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云南省昆明市东川区2024-2025学年九年级上学期期末检测数学试题
1．（2025九上·东川期末）今年冬天寒潮来袭，气温持续走低，让人们更多关注天气资讯，下面是四种天气符号图标，其中不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·东川期末）事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（　　）
A．确定事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件
3．（2025九上·东川期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·东川期末）下列方程有两个不相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·东川期末）将抛物线向下平移个单位，得到新抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·东川期末）如图，将一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到，当，，在一条直线上时，三角板的旋转角度为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·东川期末）二次函数y=x2的图象经过的象限是（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
8．（2025九上·东川期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，，，第个代数式是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·东川期末）用配方法解方程，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·东川期末）已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·东川期末）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025九上·东川期末）如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，则切掉部分的圆弧的长度为（　　）
A． B． C． D．
13．（2025九上·东川期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）
A．8 B．12 C．0.4 D．0.6
14．（2025九上·东川期末）如图，在中，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
15．（2025九上·东川期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　）
A． B．
C． D．
16．（2025九上·东川期末）点关于原点对称的点的坐标是　 　．
17．（2025九上·东川期末）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是　 　．
18．（2025九上·东川期末）已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则此圆锥的侧面积为　 　.（结果保留 ）
19．（2025九上·东川期末）如图所示，为半圆O的直径，C、D、E、F是上的五等分点，P为直径AB上的任意一点，若，则图中阴影部分的面积为_____．
20．（2025九上·东川期末）解方程：
（1）；
（2）．
21．（2025九上·东川期末）如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别是，．
（1）画出绕点顺时针旋转后所得的图形；
（2）求出此过程中点走过的路径长度（结果保留）．
22．（2025九上·东川期末）云南民族博物馆于2022年5月18日至5月20日正式发布首套云南民族文化数字文创藏品，全套共3件数字文创藏品：A．吉祥瑞兽——瓦猫、B．民族头饰“头顶的太阳”——瑶族银顶盘、C．民族团结见证——华永宁边区夷务指挥印章．甲、乙两个班级均计划从3件数字文创藏品中随机选择一件，在主题班会上讲述民族文物背后的故事．假设两个班级选择到哪件数字文创藏品不受其他任何因素影响，每一件藏品被选到的可能性相同．
（1）用列表法或画树状图法，列出所有可能出现的情况；
（2）求两个班级选到同一件数字文创藏品的概率．
23．（2025九上·东川期末）随着新能源汽车技术的提高，电能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该店1月份销售新能源汽车25辆，3月份销售了36辆．
（1）求该店这两个月的月平均增长率；
（2）若月平均增长率保持不变，求该店4月份卖出多少辆新能源汽车．（结果保留整数）
24．（2025九上·东川期末）今年“双”网上购物节，某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元．
（1）每天可销售__________件，每件盈利__________元；（用含的代数式表示）
（2）若每天销售利润为元，当降价多少元时，每天的利润最大？
25．（2025九上·东川期末）阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值．
26．（2025九上·东川期末）年月日时分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟十一号遥四运载火箭，成功将武汉一号卫星、超低轨技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．若设武汉一号卫星为点，地球为．如图所示，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求证：是的切线．
27．（2025九上·东川期末）如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义，可知BCD是中心对称图形，A不是中心对称图形，
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一进行判断即可．
2．【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】∵ 任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上是随机事件，
故答案为：B.
【分析】根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可判断求解．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：是一元二次方程，符合题意；B：不是一元二次方程，不符合题意；C：不是一元二次方程，不符合题意；D：不是一元二次方程，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程的定义进行逐一判断即可求解.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、由，得方程有两个相等的实数根，故A不符合题意；
B、由，得方程无实数根，故B不符合题意，
C、由，得方程有两个不相等的实数根，故C符合题意，
D、由，得方程有两个相等的实数根，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系：当时，方程无实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；据此逐项进行计算求解即可．
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】将抛物线向下平移单位，得到的抛物线的解析式是．
故选：D．
【分析】根据二次函数图象平移变换规律“上加下减，左加右减”解题即可．
6．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到 ，
∴旋转角为，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质得到旋转角为，利用邻补角即可求解.
7．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵y=x2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），
∴抛物线经过第一，二象限．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），再求解即可。
8．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；算术平方根的概念与表示；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，
∴第个代数式是，
故答案为：D．
【分析】根据代数式的系数以及字母的指数的规律，即可得到答案.
9．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据配方法的步骤：先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式，据此即可求解.
10．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵的半径为，点是外一点，
∴OA的长大于半径6，
故答案为：D.
【分析】根据“若点在圆的外部，则点到原心的距离大于半径”分析求解即可.
11．【答案】B
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：B．
【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可得到答案.
12．【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵圆饼的直径为，
∴圆饼的半径为，
∵圆弧的圆周角为，
∴圆弧的圆心角为，
∴圆弧的长度为：，
故答案为：D
【分析】根据圆饼的直径为得圆饼的半径为，根据圆弧的圆周角为得圆弧的圆心角为，再根据弧长公式即可求出答案.
13．【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在阴影部分的概率为，
故阴影部分的面积为20×0.6=12.
∴黑色阴影的面积为约12，
故答案为：B．
【分析】利用频率估计概率的方法：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，故可以用频率的集中趋势来估计概率．
14．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理即可求解.
15．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：如图，平移阴影部分可得，
∵小道的宽为，
∴种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故答案为：C．
【分析】利用平移的知识得到种植面积的形状，即把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
16．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是。
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的特征，即可得出答案。
17．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】将代入方程可得， 然后整体代入求值即可得到答案.
18．【答案】12π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的母线长l=5，底面圆的半径r=3，
∴圆锥的侧面积=πlr=π×5×3=15π.
故答案为：15π.
【分析】根据圆锥侧面积的计算公式S=πlr进行计算即可.
19．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵，，，是上的五等分点，
∴，
∵为半圆的直径，且，
∴半圆的半径为2，
∵和同底等高，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，，先求得圆心角的度数以及半圆的半径，然后由和同底等高，得到阴影部分的面积等于扇形的面积，最后利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积．
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用“因式分解法”求解一元二次方程即可；
（）利用“因式分解法”求解一元二次方程即可.
（1）解：
或
∴，；
（2）解：
或
∴，．
21．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，
由旋转性质可得：，
∵，
∴点走过的路径长度为：．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到点，的对应点，，然后依次连接即可；
（2）由旋转性质可得：，根据网格得到的长，然后利用弧长公式计算即可．
（1）解：如图，
∴即为所求；
（2）解：如图，
由旋转性质可知：，
由网格可得：，
∴点走过的路径长度为．
22．【答案】（1）解：列表如下：
乙甲
（2）解：由（1）可得：共有9种等可能的情况，其中两个班级选到同一件数字文创藏品的情况有3种，
∴两个班级选到同一件数字文创藏品的概率为：.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）利用列表法得出所有等可能的情况数；
（2）由（1）的列表可知所有的等可能结果数，从而得到其中两个班级选到同一件数字文创藏品的结果数，进而利用概率公式求解即可．
（1）解：列表如下：
乙甲
（2）解：由（1）表可知，共有9种等可能出现的情况，其中两个班级选到同一件数字文创藏品的情况有3种，分别是：，，，
（两个班级选到同一件数字文创藏品），
答：两个班级选到同一件数字文创藏品的概率是．
23．【答案】（1）解：设该店这两个月的月平均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴该店这两个月的月平均增长率为；
（2）解：由（1）得月平均增长率为，
∴（辆，
∴该店4月份卖出43辆新能源汽车．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该店这两个月的月平均增长率为，根据“该店1月份销售新能源汽车25辆，3月份销售了36辆”可列出关于的一元二次方程，解方程并取其符合题意的值，即可得出答案；
（2）利用该店4月份销售新能源汽车的数量=该店3月份销售新能源汽车的数量×（1+该店这两个月的月平均增长率），即可求出答案．
（1）解：设该店这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该店这两个月的月平均增长率为；
（2）解：根据题意得：（辆．
答：该店4月份卖出43辆新能源汽车．
24．【答案】（1），；
（2）解：根据题意，得，
，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴当降价为元时，每天的利润最大．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）∵每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，
∴每件童装降价元时，每天可销售件，
∵一款童装每件进价为元，原销售价为元，
∴每件盈利元，
故答案为∶，.
【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”即可得出降价后每天销售件数，根据每件盈利=每件售价-每件成本，即可得到答案；
（2）根据“总利润＝单件利润×数量”可列出关于的二次函数关系式，并化为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可．
（1）解∶如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，
∴如果每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元，
故答案为∶，；
（2）解：设每天的利润为w元，由题意得
，
当时，w最大，最大值为，
答：当降价为元时，每天的利润最大．
25．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴．
∵，
∴方程是“邻根方程”；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵此方程为“邻根方程”，
∴或，
解得：或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先利用“因式分解法”对所给一元二次方程进行求解，然后结合“邻根方程”的定义进行判断即可；
（2）先利用“因式分解法”对所给一元二次方程进行求解，然后结合“邻根方程”的定义建立关于的方程，解方程即可求解.
（1）解：，
则或，
所以．
因为，
所以方程是“邻根方程”；
（2）解：由方程得，
因为此方程为“邻根方程”，
所以或，
则或
26．【答案】（1）解：为等边三角形，理由如下：
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线．
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；切线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（）根据切线的性质得，根据直角三角形斜边上的中线性质得到，从而得到，进而证明是等边三角形；
（）根据等边三角形的性质得，则，然后根据“”证明，得，最后根据切线的判定即可得证结论.
（1）解：是等边三角形，理由，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵交于点，且，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
27．【答案】解：（1）∵抛物线与z轴交于点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线的解析式为，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴顶点坐标为；
（3）设的纵坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
把代入解析式得：，
解得：，
把代入解析式得：，
解得：，
∴点在该抛物线上滑动到时，满足.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）根据对称轴公式求出该抛物线的对称轴，从而求出顶点坐标；
（3）设的纵坐标为，根据求得的纵坐标，然后把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得点的坐标．
1 / 1云南省昆明市东川区2024-2025学年九年级上学期期末检测数学试题
1．（2025九上·东川期末）今年冬天寒潮来袭，气温持续走低，让人们更多关注天气资讯，下面是四种天气符号图标，其中不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义，可知BCD是中心对称图形，A不是中心对称图形，
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一进行判断即可．
2．（2025九上·东川期末）事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（　　）
A．确定事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件
【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】∵ 任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上是随机事件，
故答案为：B.
【分析】根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可判断求解．
3．（2025九上·东川期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：是一元二次方程，符合题意；B：不是一元二次方程，不符合题意；C：不是一元二次方程，不符合题意；D：不是一元二次方程，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程的定义进行逐一判断即可求解.
4．（2025九上·东川期末）下列方程有两个不相等的实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、由，得方程有两个相等的实数根，故A不符合题意；
B、由，得方程无实数根，故B不符合题意，
C、由，得方程有两个不相等的实数根，故C符合题意，
D、由，得方程有两个相等的实数根，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系：当时，方程无实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；据此逐项进行计算求解即可．
5．（2025九上·东川期末）将抛物线向下平移个单位，得到新抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】将抛物线向下平移单位，得到的抛物线的解析式是．
故选：D．
【分析】根据二次函数图象平移变换规律“上加下减，左加右减”解题即可．
6．（2025九上·东川期末）如图，将一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到，当，，在一条直线上时，三角板的旋转角度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到 ，
∴旋转角为，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质得到旋转角为，利用邻补角即可求解.
7．（2025九上·东川期末）二次函数y=x2的图象经过的象限是（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵y=x2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），
∴抛物线经过第一，二象限．
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），再求解即可。
8．（2025九上·东川期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，，，第个代数式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；算术平方根的概念与表示；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，
∴第个代数式是，
故答案为：D．
【分析】根据代数式的系数以及字母的指数的规律，即可得到答案.
9．（2025九上·东川期末）用配方法解方程，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据配方法的步骤：先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式，据此即可求解.
10．（2025九上·东川期末）已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵的半径为，点是外一点，
∴OA的长大于半径6，
故答案为：D.
【分析】根据“若点在圆的外部，则点到原心的距离大于半径”分析求解即可.
11．（2025九上·东川期末）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：B．
【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可得到答案.
12．（2025九上·东川期末）如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，则切掉部分的圆弧的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵圆饼的直径为，
∴圆饼的半径为，
∵圆弧的圆周角为，
∴圆弧的圆心角为，
∴圆弧的长度为：，
故答案为：D
【分析】根据圆饼的直径为得圆饼的半径为，根据圆弧的圆周角为得圆弧的圆心角为，再根据弧长公式即可求出答案.
13．（2025九上·东川期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）
A．8 B．12 C．0.4 D．0.6
【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在阴影部分的概率为，
故阴影部分的面积为20×0.6=12.
∴黑色阴影的面积为约12，
故答案为：B．
【分析】利用频率估计概率的方法：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，故可以用频率的集中趋势来估计概率．
14．（2025九上·东川期末）如图，在中，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理即可求解.
15．（2025九上·东川期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：如图，平移阴影部分可得，
∵小道的宽为，
∴种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故答案为：C．
【分析】利用平移的知识得到种植面积的形状，即把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
16．（2025九上·东川期末）点关于原点对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是。
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的特征，即可得出答案。
17．（2025九上·东川期末）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】将代入方程可得， 然后整体代入求值即可得到答案.
18．（2025九上·东川期末）已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则此圆锥的侧面积为　 　.（结果保留 ）
【答案】12π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的母线长l=5，底面圆的半径r=3，
∴圆锥的侧面积=πlr=π×5×3=15π.
故答案为：15π.
【分析】根据圆锥侧面积的计算公式S=πlr进行计算即可.
19．（2025九上·东川期末）如图所示，为半圆O的直径，C、D、E、F是上的五等分点，P为直径AB上的任意一点，若，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵，，，是上的五等分点，
∴，
∵为半圆的直径，且，
∴半圆的半径为2，
∵和同底等高，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，，先求得圆心角的度数以及半圆的半径，然后由和同底等高，得到阴影部分的面积等于扇形的面积，最后利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积．
20．（2025九上·东川期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用“因式分解法”求解一元二次方程即可；
（）利用“因式分解法”求解一元二次方程即可.
（1）解：
或
∴，；
（2）解：
或
∴，．
21．（2025九上·东川期末）如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别是，．
（1）画出绕点顺时针旋转后所得的图形；
（2）求出此过程中点走过的路径长度（结果保留）．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，
由旋转性质可得：，
∵，
∴点走过的路径长度为：．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到点，的对应点，，然后依次连接即可；
（2）由旋转性质可得：，根据网格得到的长，然后利用弧长公式计算即可．
（1）解：如图，
∴即为所求；
（2）解：如图，
由旋转性质可知：，
由网格可得：，
∴点走过的路径长度为．
22．（2025九上·东川期末）云南民族博物馆于2022年5月18日至5月20日正式发布首套云南民族文化数字文创藏品，全套共3件数字文创藏品：A．吉祥瑞兽——瓦猫、B．民族头饰“头顶的太阳”——瑶族银顶盘、C．民族团结见证——华永宁边区夷务指挥印章．甲、乙两个班级均计划从3件数字文创藏品中随机选择一件，在主题班会上讲述民族文物背后的故事．假设两个班级选择到哪件数字文创藏品不受其他任何因素影响，每一件藏品被选到的可能性相同．
（1）用列表法或画树状图法，列出所有可能出现的情况；
（2）求两个班级选到同一件数字文创藏品的概率．
【答案】（1）解：列表如下：
乙甲
（2）解：由（1）可得：共有9种等可能的情况，其中两个班级选到同一件数字文创藏品的情况有3种，
∴两个班级选到同一件数字文创藏品的概率为：.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）利用列表法得出所有等可能的情况数；
（2）由（1）的列表可知所有的等可能结果数，从而得到其中两个班级选到同一件数字文创藏品的结果数，进而利用概率公式求解即可．
（1）解：列表如下：
乙甲
（2）解：由（1）表可知，共有9种等可能出现的情况，其中两个班级选到同一件数字文创藏品的情况有3种，分别是：，，，
（两个班级选到同一件数字文创藏品），
答：两个班级选到同一件数字文创藏品的概率是．
23．（2025九上·东川期末）随着新能源汽车技术的提高，电能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该店1月份销售新能源汽车25辆，3月份销售了36辆．
（1）求该店这两个月的月平均增长率；
（2）若月平均增长率保持不变，求该店4月份卖出多少辆新能源汽车．（结果保留整数）
【答案】（1）解：设该店这两个月的月平均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴该店这两个月的月平均增长率为；
（2）解：由（1）得月平均增长率为，
∴（辆，
∴该店4月份卖出43辆新能源汽车．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该店这两个月的月平均增长率为，根据“该店1月份销售新能源汽车25辆，3月份销售了36辆”可列出关于的一元二次方程，解方程并取其符合题意的值，即可得出答案；
（2）利用该店4月份销售新能源汽车的数量=该店3月份销售新能源汽车的数量×（1+该店这两个月的月平均增长率），即可求出答案．
（1）解：设该店这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该店这两个月的月平均增长率为；
（2）解：根据题意得：（辆．
答：该店4月份卖出43辆新能源汽车．
24．（2025九上·东川期末）今年“双”网上购物节，某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元．
（1）每天可销售__________件，每件盈利__________元；（用含的代数式表示）
（2）若每天销售利润为元，当降价多少元时，每天的利润最大？
【答案】（1），；
（2）解：根据题意，得，
，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴当降价为元时，每天的利润最大．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）∵每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，
∴每件童装降价元时，每天可销售件，
∵一款童装每件进价为元，原销售价为元，
∴每件盈利元，
故答案为∶，.
【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”即可得出降价后每天销售件数，根据每件盈利=每件售价-每件成本，即可得到答案；
（2）根据“总利润＝单件利润×数量”可列出关于的二次函数关系式，并化为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可．
（1）解∶如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，
∴如果每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元，
故答案为∶，；
（2）解：设每天的利润为w元，由题意得
，
当时，w最大，最大值为，
答：当降价为元时，每天的利润最大．
25．（2025九上·东川期末）阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴．
∵，
∴方程是“邻根方程”；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵此方程为“邻根方程”，
∴或，
解得：或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先利用“因式分解法”对所给一元二次方程进行求解，然后结合“邻根方程”的定义进行判断即可；
（2）先利用“因式分解法”对所给一元二次方程进行求解，然后结合“邻根方程”的定义建立关于的方程，解方程即可求解.
（1）解：，
则或，
所以．
因为，
所以方程是“邻根方程”；
（2）解：由方程得，
因为此方程为“邻根方程”，
所以或，
则或
26．（2025九上·东川期末）年月日时分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟十一号遥四运载火箭，成功将武汉一号卫星、超低轨技术试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．若设武汉一号卫星为点，地球为．如图所示，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求证：是的切线．
【答案】（1）解：为等边三角形，理由如下：
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线．
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；切线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（）根据切线的性质得，根据直角三角形斜边上的中线性质得到，从而得到，进而证明是等边三角形；
（）根据等边三角形的性质得，则，然后根据“”证明，得，最后根据切线的判定即可得证结论.
（1）解：是等边三角形，理由，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵交于点，且，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
27．（2025九上·东川期末）如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线与z轴交于点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线的解析式为，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴顶点坐标为；
（3）设的纵坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
把代入解析式得：，
解得：，
把代入解析式得：，
解得：，
∴点在该抛物线上滑动到时，满足.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）根据对称轴公式求出该抛物线的对称轴，从而求出顶点坐标；
（3）设的纵坐标为，根据求得的纵坐标，然后把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得点的坐标．
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