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2026届中考数学二轮复习第六章圆：圆的基本性质 强化训练
一、选择题
1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO，CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是(　　)
A.56° B.114° C.124° D.134°
2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，⊙O的半径等于5，OE＝3，则CD的长为（　　）
A.4 B.6 C.8 D.10
3.如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB＝AC，连接OB，记∠C＝α，∠CBO＝β，则α，β满足的关系式为(　　)
A.2β﹣α＝90° B.2β﹣α＝180° C.β+α＝90° D.2a﹣β＝90°
4.如图，点A、B、C、D在上，，则的长（ ）
A. B.4 C. D.2
5.如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，若∠DAB＝40°，则∠B的度数为(　　)
A.70° B.60° C.50° D.40°
7.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是(　　)
A.寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸
8.如图，AB为⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，CE∥AB，若∠ADE＝25°，则∠ABC的度数为（　　）
A.45° B.55° C.65° D.75°
9.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，用尺规按照下面步骤作图：
①作线段的垂直平分线；
②作线段的垂直平分线，交于点；
③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N．
嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心．
瑣瑣：若，则．
对于两人的结论，下列判断正确的是（ ）
A.两人的结论都正确
B.两人的结论都不正确
C.嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确
D.瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确
11.如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（　　）
A.30° B.45° C.50° D.55°
12.如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝100°，则∠AOC的度数为（　　）
A.80° B.140° C.150° D.160°
14.如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接OA，OB，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接CD，AD，若∠ADC＝30°，OC＝1，则AB的长为(　　)
A.1 B. C.2 D.4
15.如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为26cm，水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）
A.5cm B.7cm C.8cm D.10cm
16.如图，用直角曲尺检查制作成半圆形的工件，则合格的工件是(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
17.如图，是的直径，是的弦．若，，则_________．
18.如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是　 　．
19.如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．若点O到AB的距离为3，则圆O的半径为 　　．
20.如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，则∠BOD的度数为____°.
21.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝36°，则∠B的度数是 　 　°．
22.在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________．
三、解答题
23.如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，，则_______．
24.如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足．
（1）求证：平分；
（2）证明：；
（3）若射线与相切于点A，，，求值．
25.如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝ED．
26.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°.
(1)求∠BAD的度数．
(2)若AD＝，求BD的长．
27.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE.
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形.
28.如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求扇形的面积．2026届中考数学二轮复习第六章圆：圆的基本性质 强化训练（参考答案）
一、选择题
1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO，CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是(　　)
A.56° B.114° C.124° D.134°
【答案】C
【解析】∵∠AOC＝112°，
∴∠ADC＝∠AOC＝×112°＝56°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180﹣56°＝124°.
故选：C．
2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，⊙O的半径等于5，OE＝3，则CD的长为（　　）
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE＝DE，
∴OB⊥CD，∠CEO＝90°，
则，
∴CD＝2×4＝8．
故选：C．
3.如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB＝AC，连接OB，记∠C＝α，∠CBO＝β，则α，β满足的关系式为(　　)
A.2β﹣α＝90° B.2β﹣α＝180° C.β+α＝90° D.2a﹣β＝90°
【答案】D
【解析】∵AB＝AC，∠ACB＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠CAB＝180°﹣2α，
连接OC，OA，
∵O为等腰三角形ABC的外心，
∴OB＝OA＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝β，
∴∠ACO＝∠ABO＝α﹣β，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠ABO＝∠BAO＝α﹣β，
∴∠CAB＝2(α﹣β)＝180°﹣2α，
∴2a﹣β＝90°．
4.如图，点A、B、C、D在上，，则的长（ ）
A. B.4 C. D.2
【答案】A
【解析】连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选A．
5.如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答．
解：是圆的直径，
，
，
，
，
故选：C．
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，若∠DAB＝40°，则∠B的度数为(　　)
A.70° B.60° C.50° D.40°
【答案】A
【解析】如图，连接AC．
∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×40°＝20°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°．
故选：A．
7.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是(　　)
A.寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸
【答案】C
【解析】依题意得：BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝25寸，CD＝7寸，
由勾股定理得：BC＝．
∴BC的长为24寸．
故选：C．
8.如图，AB为⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，CE∥AB，若∠ADE＝25°，则∠ABC的度数为（　　）
A.45° B.55° C.65° D.75°
【答案】C
【解析】连接AC，
∵∠ADE＝25°，
∴∠ACE＝∠ADE＝25°，
∵CE∥AB，
∴∠CAB＝∠ACE＝25°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣25°＝65°．
故选：C．
9.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B.
10.如图，在中，用尺规按照下面步骤作图：
①作线段的垂直平分线；
②作线段的垂直平分线，交于点；
③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N．
嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心．
瑣瑣：若，则．
对于两人的结论，下列判断正确的是（ ）
A.两人的结论都正确
B.两人的结论都不正确
C.嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确
D.瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确
【答案】C
【解析】
点是和的垂直平分线的交点，
点是的外心，故嘉嘉的结论正确；
，
∴，不能说明，
和的长度不确定，故瑣瑣的结论不正确．
故选：C．
11.如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（　　）
A.30° B.45° C.50° D.55°
【答案】C
【解析】∵OA⊥BC，∠ADB＝25°，
∴，
∴∠AOC＝2∠ADB＝50°．
故选：C．
12.如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】B
【解析】
∵圆弧形桥拱的跨度，拱高，
∴点是的中点，且，
∴此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是，连接，设圆的半径是，
∴，
在中，
，，，，
∴，即，
解得：，
∴拱桥的半径为米．
故选：B．
13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝100°，则∠AOC的度数为（　　）
A.80° B.140° C.150° D.160°
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠B＝80°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠B＝160°，
故选：D．
14.如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接OA，OB，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接CD，AD，若∠ADC＝30°，OC＝1，则AB的长为(　　)
A.1 B. C.2 D.4
【答案】B
【解析】∵AB与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴＝tan 60°＝，
∵OA＝OC＝1，
∴AB＝OA＝×1＝.
15.如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为26cm，水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）
A.5cm B.7cm C.8cm D.10cm
【答案】C
【解析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BDAB＝12（cm），
∵⊙O的直径为26cm，
∴OB＝OC＝13（cm），
在Rt△OBD中，OD5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：C．
16.如图，用直角曲尺检查制作成半圆形的工件，则合格的工件是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有D选项正确，其他均不正确；
故选：D．
二、填空题
17.如图，是的直径，是的弦．若，，则_________．
【答案】
【解析】解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
18.如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是　 　．
【答案】4
【解析】∵点M是弧AC的中点，
∴OM⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
∴OM＝6.5，
∵点D是弦AC的中点，
∴OD＝BC＝2.5，OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴O、D、M三点共线，
∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．
19.如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．若点O到AB的距离为3，则圆O的半径为 　　．
【答案】5．
【解析】过点O作OH⊥AB，垂足为点H，连接OA，则OH＝3，
∵OH经过圆心O，
∴，
∴，
故答案为：5．
20.如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，则∠BOD的度数为____°.
【答案】144
【解析】∵∠DCE＝72°，
∴∠BCD＝180°－∠DCE＝108°.
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°－∠BCD＝72°，
∴∠BOD＝2∠A＝144°.
21.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝36°，则∠B的度数是 　 　°．
【答案】27
【解析】∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝36°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝54°，
∴∠B＝∠AOC＝27°.
22.在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________．
【答案】6
【解析】解：∵
∴直线过定点，
∵点，
∴，
又∵的半径为，
∴，
∴点P在内部，
根据垂径定理得：当直线与垂直时，为最小，如图所示：
则，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
即的最小值为6．
三、解答题
23.如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）若，，则_______．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（3）∵，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
由（2）知：四边形为菱形，
∴设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得；
∴．
24.如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足．
（1）求证：平分；
（2）证明：；
（3）若射线与相切于点A，，，求值．
【答案】（1）证明：∵为的直径，
∴，即，，
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）证明：连接，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵射线与相切于点A，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴设，则，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴，，
∴，，
∴．
25.如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝ED．
【答案】证明：连接AC，如图，
∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴EA＝EC．
∴AB﹣EA＝CD﹣EC．即EB＝ED．
26.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°.
(1)求∠BAD的度数．
(2)若AD＝，求BD的长．
【答案】解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
又∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝60°.
(2)在Rt△ADB中，BD＝AD·tan∠BAD＝×＝3.
27.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE.
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形.
【答案】
证明　（1）∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，
∴∠A与∠DCB互补，
∠DCE与∠DCB互补，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠AEB，
∴∠A=∠AEB.4分
（2）∵DC⊥OE，
OE为半径所在直线，
∴OE是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，
又DE=DC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠AEB=60°，
又∠A=∠AEB，
∴△ABE是等边三角形.
28.如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求扇形的面积．
【答案】（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．

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