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2026届中考数学二轮复习第四章图形的初步认识与三角形：等腰及直角三角形 强化训练
一、选择题
1.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（　　）
A.∠BEA B.∠DEB C.∠ECA D.∠ADO
2.如图，△ABC的周长为20，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝3，则△ABD的周长是（　　）
A.17 B.15 C.14 D.12
3.如图，四边形ABCD为正方形，点P为平面内一点，若点P和正方形每条边的两个端点都构成了等腰三角形，则符合要求的P点有　　个．
A.1 B.5 C.9 D.13
4.如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　）
A. 1 B. 5 C. 2 D.
5.[2021·安顺]如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B为圆心，b为半径作弧，两弧相交于点C，D.
②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．
则b的值可能为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.关于命题“等边三角形是锐角三角形”及其逆命题的真假，下列说法正确的是（ ）
A.都是真命题
B.都是假命题
C.原命题为真命题，逆命题为假命题
D.原命题为假命题，逆命题为真命题
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝70°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°）得到Rt△A1B1C，使得A1，B1，A三点共线，则α的度数为（　　）
A.110° B.120° C.130° D.140°
8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（　　）
A.60° B.65° C.75° D.80°
9.如图所示△ABC中，AD＝DE＝EA＝BD＝EC，则∠BAC的大小为（　　）
A.150° B.135° C.120° D.90°
10.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形的三条高交于一点
D.三角形三边的垂直平分线交于一点
11.若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另一个锐角等于（　　）
A.50° B.60° C.70° D.140°
12.如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A.5个 B.3个 C.2个 D.1个
14.如图，在△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若BE＝2，则AB的长为（　　）
A. B. C.3 D.4
15.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD=DE，连接BE，△BDE的面积为10，△ABC的面积是13，则的值为
A. B. C.3 D.2
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，I为△ABC的内心，延长CI交AB于点D，连接AI，BI．若BI＝4，BD=，则AB的长为(　　)
A. B. C.8 D.6
二、填空题
17.已知等腰△ABC的外心为点O，AO＝1，若其底边长是腰长的倍，则⊙O中劣弧的长为 　　．
18.如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°﹣α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正确的有　 　（填序号）．
19.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5 m，地面入口宽为1 m，则该门洞的半径为　 　m．
20.在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝　 　°时，△ABC是等腰三角形．
21.如图，某同学准备用一根内半径为5 cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8 cm，则槽的深度CD为 　 　cm．
22.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD是高，若BD＝1，则CD＝　　．
三、解答题
23.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的长；
（2）求sin∠DAE的值．
24.[问题提出]如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
[初步尝试]如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
[问题联想]如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；
[问题再解]如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
(友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)
25.如图，在中，，D是的中点，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
26.如图，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上，且AC平分∠DAB，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接BD.
(1)求证：BD∥CP；
(2)若sin P＝，BP＝2，求BD的长．
27.用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）．
28.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形.2026届中考数学二轮复习第四章图形的初步认识与三角形：等腰及直角三角形 强化训练（参考答案）
一、选择题
1.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（　　）
A.∠BEA B.∠DEB C.∠ECA D.∠ADO
【答案】B
【解析】
由示意图可知△DOA和△DBE都是直角三角形，
∴∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°，
∴∠DEB=∠O.
2.如图，△ABC的周长为20，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝3，则△ABD的周长是（　　）
A.17 B.15 C.14 D.12
【答案】C
【解析】∵AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，
∴AE＝CE＝3，AD＝CD，
∴AC＝2AE＝6，
∵△ABC的周长AB+BC+AC＝20，
∴AB+BC＝14，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝14，
故选：C．
3.如图，四边形ABCD为正方形，点P为平面内一点，若点P和正方形每条边的两个端点都构成了等腰三角形，则符合要求的P点有　　个．
A.1 B.5 C.9 D.13
【答案】C
【解析】点P和正方形每条边的两个端点都构成了等腰三角形，符合的P点如图所示，
，
，
故选：C．
4.如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　）
A. 1 B. 5 C. 2 D.
【答案】D
【解析】解：∵矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
5.[2021·安顺]如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B为圆心，b为半径作弧，两弧相交于点C，D.
②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．
则b的值可能为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】易知b＞AB.
又∵AB＝6，∴b＞3，故选D.
6.关于命题“等边三角形是锐角三角形”及其逆命题的真假，下列说法正确的是（ ）
A.都是真命题
B.都是假命题
C.原命题为真命题，逆命题为假命题
D.原命题为假命题，逆命题为真命题
【答案】C
【解析】
根据等边三角形的性质可知等边三角形是锐角三角形是真命题．
“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，如：中，，该三角形是锐角三角形，但不是等边三角形．
故选C．
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝70°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°）得到Rt△A1B1C，使得A1，B1，A三点共线，则α的度数为（　　）
A.110° B.120° C.130° D.140°
【答案】D
【解析】∵∠ACB＝90°，∠B＝70°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝20°，
由旋转得∠BAC＝∠B1A1C＝20°，AC＝A1C，
∴∠CAA1＝∠B1A1C＝20°，
∴∠ACA1＝180°﹣∠CAA1﹣∠B1A1C＝140°，
∴α的度数为140°．
8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（　　）
A.60° B.65° C.75° D.80°
【答案】D
【解析】
∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°，
∴∠ODC=25°，
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°，
∴∠CDE=105°-∠ODC=80°.
9.如图所示△ABC中，AD＝DE＝EA＝BD＝EC，则∠BAC的大小为（　　）
A.150° B.135° C.120° D.90°
【答案】C
【解析】∵AD＝DE＝EA，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°，
∵DA＝DB，∠ADE是△ABD的一个外角，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∵EA＝EC，∠AED是△AEC的一个外角，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝∠DAB+∠DAE+∠EAC＝120°，
故选：C．
10.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形的三条高交于一点
D.三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【解析】由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
11.若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另一个锐角等于（　　）
A.50° B.60° C.70° D.140°
【答案】A
【解析】∵直角三角形的一个锐角等于40°，
∴它的另一个锐角的度数为：90°﹣40°＝50°，
故选：A．
12.如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，，
∴，
设，则：，
∵平分，，
∴点到的距离相等均为的长，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A.5个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝BC＝4，
∴AE＝＝3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：B．
14.如图，在△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若BE＝2，则AB的长为（　　）
A. B. C.3 D.4
【答案】B
【解析】∵DE垂直平分AB，
∴∠ADE＝90°，AB＝2AD，AE＝BE＝2，
∵∠A＝30°，
∴DE＝AE＝1，AD＝DE＝，
∴AB＝2AD＝2，
故选：B．
15.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD=DE，连接BE，△BDE的面积为10，△ABC的面积是13，则的值为
A. B. C.3 D.2
【答案】A
【解析】如图，过点D作DG⊥AC，交AC的延长线于G，DH⊥AB于H，
∵AD=DE，△BDE的面积为10，
∴，
∵△ABC的面积是13，
∴△ACD的面积是13-10=3，
∵AD是∠BAC的平分线，DH⊥AB，DG⊥AC，
∴DG=DH，
∴，
故选：A．
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，I为△ABC的内心，延长CI交AB于点D，连接AI，BI．若BI＝4，BD=，则AB的长为(　　)
A. B. C.8 D.6
【答案】A
【解析】∵I为△ABC的内心，
∴CI平分∠ACB，BI平分∠ABC，
∴∠ICB+∠IBC=(∠ACB+∠ABC)=90°-∠CAB=45°，
∴∠BID＝∠ICB+∠IBC＝45°，
∵AI平分∠CAB，
∴∠IAB＝45°，
又∵∠IBD＝∠ABI，
∴△BID∽△BAI，
∴，
即，
解得AB=．
二、填空题
17.已知等腰△ABC的外心为点O，AO＝1，若其底边长是腰长的倍，则⊙O中劣弧的长为 　　．
【答案】或
【解析】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为，
当AB为腰时，此时AB＝AC＝x，BC＝，如图，
∵O为等腰△ABC的外心，∴OA⊥BC，
∴∠AEB＝90°，BE＝＝，
在Rt△ABE中，sin∠BAE＝＝＝，
∴∠BAE＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴⊙O中劣弧的长为＝；
当AB为底边长时，如图，由上述可得∠ACO＝60°，∠ACB＝2∠ACO＝120°，
在⊙O取一点P，连接AP，BP，∵四边形APBC是⊙O内接四边形，
则∠APB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AOB＝2∠APB＝2×60°＝120°，
∴⊙O中劣弧的长为＝．
18.如图，点P是∠AOB内一点，OP＝m，∠AOB＝α，点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，连接QT，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①∠OTQ＝90°﹣α；②当α＝30°时，△PMN的周长为m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正确的有　 　（填序号）．
【答案】①②④
【解析】∵点P关于直线OA的对称点为点Q，关于直线OB的对称点为点T，
∴OQ＝OP，OT＝OP，∠QOM＝∠POM，∠PON＝∠TON，PM＝QM，PN＝TN，
∴OQ＝OT，
∴∠OTQ＝∠OQT，
∵∠AOB＝α，
∴∠QOM+∠TON＝∠POM+∠PON＝∠AOB＝α，即∠QOT＝2α，
∴∠OTQ＝∠OQT＝（180°﹣∠QOT）＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，故①正确；
∵PM＝QM，PN＝TN，
∴△PMN的周长＝MN+PN+PM＝TN+MN+QM＝QT，
∵α＝30°，
∴∠QOT＝2α＝60°，
∵OQ＝OT，
∴△QOT是等边三角形，
∵OQ＝OP＝m，
∴QT＝m，
∴△PMN的周长是m，故②正确；
当a等于90度时，Q、P、T三点共线，此时QT＝m，故③错误；
在△QOM和△POM中，
∴△QOM≌△POM（SAS），
∴∠MPO＝∠OQM，
同理∠NPO＝∠OTN，
∵∠QOT＝2α，∠OQM＝∠OTN，
∴∠MPN＝∠MPO+∠NPO＝∠OQM+∠OTN＝180°﹣∠QOT＝180°﹣2α，故④正确．
故答案为：①②④．
19.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5 m，地面入口宽为1 m，则该门洞的半径为　 　m．
【答案】1.3
【解析】设圆的半径为r m，
由题意可知，DF＝CD=0.5 m，EF＝2.5 m，
则OF=(2.5-r) m，
在Rt△OFD中，OD2＝OF2+DF2，
即r2=(2.5-r)2+0.52，
解得r＝1.3．
20.在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝　 　°时，△ABC是等腰三角形．
【答案】40．
【解析】∵△ABC是等腰三角形，∠A＝100°，
∴∠B40°．
故答案为：40．
21.如图，某同学准备用一根内半径为5 cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB为8 cm，则槽的深度CD为 　 　cm．
【答案】2
【解析】由题意可知，OA＝5 cm，OC⊥AB，则AD=DB= cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得OD＝＝3(cm)，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2(cm)．
22.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD是高，若BD＝1，则CD＝　　．
【答案】3
【解析】如图，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD是高，
∴∠BAD＝∠C＝30°，
∴在直角△ABD中，AB＝2BD＝2，
∴在直角△ABC中，BC＝2AB＝4，则CD＝BC＝BD＝3．
故填：3．
三、解答题
23.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的长；
（2）求sin∠DAE的值．
【答案】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴BD8.
∵tan∠ACB＝1，
∴CD＝AD＝6，
∴BC＝BD+CD＝8+6＝14.
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE7，
∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1，
∵AD⊥BC，
∴，
∴sin∠DAE．
24.[问题提出]如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
[初步尝试]如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
[问题联想]如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；
[问题再解]如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
(友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)
【答案】解：[初步尝试]如图1，直线OP即为所求.
[问题联想]如图2，三角形MNP即为所求.
[问题再解]如图3中，即为所求．
25.如图，在中，，D是的中点，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
【答案】解：（1）证明：∵，D是BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）由（1）可知四边形矩形．
∴，，，
∵D是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
26.如图，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上，且AC平分∠DAB，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接BD.
(1)求证：BD∥CP；
(2)若sin P＝，BP＝2，求BD的长．
【答案】(1)证明　连接OC，如图，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠COP＋∠P＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＋∠DBA＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAB＝2∠BAC，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠DAB＝∠BOC，
∴∠DBA＝∠P，
∴BD∥CP.
(2)解　由(1)得∠OCP＝90°，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，
∵sin P＝，BP＝2，
∴＝＝，
解得r＝3，
∴AB＝6，
由(1)得∠DBA＝∠P，
∴sin∠DBA＝sin P＝，
∵∠ADB＝90°，
∴AD＝AB·sin∠DBA＝6×＝，
∴BD＝＝.
27.用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）．
【答案】
解：由题意知，是底角为的等腰直角三角形，是带角的直角三角形，
∴，，，
∵，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴
，
即四边形的面积为．
28.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形.
【答案】
证明　∵∠ABE=∠ACD，
∴∠DBF=∠ECF，
在△BDF和△CEF中，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BF=CF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形.

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