（1）如图，的半径为1，点．为的“点关联三角形”．
①在这两个点中，点可以与点_____重合；
②点的横坐标的最小值为_____；
（2）的半径为1，点，点是轴负半轴上的一个动点，点在轴下方，是等边三角形，且为的“点关联三角形”．设点的横坐标为，求的取值范围；
（3）的半径为，直线与在第一象限的交点为，点．若平面直角坐标系中存在点，使得是等腰直角三角形，且为的“点关联三角形”，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D C B D C A
二、填空题（共16分，每题2分）
9.
10.
11.
12. ＞
13.
14.
15. 60°或120 °
16. ①. ②.
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20题6分，第21－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）
17.解：原式
.
18.解：
解不等式①得；
解不等式②得；
∴该不等式组的解集为．
19.解：由得，，
将代入上式得，
原式．
20. （1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
∴，
∴，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作于点，
，，且，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
在中，由勾股定理得．
21. 解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，
由题意得：，
解得：，
，
答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时．
22. （1）解：将点和代入得，
，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图：
∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，
∴当经过时满足题意，
∴，
解得，
∵当时，对于的每一个值，函数的值大于0，
∴当过点时满足题意，
∴，
解得，
综上，满足条件的的取值为．
23. （1）解：根据统计图，可列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表如下：
时长 1 2 3 大于3
七年级 5 1 1 3
八年级 2 3 3 2
七年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为
八年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为,
记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，∴,
七年级10名学生的知识测评得分分别为52，62，65，65，75，79，81，82，82，92，
七年级10名学生的知识测评得分的平均数为
（分），
七年级10名学生的知识测评得分的方差为
八年级10名学生的知识测评得分分别为61，63，69，73，73，78，78，81，82，87，
八年级10名学生的知识测评得分的平均数为
（分)，
八年级10名学生的知识测评得分的方差为
记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，
，
故答案为：<， >;
（2）解：七年级10名学生的知识测评综合得分分别为112，122，125，135，165，139，171，142，172，172，
组别
学生数 1 2 2 1 0 1 3
八年级10名学生的知识测评综合得分分别为121，133，129，153，163，148，158，171，162，157，
组别
学生数 2 1 1 3 2 1
表格数据与八年级学生的知识测评综合得分符合，
∴该频数分布直方图反映的是八年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其得分是87分，综合得分是157分，位于第4组；
故答案为：①八，②4；
（3）解：综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章，该校七年级有120名学生，八年级有100名学生，被抽取的学生中七年级可获得“北京小使者”奖章的有4人，八年级有3人，
∴估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为
（人）。
故答案为：78.
24. （1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
取的中点，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
解得
∴的半径长为．
25. （1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为，
∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是；
∵当和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴当时的函数值与当的函数值相同，
∴；
（2）解：设，
把代入中得，
解得，
∴满足条件的函数表达式为；
（3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，
在中，当时，
解得或，
∵，
∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上．
26. （1）解：∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：①若，当时，的最大值为顶点纵坐标，不符合题意；
若，此时抛物线开口向上，且距离对称轴越远的点的纵坐标越大，对称轴为直线，
∵，，且，
∴当时，，
即，
解得；
②由①可得抛物线解析式为，
顶点坐标为，
∴，，
当图象不包含顶点，时，，
∴，
∴，
∵，
∴；
当图象不包含顶点，时，，
∴，
∴，
∵，
∴；
当图象包含顶点，，，时，，
∴，
∴，
∴或（舍去），即，
∵，
∴，，
∴，
∴；
当图象包含顶点，，，时，，
∴，
∴（舍去）或，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
综上，．
27. （1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
即，
∵
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点C作交于点H，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
28. （1）解：①当点A与点重合时，连接与圆相交，而也与圆相交，这样就与圆有三个交点，所以不符合“点A关联三角形”的定义；
过C作的切线，交于M，连接，如图，
，
∴，
设，则，
解得或，
当时，线段与有唯一交点，
∵，
∴当点与重合时，为的“点关联三角形”；
②由①得，
∴点的横坐标的最小值为；
（2）解：如图，
∵为的“点A关联三角形”，
∴线段和除过点A外，不能与有交点，
当与相切时，
∴轴，此时，点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为1，即，
∴时，线段除点A外不与有交点，
当线段除点A外不与有交点，
即点B在处，记作点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
过点作轴于G，
∴，，
∴，在上取一点M，连接，使，
∴，
在中，则，，
∴，
在中，根据勾股定理得，，，
∴，
∴，
∴时，线段除点A外不与有交点，
综上分析得，m的取值范围为；
（3）解：如图，符合等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，如下图1所示，
当与圆O有交点，直到落在圆O上，如图2所示，
设则，
过A作x轴平行线，交y轴于D，过C作于E，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即点恒在y轴上，
当点在圆O上时，即时，可得：，
故，
解得：，
∴，此时仍不满足题意；
当时，符合，直至下图的临界位置：与圆O相切，与O重合，如图3所示，
易得：，
①当时，由图可知，将与圆O存在两个交点，不符题意，
∴；
②当时，与圆O有两个交点，不符题意；
③当时，如图4所示，
设，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
此时，
即在圆O外部，C在圆O内部，与圆O必有一个交点，符合题意，
∴符合题意；
综上所述，r的取值范围是：或．

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