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人教八下数学情境课堂教学课件
本章整合提升
第20章 勾股定理
思维导图建体系
请将下面的思维导图补充完整：
①直角
②a2+b2=c2
③面积法
④直角
⑤正整数
①
②
③
④
⑤
重点分点提能力
一、勾股定理及其逆定理
1. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为AB的中点，连接DE，
则DE的长为(　D　)
A. B. 5
C. 2 D. 2
第1题图
D
2. 下列各组数：①1，2，3；②3 ，3，3；③0.3，0.4，0.5；④8，
15，17，其中是勾股数的是(　B　)
A. ① B. ④
C. ①② D. ③④
B
3. ( )《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍并证明了勾股定理. 如
图，在Rt△ABC中，BA⊥AC，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作等
边三角形，面积分别记为S1，S2，S3，已知S1＋S2＝9 ，则S3的值
为 .
第3题图
9 　
4. 如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则下
列结论：①AB＝5；②△ABC为直角三角形；③△ABC的面积为4；④点
C到AB的距离为2，其中正确的是 (填序号).
第4题图
①②④　
5. 　　　　　　　 　　 (教材复习题改编)如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为：S＝ . 这是我国南宋数学家秦九韶提出的利用三角形的三边求面积的秦九韶公式.小颖查阅资料发现可以利用勾股定理证明秦九韶公式，下面是小颖的证明过程，请将过程补充完整.
中考新考法·补充证明过程
证明：如题图，△ABC的三边BC＝a，AC＝b，AB＝c，AD⊥BC，
设CD＝x，AD＝h，则BD＝a－x.
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得h2＝c2－(a－x)2 ，
…
[此考法吉林、西宁等地中考已考查]
第5题图
解：补全证明过如下：
在Rt△ACD中，根据勾股定理，h2＝b2－x2，
∴c2－(a－x)2＝b2－x2，
解得x＝ ，
∴h＝ ＝ ，
∴S△ABC＝ ah
＝ a
＝ .
第5题图
6. 如图是由两个全等的直角三角形(阴影部分)拼成的图形，其中直角三角
形的直角边长分别为a，b，斜边长为c，请你用等面积法验证勾股定理.
第6题图
证明：如解图，连接BD，过点B作BF⊥DE交DE
的延长线于点F，
易得BF＝CE＝a－b.
∵S四边形ABED＝S△ABE＋S△ADE＝ a2＋ ab，由全等
易得∠BAE＋∠EAD＝90°，
∴S四边形ABED＝S△ABD＋S△BDE＝ c2＋ b(a－b)，
∴ a2＋ ab＝ c2＋ b(a－b)，∴a2＋b2＝c2.
解图
7. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点
E，且AC2＝BE2－AE2.
(1)求证：∠A＝90°；
第7题图
(1)证明：如解图，连接CE.
∵点D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE＝CE.
∵AC2＝BE2－AE2，∴AC2＝CE2－AE2，
即AE2＋AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，且CE为斜边，
∴∠A＝90°；
解图
在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，且
AC2＝BE2－AE2.
(2)若DE＝6，BD＝8，求AE的长.
(2)解：在Rt△BDE中，DE＝6，BD＝8，由勾股定理，得BE＝
＝10，∴CE＝BE＝10.
设AE＝x，则AB2＝(10＋x)2，AC2＝CE2－AE2＝100－x2.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋AC2＝BC2，
∵BC＝2BD＝16，∴(10＋x)2＋(100－x2)＝162，
解得x＝ .∴AE的长为 .
第7题图
二、 勾股定理及其逆定理的应用
8. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长
为4 cm，则“車”“炮”两棋子所在格点之间的距离为(　D　)
A. cm B. 12 cm
C. 4 cm D. 4 cm
第8题图
D
9. 吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声.如图，吊车在工地点
C处作业，AB为附近的一条街道，已知点C与直线AB上两点A，B的
距离分别为180 m和240 m，AB＝300 m，若吊车周围150 m以内会受
到噪声影响.
(1)求∠ACB的度数；
第9题图
解：(1)∵AC＝180 m，BC＝240 m，AB＝300 m，
∴AC2＋BC2＝1802＋2402＝90 000，
而AB2＝3002＝90 000，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且AB为斜边，
∴∠ACB的度数为90°；
已知点C与直线AB上两点A，B的距离分别为180 m和240 m，AB＝
300 m，若吊车周围150 m以内会受到噪声影响.
(2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居
民的范围；如果不会受影响，请说明理由.
解：(2)街道上的居民会受到噪声的影响.
如解图，过点C作CD⊥AB于点D，
由(1)得∠ACB＝90°，
∴ AC·BC＝ AB·CD，
∴ ×180×240＝ ×300·CD，
第9题图
第9题解图
解得CD＝144，
∵吊车周围150 m以内会受到噪声的影响，
∴在点D左右两边分别取点E，F，使CE＝CF＝150 m，
则在EF范围内的居民会受噪声影响，
∵ED＝ ＝ ＝42(m)，
∴DF＝ED＝42 m，
∴噪声会影响位于吊车垂直位置左右42 m内街道上的居
民，即EF范围内的居民会受影响(说法合理即可).
第9题解图
Thanks!
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