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2026届中考数学二轮复习第六章圆：与圆有关的位置关系 强化训练
一、选择题
1.如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（ ）．

A. B. C. D.
2.已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（ ）
A.甲、乙都正确
B.甲、乙都不正确
C.甲正确，乙不正确
D.甲不正确，乙正确
3.已知⊙O的直径为6，圆心O到直线L的距离为5，则直线L与⊙O的位置关系是（　　）
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于(　　)
A. B.π C. D.
5.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于(　　)
A.27° B.32° C.36° D.54°
6.已知⊙O的半径为3 cm，点P到圆心O的距离OP＝2 cm，则点P(　　)
A.在⊙O外 B.在⊙O上 C.在⊙O内 D.无法确定
7.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的A，B两点，并使AB与车轮内圆相切于点D，已知O为车轮外圆和内圆的圆心，连接OD并延长交外圆于点C．测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则车轮的外圆半径是(　　)
A.10 cm B.30 cm C.50 cm D.60 cm
9.如图，若的半径为6，点到某条直线的距离为6，则这条直线可能是（　　）

A. B. C. D.
10.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O的相切，与AB的延长线相交于点C，若∠C＝26°，那么∠A为（　　）
A.26° B.27° C.32° D.37°
11.如图，⊙O为△ABC的外接圆，BD与⊙O相切于点B，连接CO并延长，交BD于点D．若∠D＝40°，则∠BAC的度数为(　　)
A.50° B.60° C.55° D.65°
12.如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为(　　)
A.2 B. C.4 D.2
13.如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
14.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连结PO并延长与⊙O相交于点C，D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为(　　)
A. B. C. D.
15.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，-3）.则经画图操作可知，△ABC的外接圆的圆心坐标是（　　）
A.（-2，-1） B.（-1，0） C.（-1，-1） D.（0，-1）
16.已知☉O的半径为5，且圆心O到直线l的距离是方程x2-4x-12=0的一个根，则直线l与圆的位置关系是（　　）
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
二、填空题
17.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 　 　．
18.如图，切线PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA，PB于点E，F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为　　．
19.如图，与分别相切于点，连接，若，则 ．
20.如图，切于点A、B，直线切⊙O于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是 ．
21.已知正六边形的边长为4，则它的内切圆的半径为　　．
22.初中生小明日常骑自行车上下学，某日小明沿地面一条直线骑行，自行车轮胎与这条直线的位置关系是_______．（填“相离”、“相交”或“相切”）
三、解答题
23.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．
24.如图，是☉O的直径，点C是☉O上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
（1）求证：是☉O的切线；
（2）若，求证：；
（3）若于D，，，求的长．
25.[等角代换]如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与☉A相切于点D，过点A作AC的垂线，交CB的延长线于点E，交☉A于点F，连结BF.
(1)求证:BF是☉A的切线.
(2)若BE＝5，AC＝20，求EF的长.
26.如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）当，时，求线段的长．
27.如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
28.如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．2026届中考数学二轮复习第六章圆：与圆有关的位置关系 强化训练（参考答案）
一、选择题
1.如图，为的切线，A为切点，交于点C，点B在上，连接，．若的度数为，则的度数是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，如图所示：

∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
2.已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（ ）
A.甲、乙都正确
B.甲、乙都不正确
C.甲正确，乙不正确
D.甲不正确，乙正确
【答案】A
【解析】
甲正确，
理由：如图1中，连接，
根据题意可得，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
乙正确，
理由：为直径，
，
，
是的切线，
故选：A．
3.已知⊙O的直径为6，圆心O到直线L的距离为5，则直线L与⊙O的位置关系是（　　）
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
【答案】C
【解析】∵⊙O的直径为6，
∴⊙O的半径为3，
∵圆心O到直线l的距离为5，3＜5，
即：d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离．
故选：C．
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于(　　)
A. B.π C. D.
【答案】A
【解析】连接OB，OC，如图所示，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴劣弧的长为．
5.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于(　　)
A.27° B.32° C.36° D.54°
【答案】A
【解析】∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝54°，
∴∠B＝∠AOP＝27°.
6.已知⊙O的半径为3 cm，点P到圆心O的距离OP＝2 cm，则点P(　　)
A.在⊙O外 B.在⊙O上 C.在⊙O内 D.无法确定
【答案】C
【解析】∵⊙O的半径为r＝3 cm，点P到圆心的距离OP＝d＝2 cm，
∴d＜r，
∴点P在圆内.
7.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，∴①正确；
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，∴②正确；
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴点A，B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，∴③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，点M为△AOP外接圆的圆心，
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，∴④错误．
8.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的A，B两点，并使AB与车轮内圆相切于点D，已知O为车轮外圆和内圆的圆心，连接OD并延长交外圆于点C．测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则车轮的外圆半径是(　　)
A.10 cm B.30 cm C.50 cm D.60 cm
【答案】C
【解析】如图，连接OA，
∵CD＝10 cm，AB＝60 cm，
∵AB与车轮内圆相切，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝30 cm，
∴设半径为r，则OD=OC﹣CD＝r﹣10，
在Rt△ADO中，根据勾股定理得r2＝(r﹣10)2+302，解得r＝50．
∴这个车轮的外圆半径长为50 cm．
故选：C．
9.如图，若的半径为6，点到某条直线的距离为6，则这条直线可能是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵的半径为6，点O到某条直线的距离为6，
∴这条直线与圆相切，
∴这条直线可能是；
故选：B．
10.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O的相切，与AB的延长线相交于点C，若∠C＝26°，那么∠A为（　　）
A.26° B.27° C.32° D.37°
【答案】C
【解析】连接OD，
∵CD与⊙O相切，
∴∠ODC＝90°，
∵∠C＝26°，
∴∠DOC＝64°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵∠DOC＝∠A+∠ODA，
∴，
故选：C．
11.如图，⊙O为△ABC的外接圆，BD与⊙O相切于点B，连接CO并延长，交BD于点D．若∠D＝40°，则∠BAC的度数为(　　)
A.50° B.60° C.55° D.65°
【答案】D
【解析】连接OB，如图，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣∠D＝90°﹣40°＝50°，
∵∠BOC＝180°﹣∠DOB＝180°﹣50°＝130°，
∴∠BAC＝∠BOC＝×130°＝65°．
12.如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为(　　)
A.2 B. C.4 D.2
【答案】A
【解析】连接AC，OE，OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝AB，
∴OE＝OF＝AB．
∵△EFG是等边三角形，点O是正三角形EFG的外接圆圆心，
∴OE＝OF＝×2×＝2，
∴AB＝2，
∴AB＝2．
即⊙O的内接正方形ABCD的边长为2．
13.如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：连接，，，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
则有，
又∵直线为的切线，
∴，
则，
又∵，
∴，
在中，，
又∵，
∴．
14.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连结PO并延长与⊙O相交于点C，D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 如答图，连结AO，BO.
答图
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PB＝PA＝8.
∵DC＝12，∴AO＝6，
∴OP＝＝10.
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)，
∴∠AOP＝∠BOP，∴＝，
∴∠ADC＝∠BDC.
又∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADB＝∠AOC，
∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝＝.
15.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，-3）.则经画图操作可知，△ABC的外接圆的圆心坐标是（　　）
A.（-2，-1） B.（-1，0） C.（-1，-1） D.（0，-1）
【答案】A
【解析】
如图，∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O'即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（-2，-1）.
16.已知☉O的半径为5，且圆心O到直线l的距离是方程x2-4x-12=0的一个根，则直线l与圆的位置关系是（　　）
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
【答案】C
【解析】
∵x2-4x-12=0，
∴（x+2）（x-6）=0，
解得x1=-2（不符合题意舍去），x2=6，
∵点O到直线l的距离是方程x2-4x-12=0的一个根，即为6，
∴点O到直线l的距离d=6，r=5，
∴d>r，
∴直线l与圆相离.
二、填空题
17.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 　 　．
【答案】5．
【解析】∵⊙O与A B，BC，CA分别相切于点D，E，F
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14，
∴2（BE+CE）＝10，
∴BC＝5．
故答案为：5．
18.如图，切线PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA，PB于点E，F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为　　．
【答案】3
【解析】∵EA，EC都是圆O的切线，∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，
∴PA＝3.
19.如图，与分别相切于点，连接，若，则 ．
【答案】65
【解析】 与分别相切于点，
，
，
，
故答案为：65．
20.如图，切于点A、B，直线切⊙O于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是 ．
【答案】16
【解析】∵切于点A、B，直线切⊙O于点E，
∴，
∴的周长；
故答案为：．
21.已知正六边形的边长为4，则它的内切圆的半径为　　．
【答案】2
【解析】如图，连接OA，OB，OG.
∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴OG＝OA sin 60°＝4×＝2，
∴边长为4的正六边形的内切圆的半径为2．
22.初中生小明日常骑自行车上下学，某日小明沿地面一条直线骑行，自行车轮胎与这条直线的位置关系是_______．（填“相离”、“相交”或“相切”）
【答案】相切．
【解析】：∵自行车轮胎是圆，
∴在骑行时，自行车轮胎与这条直线只有一个交点，
∴自行车轮胎与这条直线的位置关系是相切．
故答案为：相切．
三、解答题
23.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．
【答案】解：（1）∵EF是⊙O的切线，
∴DA⊥EF，
∵BC∥EF，
∴DA⊥BC，
∵DA是直径，
∴=，
∴AB＝AC．
（2）连接DB，
∵BG⊥AD，
∴∠BGD＝∠BGA＝90°，
∵∠ABG+∠DBG＝90°，∠DBG+∠BDG＝90°，
∴∠ABG＝∠BDG，
∴△ABG∽△BDG，
∴＝，
即BG2＝AG·DG，
∵BC＝16，BG＝GC，
∴BG＝8，
∴82＝16×AG，
解得AG＝4，
在Rt△ABG中，BG＝8，AG＝4，
∴AB＝4．
故答案为：4．
24.如图，是☉O的直径，点C是☉O上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
（1）求证：是☉O的切线；
（2）若，求证：；
（3）若于D，，，求的长．
【答案】解：（1）如图所示，连接，
∵是☉O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是☉O的切线.
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）设，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，
解得，（舍去），
故．
25.[等角代换]如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与☉A相切于点D，过点A作AC的垂线，交CB的延长线于点E，交☉A于点F，连结BF.
(1)求证:BF是☉A的切线.
(2)若BE＝5，AC＝20，求EF的长.
【答案】解:(1)如答图，连结AD.
∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC.
∵AE⊥AC，∴∠CAB＋∠EAB＝90°.
∵☉A切BC于点D，∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠BAD.
又∵AB＝AB，AF＝AD，
∴△ABF≌△ABD(SAS)，
∴∠AFB＝∠ADB＝90°，∴BF是☉A的切线.
(2)由(1)，得∠AFB＝90°＝∠FAC，
∴FB∥AC，
∴△BEF∽△CEA，∴.
又∵CB＝CA＝20，BE＝5，
∴，∴BF＝4，
∴EF＝＝3.
26.如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）当，时，求线段的长．
【答案】（1）方法一：
证明：过点作于点，
，
，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
方法二：
证明：过点作于点，
与相切于点，
，
，
是的平分线，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
（2），为半径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，，
，
，
设，则，
，
解得，
．
27.如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线与相切，理由，
如图，连接，，
∵直线与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切；
（2）解：由（）得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
28.如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵于点F，
∴,
∵
∴，
∵
∴，
∴，
即
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵为的直径，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
解得，
∵
∴
解得，
∴
∴，
∴

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