资源简介

(共26张PPT)
人教八下数学情境课堂教学课件
微专题4　跟随时间的脚步证明勾股定理
微专题5　勾股定理的项目式学习
第20章 勾股定理
　　勾股定理现约有500种证明方法，勾股定理的证明是论证几何的开
端，是历史上第一个把数与形联系起来的定理.让我们跟随时间的脚步，
回顾中国数学家们是如何证明勾股定理的.请完成第1～4题.
约公元前11世纪，商高的“折矩—积矩”法
1. (教材新增素材改编)“折矩—积矩”法来源于《周髀算经》中商高答周
公的一段话：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五，既方之，外半
其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩.”小颖
根据文言描述作图如图所示，请你完成以下任务.
第1题图
任务1：如图②，点D在边HG上，求证：HD＝a；
证明：根据题意可知，四边形ABOD，四边形ACGH均为正方形，
∴AB＝AD，AC＝AH，∠ACB＝∠H＝90°，
在Rt△ACB和Rt△AHD中，
∴Rt△ACB≌Rt△AHD(HL)，
∴HD＝BC＝a；
第1题图
任务2：如图③，请用含a，b的代数式分别表示：IC＝ ，IF
＝ ；
任务3：如图④，S正方形ABOD＝S△ABC＋S△AID＋S△OKD＋S△BOJ＋S正方形
ICJK
＝ 　 ab　＋ 　 ab　＋ 　 ab　＋ 　 ab　＋ ＝ ，
同时S正方形ABOD＝c2，∴a2＋b2＝c2.
b－a　
b　
ab　
ab　
ab　
ab　
(b－a)2　
a2＋b2
第1题图
约公元263年，刘徽“青朱出入图”证法
2. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图①所示的“青朱出入图”证明了勾股
定理，其示意图如图②，边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形
EFGA相邻，E，A，B三点共线，点G在AD上，边长为c的正方形
EHID的顶点I在BC边上，HJ⊥EB于点J，HI与AB相交于点K，DE
与FG相交于点L.
(1)求证：S△EJH＝S△DCI；
解：(1)由题意可得EH＝DE＝DI，∠HED＝∠EAD＝∠EDI＝
∠ADC＝90°，∠DCI＝90°，
∴∠HEJ＋∠AED＝∠AED＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADI＝
∠ADI＋∠IDC＝90°，
∴∠HEJ＝∠EDA，∠EDA＝∠IDC，
即∠HEJ＝∠IDC，
∵HJ⊥EB，∴∠EJH＝∠DCI＝90°.
在△EJH和△DCI中，
∴△EJH≌△DCI(AAS)，∴S△EJH＝S△DCI；
点G在AD上，边长为c的正方形EHID的顶点I在BC边上，HJ⊥EB于
点J，HI与AB相交于点K，DE与FG相交于点L.
(2)如图②，已知S1＝S1'，S2＝S2'，请你结合(1)中的结论，利用“青朱
出入图”证明勾股定理.
解：(2)由(1)得S△EJH＝S△DCI，
∵S1＝S1'，S2＝S2'，
∴S正方形EHID＝S四边形ADIK＋S1＋S2＋S△EJH＋S四边形AELG
＝S四边形ADIK＋S1'＋S2'＋S△DCI＋S四边形AELG
＝S四边形ADIK＋S1'＋S△DCI＋(S2'＋S四边形AELG)
＝S正方形ABCD＋S正方形AEFG
＝a2＋b2，
∵S正方形EHID＝c2，∴a2＋b2＝c2.
约 17 世纪后期，梅文鼎《勾股举隅》中的“弦图拼合法”
3. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统
勾股算术的著作，其中的主要成就是对
勾股定理的证明和对勾股算术算法的推
广. 将4个全等的直角三角形按照如图所
示的方式摆放，其中点A，T，F在同一
条直线上，点C，J，D在同一条直线上，
已知四边形ABJE为正方形，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c.请利用该图形证明勾股定理(提示：延长AF交CD于点H).
第3题图
证明：如解图，延长AF交CD于点H，
S五边形ABCDE＝S梯形ABCH＋S梯形AEDH＝S正方形ABJE＋
S△BCJ＋S△DEJ，
∵S梯形ABCH＋S梯形AEDH＝ ＋ ＝
a2＋b2＋ab，
S正方形ABJE＋S△BCJ＋S△DEJ＝c2＋ ab＋ ab＝c2＋
ab，
∴a2＋b2＋ab＝c2＋ab，∴a2＋b2＝c2.
解图
尝试证明
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，其三边长分别为a，b，c，已知△ABC内角的平分线相交于点D，过点D作DH⊥AC于点H，DF⊥BC于点F，DG⊥AB于点G，得到正方形HCFD.
(1)用含a，b，c的代数式表示DH的长；
第4题图
解：∵AD平分∠CAB，DH⊥AC，DG⊥AB，
∴DH＝DG，∠AHD＝∠AGD＝90°，
在Rt△AHD与Rt△AGD中，
∴Rt△AHD≌Rt△AGD(HL)，∴AH＝AG，
同理可得BG＝BF，
∵四边形HCFD是正方形，
∴DH＝HC＝CF，
∴AB＝AG＋BG＝AH＋BF＝b－CH＋a－CF＝b－DH＋a－DH
＝c，整理得DH＝ ；
第4题图
已知△ABC内角的平分线相交于点D，过点D作DH⊥AC于点H，
DF⊥BC于点F，DG⊥AB于点G，得到正方形HCFD.
(2)请用此图证明勾股定理，即求证：a2＋b2＝c2.
(2)证明：由(1)易得a＋b＝c＋2DH，
∴(a＋b)2＝(c＋2DH)2，
整理得a2＋b2＋2ab＝c2＋4(DH2＋c·DH)，
∵S△ABC＝S正方形HCFD＋S△AHD＋S△AGD＋S△BDG＋S△BDF＝
S正方形HCFD＋2S△ADG＋2S△BDG，∴ ab＝DH2＋2× c·DH，
整理得2ab＝4(DH2＋c·DH)，
∴a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab，∴a2＋b2＝c2.
第4题图
第二十章　勾股定理
微专题5　勾股定理的项目式学习
快速对答案
1. (2)AC；(3)AB(答案不唯一)；(4)斜，29　
2. 解答题(点击下方超链接)
AC
AB(答案不唯一)
斜，29
解答题(点击下方超链接)
2
1
1. 　　　　　　　　　 【发现问题】小明买菠萝时发现，菠萝上的果眼都被斜着铲去.
【提出问题】销售员斜着铲去菠萝果眼，除了方便操作，是否还蕴含着
什么数学道理呢？
【分析问题】某菠萝可以近似看成圆柱体，忽略果眼的体积和铲去果肉
的厚度与宽度，那么果眼在侧面展开图上可以看成点.
【建立模型】
模型1：横向铲眼后的侧面展开图如图①所示；
模型2：纵向铲眼后的侧面展开图如图②所示；
模型3：斜向铲眼后的侧面展开图如图③所示.
2
1
中考新考法·项目式学习
第1题图
【抽离模型】如图④，将四个菠萝眼看作四个点，分别记为点A，B，
C，D，四边形ABCD是正方形.
第1题图④
(1)当横向铲两个眼后，损失的果肉是BD间距离的果肉；
(2)当纵向铲两个眼后，损失的果肉是 间距离的果肉；
AC　
(3)当斜向铲两个眼后，损失的果肉是 间距离的果肉
(写出一个即可)；
AB(答案不唯一)　
2
1
【问题解决】
(4)若A，B两个眼之间的距离为2 cm(即正方形ABCD的边长为2 cm)，
则 向铲两个眼后，损失的果肉少，即多保留约 ％的果肉(计
算方式： ×100％， ≈1.414，百分号前保留整
数).
斜　
29　
第1题图④
2
1
2. 　　　　　　　　　　　　 　【问题情境】如图①，圆柱的高AC＝16 cm，底面直径BC＝8 cm，圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁想吃上底面点B处的食物.请帮蚂蚁设计爬行方案，使它的爬行路程最短(π取3).
第2题图
中考新考法·项目式学习
2
1
【初步探究】(1)小明：蚂蚁沿图①中折线A→C→B爬行，此时爬行的
路程为16＋8＝24(cm)；
小红：将圆柱沿AC裁剪展开(如图②)，此时点B为CC'的中点，蚂蚁从
点A径直爬行到点B，此时蚂蚁爬行的路程约为 cm；
20　
第2题图
【解法提示】小红的方案：如题图②，AB即为蚂蚁爬行路线，由题可知BC＝ πd≈12(cm)，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝ ＝ ＝20(cm).
2
1
(2)比较可知： 的方案中，蚂蚁爬行的路程较短；小红得出结
论：在解决最短路径问题时，均可采用展开法求解；
小红　
第2题图
2
1
【反思深究】不改变圆柱底面直径，改变高AC，小明、小红设计的方案
路程长分别为a，b.
(3)请将下列表格补充完整；
AC/cm 路程a/cm 路程b/cm 比较a与b的大小
12 20 17.0 a＞b
8 16 14.4 a＞b
4 12.6
12
a＜b
2
1
【深化认识】(4)请根据上述探究判断小红的结论是否正确，并思考：若
圆柱直径d不变，d与圆柱的高h之间满足怎样的数量关系时，两种爬行
路线的路程相等？
解：由表格可知，当AC＝4时，展开法的路程长b＞折线爬行路程长a，
即展开法求最短路径并不适用所有的圆柱，
∴小红的结论不正确.
当h＝ d时，两种路线的路程相等.
由题可知BC＝ πd≈ d，
AC/cm 路程a/cm 路程b/cm 比较a与b的大小
12 20 17.0 a＞b
8 16 14.4 a＞b
4 12 12.6 a＜b
2
1
小明的方案：路程长a＝AC＋BC＝h＋d，
小红的方案：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
路程长b＝AB＝ ＝ ，
当两种爬行路线的路程相等时，h＋
d＝ ，化简得h＝ d.
即当h＝ d时，满足题意.
AC/cm 路程a/cm 路程b/cm 比较a与b的大小
12 20 17.0 a＞b
8 16 14.4 a＞b
4 12 12.6 a＜b
2
1
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

展开更多......

收起↑