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人教八下数学情境课堂教学课件
微专题3　利用勾股定理解决最短路径问题
第20章 勾股定理
快速对答案
1. C　2. 8　3. 5　4. 4　5. 2 　6. 3＋ 　
7. A 8. ①，50 9. 10
10. 解答题(点击下方超链接)
C
8
5　
4　
2 　
3＋ 　
A
①，50
10
解答题(点击下方超链接)
8
9
10
7
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3
2
1
类型1　平面图形中的最值25考
1. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC上一动
点，连接AD，则AD的最小值为(　C　)
A. 10 B. 11
C. 12 D. 13
第1题图
C
8
9
10
7
6
5
4
3
2
1
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，E是AB
上任意一点，若AC＝15，AD＝17，则DE的最小值为 .
第2题图
8　
8
9
10
7
6
5
4
3
2
1
3. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的点，且AE＝3，
点Q在AC上，连接DQ，EQ，则DQ＋QE的最小值为 .
第3题图
5　
8
9
10
7
6
5
4
3
2
1
4. 如图，在长方形ABCD中，E为BC边上任意一点，连接AE，将
△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处，连接CB'，若AB＝6，BC＝8，
则CB'的最小值为 .
第4题图
4　
8
9
10
7
6
5
4
3
2
1
5. ( )如图，在等边△ABC中，D，E分别为边AB，BC的中点，连
接AE，F为AE上一动点，连接DF，BF，若AB＝4，则DF＋BF的最
小值为 .
第5题图
2 　
8
9
10
7
6
5
4
3
2
1
6. 如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，点D在AB
上，AD＝2，P是AC上一动点，连接BP，DP，则△BDP的周长的最小
值为 .
第6题图
3＋ 　
8
9
10
7
6
5
4
3
2
1
类型2　立体图形中的最值4考
　　蚂蚁觅食遇困境，如何选择路最短？定理指路快一步.请完成第
7～9题.
主题情境
蚂蚁觅食之旅
7. 如图是两个靠在一起的长方体，若一只蚂蚁从顶点A处沿表面爬到顶
点B处觅食，则蚂蚁爬行的最短距离为(　A　)
A. 100 cm B. 120 cm
C. 140 cm D. 160 cm
第7题图
A
8
9
10
7
6
5
4
3
2
1
8. (教材新增复习题改编)如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为
20 cm，20 cm，30 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点
B处，现有①，②两条路径可供蚂蚁选择，蚂蚁选择路径 (填序号)
时爬行的路径最短，最短需要爬行 cm.
第8题图
①　
50　
8
9
10
7
6
5
4
3
2
1
9. 如图，圆柱体的底面周长为4 cm，高为6 cm，蚂蚁从底面点A处绕圆
柱爬行，爬行2圈后正好到达点A的正上方点B处，则蚂蚁爬行的最短路
程为 cm.
第9题图
10　
8
9
10
7
6
5
4
3
2
1
类型3　双根式构造直角三角形求最值
10. 某班数学兴趣小组的学生对下面的问题进行了探索与分析：
【提出问题】求 ＋ 的最小值.
【分析问题】可以通过构造直角三角形的方法，结合勾股定理分别表示
出长度为 和 的线段，将代数求和问题转化为线段
求和问题.
8
9
10
7
6
5
4
3
2
1
【解决问题】如图，构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动
点，设BP＝x，则PC＝1－x.
第10题图
(1) ＋ ＝线段 ＋线段 ；
AP　
DP　
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10
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6
5
4
3
2
1
(2)求 ＋ 的最小值；
解：如解图①，作点A关于BC的对称点A'，
连接A'D交BC于点P'，AP＋PD的最小值
即为A'D的长，
∵AD＝1，AA'＝2，且∠DAA'＝90°，
∴A'D＝ ＝ ，
∴AP＋PD的最小值为 ，
∴ ＋ 的最小值为 ；
解图
【解决问题】如图，构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点，设BP＝x，则PC＝1－x.
第10题图
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10
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6
5
4
3
2
1
【解决问题】如图，构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点，设BP＝x，则PC＝1－x.
【拓展应用】(3)应用数形结合思想，求 ＋ 的最小值.
解：∵ ＋ ＝ ＋ ，
∴构造如解图②所示的长方形ABCD，其中AB＝CD＝5，BC＝AD＝4，点E是CD上一点，
CE＝3，点F是BC上一动点，
第10题图
解图②
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6
5
4
3
2
1
设BF＝x，则CF＝4－x，AF＝ ，
EF＝ ，则AF＋EF的最小值即为
＋ 的最小值，作点E关于BC的对称点E'，
连接E'F，AE'，
∴E'F＝EF，∴AF＋EF＝AF＋E'F≥ AE'，
当A，F，E'三点共线时，AF＋E'F取得最小值，最小值
为AE'的长，
∵E'C＝CE＝3，∴E'D＝E'C＋CD＝3＋5＝8，
∵∠D＝90°，∴AE'＝ ＝ ＝4 ，
∴ ＋ 的最小值为4 .
解图②
8
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10
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5
4
3
2
1
解题通法
方法1：垂线段最短法
第一步：确定取得最小值时点的位置；
点A是直线l外一定点，点P是直线l上的动点，当AP⊥直线l时，AP的
值最小.
第二步：构造直角三角形，利用勾股定理求解.
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4
3
2
1
方法2：两点之间线段最短法
第一步：确定取得最小值时点的位置；
第二步：构造直角三角形，利用勾股定理求解.
情况1：点A，B是直线l异侧两点，P是直线l上的动点，当点P与点
A，B共线时，PA＋PB的值最小.
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4
3
2
1
情况2：点A，B是直线l同侧两点，在直线l上找一点P，使得PA＋PB
的值最小.作点A关于直线l的对称点A'，根据对称性即可转化为情况1，
PA＋PB的最小值即为A'B的长.
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10
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6
5
4
3
2
1
方法3：立体图形展开法
第一步：将立体图形展开成平面图形；
情况1：圆柱体展开
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6
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4
3
2
1
第二步：利用“两点之间，线段最短”确定最短路径；
情况2：长方体展开
第三步：构造直角三角形，利用勾股定理求解.
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3
2
1
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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