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2026届中考数学二轮复习重难题型：二次函数综合题 强化训练（参考答案）
一、选择题
1.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法错误的是（ ）
A.
B.函数的最小值是
C.当时，随的增大而增大
D.和3是方程的两个根
【答案】C
【解析】观察二次函数图象，发现：
开口向上，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
二次函数的图象与轴的一个交点为，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点为；
A、∵二次函数的图象与轴的交点在原点下方，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，抛物线的顶点坐标为，
∴函数的最小值是，故本选项不符合题意；
C、∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减少，故本选项符合题意；
D、∵二次函数的图象与轴的交点为和，
∴和3是方程的两个根，故本选项不符合题意；
故选：C．
2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴交点坐标是(0，m)且20；③A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解析】根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则-=1，
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)，即c=m，
∵20，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=-3时，y=9a-3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)，(4，0)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
∴2×<-8a×<3×，即<-9a<，
当x=1时，y取得最大值，最大值为a+b+c=a-2a-8a=-9a，
∴y最大值=-9a，
∴∵ax2+(b-1)x+c-2=0，b=-2a，c=-8a，
即ax2+(-2a-1)x-8a-2=0，
∵Δ=(-2a-1)2+4a(8a+2)=36a2+12a+1，
对称轴为直线a=-=-，当a<-时，Δ的值随a的增大而减小，
又∵2<-8a<3，
∴-∴当a=-时，Δ=36×+12×+1=>0，
∴当-0恒成立，即ax2+(b-1)x+c-2=0必有两个不相等实根，故④正确；
∵若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y=ax2+bx+c上，且n∴2n+1∵y1∴<1，>1，<1，
即>1，n+1<1，
解得n>-且n<0，
∴-故正确的有①③④，共3个.
3.已知二次函数y=x2＋bx＋c，当m≤x≤m＋1时，此函数最大值与最小值的差(　　)
A.与m，b，c的值都有关 B.与m，b，c的值都无关 C.与m，b的值都有关，与c的值无关 D.与b的值有关，与m，c的值都无关
【答案】C
【解析】 ∵y=x2＋bx＋c=＋c，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=－，函数最小值为－＋c.
将x=m代入y=x2＋bx＋c，得y=m2＋bm＋c，
将x=m＋1代入y=x2＋bx＋c，得y=(m＋1)2＋b(m＋1)＋c.
分三种情况讨论：
①当m＋1≤－时，x=m时，y取最大值，x=m＋1时，y取最小值，
∴最大值与最小值的差为－2m－1－b.
②当m≥－时，x=m＋1时，y取最大值，x=m时，y取最小值，
∴最大值与最小值的差为2m＋1＋b.
③当m＜－，m＋1＞－时，易得函数最大值与最小值的差为m2＋bm＋或(m＋1)2＋b(m＋1)＋.
综上所述，此函数最大值与最小值的差与m，b的值都有关，与c的值无关.
二、填空题
4.如图所示，已知，点P是线段上的动点，以为边作正六边形，以为底作等腰三角形，连接，，则的面积的最大值是 ．
【答案】
【解析】连接，作于M，如图，
∵六边形是正六边形，
∴，，，正六边形的每一个内角为，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴就是的边的高，
设则，
∵在等腰中，，
∴，
∴，
∴的面积的最大值为：．
故答案为：．
5.如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线，交抛物线于E，F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为____.
【答案】－2＋2
【解析】把点A(2，4)的坐标代入y＝ax2，得4＝4a，
解得a＝1，∴y＝x2.
设点C的横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E的坐标为(m，4－2m)，
∴m2＝4－2m，
解得m1＝－1－(不合题意，舍去)，m2＝－1＋，
∴CD＝2m＝－2＋2.
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，O是AB的中点，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动．
（1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 　　cm．
（2）当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是 　 　cm．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，
∴BC6cm，
由题意可知CQ＝8﹣2＝6（cm），CP＝2cm，
∴PQ2（cm）．
∴点P，Q之间的距离是2cm；
故答案为：2；
（2）设经过xs时，△OPQ的面积最小，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，
∵O是AB的中点，
∴O到AC的距离为cm，O到BC的距离为4cm，
∵S△OPQ＝S△ABC﹣S△AOQ﹣S△BOP﹣S△PCQ
2x 3
＝24﹣3x﹣12+2x﹣4x+x2
＝x2﹣5x+12
＝（x）2，
∴当x时，△OPQ的面积最小，此时CQ＝8﹣2x＝3cm，CPcm，
∴PQ（cm）．
∴当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是cm．
故答案为：．
三、解答题
7.如图，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)当时，求的最大值与最小值的差．
【答案】解：（1）将代入解析式得：，
∴，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）∵，其中，
∴图像开口向下，当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小；
当时，的最大值，的最小值，
∴的最大值与最小值的差为9．
8.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）求出点A点、点D的坐标及抛物线的解析式；
（2）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，即2，
解得：b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点，
∴将B点代入抛物线解析式得：9﹣12+c＝0，
解得：c＝3，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3，令y＝0，x2﹣4x+3＝0，
∴x＝3或x＝1，
∴A（1，0），
∵D是抛物线的顶点，
∴D（2，﹣1），
故答案为：（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；
（2）存在，理由如下：
A（1，0），C（0，3），
∴，
设AC的中点为E，则，设P（2，t），
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
∴t＝2或t＝1，
∴P（2，2）或P（2，1），
∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）．
9.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点A(－1，0)和点B，与y轴相交于点C(0，－4)，其顶点为D.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标.
(2)在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小 若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.
【答案】解:(1)把点A(－1，0)，C(0，－4)代入y＝x2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4.
∵y＝x2－3x－4＝，
∴抛物线顶点D的坐标为.
(2)存在.如答图，作点D关于y轴的对称点D'，连结BD'交y轴于点M.
易知△BDM的周长最小，只需DM＋BM最小.
∵DM＝D'M，∴DM＋BM＝D'M＋BM，
∴点B，M，D'共线时，DM＋BM最小，最小值为BD'的长，此时△BDM的周长也最小.
在y＝x2－3x－4中，令y＝0，得0＝x2－3x－4，
解得x1＝4，x2＝－1，∴点B(4，0).
由点B(4，0)，D'得直线BD'表达式为y＝x－，
令x＝0，得y＝－，
∴M的坐标为.
10.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为，C点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
(3)图2中，点C和点关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且，求M点的横坐标．
【答案】
解：（1）抛物线过两点，
∴，解得：，
∴函数解析式为：；
（2）存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与相似，
当时，以C，D，E为顶点的三角形与相似，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
解，得：（不符合题意，舍去），，
∴，
∴，
设过，的解析式为，
则，解得：，
∴直线BD的解析式为：；
（3）连接，作交于，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
当，如图：

由点的坐标得，直线解析式为：，
解方程，
解得：或3（舍去），
∴M的横坐标为；
当，如图：

同理可得，直线解析式为：，
解方程，
解得：（舍去）或，
∴M的横坐标为，
综上所述：的横坐标为或．
11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得△BDE和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标．
【答案】解：（1）令，则，则；令，则，
∴，，
把，代入，得
解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为 .
（2）存在点，使得△BDE和相似．
设点，则，，
∴，，，
∵△BDE和相似，，
∴或，
如图1，当时，，
∴，
∴点纵坐标为6，
∴，解得(舍去)或，
∴；
如图2，当时，，
过点B作于点H，
∴，H(t，6)，
∴BH=t，DH=，
∴，
∴，
∴，解得（舍去）或，
综上所述，点的坐标为
（3）如图3，∵四边形菱形，
∴，，，
设点，，，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，即或，
∵，，
∴，，
∴，
过点作GK⊥DC于点，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（不符合题意，舍去）或，
故，
∴点的横坐标为.
12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线与轴交于，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
∴.
（2）如图，延长交轴于点，过点作轴于点，
∵当时，
解得：，，
∴，,
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设直线的表达式为（m≠0），
∴，解得：，
∴，
设，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为；
此时.
（3）∵，将抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为： ，，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于点，
∵，
同理可得：直线的表达式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于点，
同理可得：，
设，则，
同理可得：，
∴或（舍去），
∴．
13.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动秒，抛物线经过点O和点P．已知矩形的三个顶点为．
(1)求c，b（可用含t的代数式表示）；
(2)当时，抛物线与线段交于点M．在点P的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值；
(3)在矩形的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，得，
再把代入，得，
∵，
∴；
（2）解：不变．
∵抛物线的解析式为：，且M的横坐标为1，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；
②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：
则有，
即，
，，
解得；
③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；
④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；
⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；
综上所述，t的取值范围是：．2026届中考数学二轮复习重难题型：二次函数综合题 强化训练
一、选择题
1.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法错误的是（ ）
A.
B.函数的最小值是
C.当时，随的增大而增大
D.和3是方程的两个根
2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴交点坐标是(0，m)且20；③A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.已知二次函数y=x2＋bx＋c，当m≤x≤m＋1时，此函数最大值与最小值的差(　　)
A.与m，b，c的值都有关 B.与m，b，c的值都无关 C.与m，b的值都有关，与c的值无关 D.与b的值有关，与m，c的值都无关
二、填空题
4.如图所示，已知，点P是线段上的动点，以为边作正六边形，以为底作等腰三角形，连接，，则的面积的最大值是 ．
5.如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线，交抛物线于E，F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为____.
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，O是AB的中点，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动．
（1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 　　cm．
（2）当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是 　 　cm．
三、解答题
7.如图，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)当时，求的最大值与最小值的差．
8.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）求出点A点、点D的坐标及抛物线的解析式；
（2）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点A(－1，0)和点B，与y轴相交于点C(0，－4)，其顶点为D.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标.
(2)在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小 若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.
10.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为，C点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
(3)图2中，点C和点关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且，求M点的横坐标．
11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点，使得△BDE和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标．
12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
13.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动秒，抛物线经过点O和点P．已知矩形的三个顶点为．
(1)求c，b（可用含t的代数式表示）；
(2)当时，抛物线与线段交于点M．在点P的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值；
(3)在矩形的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

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