资源简介

2026届中考数学二轮复习重难题型：几何变换问题 强化训练
一、选择题
1.如图，在矩形ABCD中，BC＝5cm，AB＝12cm，点P从C点出发沿对角线AC以1cm/s的速度向点A做匀速运动，点Q从A点出发沿AB以2cm/s的速度向点B做匀速运动，若假设运动时间为t，则当∠QPB＝2∠CBP时，t的值为（　　）
A.2s B. C.s D.
2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝20，折叠纸片，使点A落在边BC上的A′处，折痕为PQ，当点A′在边BC上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若点P，Q分别在边AB，AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为(　　)
A.8 B.10 C.12 D.16
3.如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　）
A.a B.a C. D.
4.如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为(　　)
A.(4，2) B.(4，4) C.(4，2) D.(4，5)
5.如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（　　）
A.（3，0） B. C. D.
6.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E，F两动点分别在线段AD、线段AB上运动，若∠BAC=40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为(　　)
A.90° B.60° C.50° D.40°
7.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连结DM，MN，ND.设点M运动的路程为x(0≤x≤4)，△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是(　　)
A. B. C. D.
8.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，点F是AD边上的动点，点E是AB边上一点，若AE=2，则线段EF+CF的最小值为（　　）
A.1 B.2 C.2 D.2
9.将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC，∠BAC=30°)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=4，P，Q分别是AC，BC上的动点，连结DP，PB，DQ，当四边形DPBQ为平行四边形时， DPBQ的面积是(　　)
A.3 B.6 C. D.9
10.如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=4，点M，N分别为OA，OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（　　）
A.2 B.4 C.2 D.4
11.如图，矩形中，，，动点P从点A出发向终点D运动，连接，并过点C作，垂足为H．有下列说法：
① 的最小值为；
② 在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积；
③ 在运动过程中，点H的运动路径的长为．
其中正确的有（ ）
A.①② B.①③ C.①②③ D.②③
12.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E是高AD上任意一点，点F是边AB上任意一点，AB=5，BD=3，AD=4，则BE+EF的最小值是（　　）
A.3 B.5 C. D.
如图，是等腰的角平分线，，，过点B作，且，连接交于点F，交于点P，点M是线段上的动点，点N是线段上的动点，连接，下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A.13.2个 B.3个 C.4个 D.5个
14.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为（　　）
A.4 B.5 C.3 D.2+
如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t(s)，下列结论中，正确的是(　　)
A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形
B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形
C.当CD＝PM时，t＝4 s
D.15.当CD＝PM时，t＝4 s或6 s
16.如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ）
A.①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
二、填空题
17.如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______．
18.如图，已知，，，，点D为的中点，点E为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，当时， ．
19.如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______．
20.如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE=15°，连接CE并延长至点F，连接BF，使BF=BC，CF与AB相交于点H.有下列结论：①AE=CE；②BE+AE=EF；③=2-1；④点M是BC边上一动点，连接HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，连接BP交HM于点Q，连接DQ，则DQ的最小值为.其中正确的结论有　　　　.(填序号)
21.如图，已知∠AOB＝50°，P为∠AOB内部一点，M，N分别为射线OA，OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝　　°.
22.如图，AE⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，点P为线段AB上任意一点，若AE=2，DB=4，AB=8，则PE+PD的最小值是　　　　　.
23.如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，点N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.点P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为　　　　.
24.如图，AB＝10，C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB的延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长为____.
25.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P是线段BC上一动点，M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为____．
三、解答题
26.如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒个单位长度．
(1)当时， ， ；（请直接写出答案）
(2)当 时，是直角三角形；（请直接写出答案）
(3)求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．
27.如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
（1）求证：与相切．
（2）若正方形的边长为，求的半径．
（3）如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
28.已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC＝40°，∠C＝65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连结AE．
（1）当∠E＝65°时，请说明AE∥BC．
（2）如图2，当DE在AC上方时，且∠E＝2∠BAE﹣29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
（3）在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E的度数．
29.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，D是射线AB上的一动点，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
（1）如图1，△CDE是 　 　三角形．
（2）如图2，猜想BC，BD，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）在点D移动过程中．当∠DEB＝30°时，求BD的长．
30.如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）的长为_______．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
31.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3 cm，AD是△ABC的角平分线.动点P从点A出发，以 cm/s的速度沿折线AD－DB向终点B运动.过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧.设点P的运动时间为t(s)(t＞0)，△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S(cm2).
(1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状(不必证明)，并直接写出AQ的长(用含t的代数式表示).
(2)当点E与点C重合时，求t的值.
(3)求S关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围.
32.如图①，∠OAP＝60°，以∠OAP的顶点A为顶点作正△ABC，延长边BC与∠OAP的AP边交于E点，在AO边上截取一点D，使得AD＝AE，并连结BD．
（1）求证：BE＝AB+BD；
（2）①将正△ABC绕顶点A按顺时针旋转，使顶点B落在∠OAP内部，如图②，请确定BD，AB，BE之间的数量关系，并说明理由；
②将图②中的正△ABC绕顶点A继续按顺时针旋转，使顶点B落在射线OP下方，如图③，请确定BD，AB，BE之间的数量关系，不必说明理由；
（3）在（1）和（2）的条件下，若AC＝4，BD＝1，求BE的长．2026届中考数学二轮复习重难题型：几何变换问题 强化训练（参考答案）
一、选择题
1.如图，在矩形ABCD中，BC＝5cm，AB＝12cm，点P从C点出发沿对角线AC以1cm/s的速度向点A做匀速运动，点Q从A点出发沿AB以2cm/s的速度向点B做匀速运动，若假设运动时间为t，则当∠QPB＝2∠CBP时，t的值为（　　）
A.2s B. C.s D.
【答案】B
【解析】∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，
AC13cm，
过点P作PM⊥AB于点M，如图，
∴PM∥BC，
∴∠CBP＝∠BPM，
∵∠QPB＝2∠CBP，
∴∠CBP＝∠BPM＝∠QPM，
在△QPM与△BPM中，
，
∴△QPM≌△BPM（ASA），
∴QM＝BM，
BQ＝12﹣2t，QM＝BM，
∴AM＝6+t，AP＝13﹣t，
∵∠BAC＝∠BAC，∠PMA＝∠CBA＝90°，
∴△APM∽△ACB，
∴，
即，
∴t，
故选：B．
2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝20，折叠纸片，使点A落在边BC上的A′处，折痕为PQ，当点A′在边BC上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若点P，Q分别在边AB，AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为(　　)
A.8 B.10 C.12 D.16
【答案】A
【解析】 ∵在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝20，
∴BC＝AD＝20.
分两种情况讨论：
①当点P与点B重合时，
由折叠，得BA′＝BA＝12，
CA′＝BC－BA′＝8.
②当点Q与点D重合时，
由折叠，得A′D＝AD＝20，
由勾股定理，得CA′＝＝16，
∴点A′在BC边上可移动的最大距离为16－8＝8.
3.如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　）
A.a B.a C. D.
【答案】D
【解析】如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HBAB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH60°＝30°，CGAB2a＝a，
∴MGCGa，
∴HN，
故选：D．
4.如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为(　　)
A.(4，2) B.(4，4) C.(4，2) D.(4，5)
【答案】C
【解析】 由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，
∴点M的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度．
∵AB＝4，EC＝ED＝AB＝2，
∴BE＝＝＝2，
∴点M(4，2)．
5.如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（　　）
A.（3，0） B. C. D.
【答案】A
【解析】把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=中，
得y1=2，y2=1，
∴A（1，2），B（2，1），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得
|AP-BP|∴延长AB交x轴于点P'，当点P在点P'时，
PA-PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A，B的坐标代入得
解得k=-1，b=3，
∴直线AB的解析式是y=-x+3，
当y=0时，x=3，
即P（3，0）.
6.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E，F两动点分别在线段AD、线段AB上运动，若∠BAC=40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为(　　)
A.90° B.60° C.50° D.40°
【答案】D
【解析】如图，连接CE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD，∠ADC=∠ADB=90°，
又∵DE=DE，
∴△CDE≌△BDE(SAS)，
∴CE=BE，
∴BE+EF=CE+EF，
∴当C，E，F三点共线且CF⊥AB时，CE+EF最小，即此时BE+EF最小，
∵∠BAC=40°，
∴∠BAD=∠BAC=20°，
∴∠ABD=70°，
∴当BE+EF最小时，∠CF'B=90°，∠BCF'=20°，
同理可得CE'=BE'，则∠CBE'=∠BCE'=20°，
∴∠BE'F'=∠CBE'+∠BCE'=40°，
∴当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为40°.
7.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连结DM，MN，ND.设点M运动的路程为x(0≤x≤4)，△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 S＝S正方形ABCD－S△ADM－S△DCN－S△BMN
＝4×4－×4x－×4(4－x)－x(4－x)
＝x2－2x＋8
＝(x－2)2＋6.
故S与x之间的函数关系为二次函数，图象开口向上，x＝2时，函数有最小值6，故选A．
8.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，点F是AD边上的动点，点E是AB边上一点，若AE=2，则线段EF+CF的最小值为（　　）
A.1 B.2 C.2 D.2
【答案】D
【解析】如图，连接CE，点F是CE与AD的交点时，线段EF+CF的值最小，最小值为CE的长，
∵等边△ABC的边长为4，AE=2，
∴点E为边AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴在Rt△ACE中，
CE===2.
∴EF+CF的最小值为2.
9.将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC，∠BAC=30°)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=4，P，Q分别是AC，BC上的动点，连结DP，PB，DQ，当四边形DPBQ为平行四边形时， DPBQ的面积是(　　)
A.3 B.6 C. D.9
【答案】D
【解析】 在 DPBQ中，BC∥DP.
又∵∠ACB=90°，
∴∠DPA=∠ACB=90°.
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DCP=45°，
∴△DPC是等腰直角三角形，
∴DP=CP=AC.
∵AB=4，∠BAC=30°，
∴AC=AB=6，
∴PD=PC=3，
∴S DPBQ=DP·CP=3×3=9.
10.如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=4，点M，N分别为OA，OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（　　）
A.2 B.4 C.2 D.4
【答案】B
【解析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连接P1P2，
与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，
△PMN的最小周长为PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，即为线段P1P2的长，
连接OP1，OP2，则OP1=OP2=4，
又∵∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2=OP1=4，
即△MNP周长的最小值为4.
11.如图，矩形中，，，动点P从点A出发向终点D运动，连接，并过点C作，垂足为H．有下列说法：
① 的最小值为；
② 在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积；
③ 在运动过程中，点H的运动路径的长为．
其中正确的有（ ）
A.①② B.①③ C.①②③ D.②③
【答案】B
【解析】
取中点，连接，，，
∵矩形中，，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴点H在以为直径，为半径的圆上运动，
∵，
∴当A，H，在同一直线上时，最短，
此时，
即的最小值为，故①正确；
如图所示，当运动到时，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴点H的运动路线（轨迹）长为，故③正确；
在运动过程中，扫过的面积，
扫过的面积，
∴扫过的面积不等于扫过的面积，故②错误；
综上所述，正确①③，
故选：B．
12.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E是高AD上任意一点，点F是边AB上任意一点，AB=5，BD=3，AD=4，则BE+EF的最小值是（　　）
A.3 B.5 C. D.
【答案】D
【解析】连接CE，过点C作CF'⊥AB于点F'，交AD于点E'，
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD所在直线是等腰△ABC的对称轴，点B，点C关于直线AD对称，BD=CD，
∴BE=CE，
∴BE+EF=CE+EF≥CF'，
∴BE+EF的最小值为CF'的长，此时点E位于点E'处，点F位于点F'处，
∵AD是BC边上的高，CF'⊥AB，
∴S△ABC=BC·AD=AB·CF'，
∴CF'=，
∵BD=3，
∴BC=2BD=6，
又∵AB=5，AD=4，
∴CF'==.
如图，是等腰的角平分线，，，过点B作，且，连接交于点F，交于点P，点M是线段上的动点，点N是线段上的动点，连接，下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A.13.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】D
【解析】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，故①正确
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，故③正确；
③∵，
∴，
∴，故④正确；
如图所示，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当C、M、N三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴当时，，
∴的最小值为，
∴，故⑤正确；
∴正确的有①②③④⑤，
故选：D．
14.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为（　　）
A.4 B.5 C.3 D.2+
【答案】C
【解析】如图，作点G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于点E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2，DC=AB=4，
∵CH=EF=1，CH∥EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∵点G关于AB的对称点是G'，G为边AD的中点，
∴AB垂直平分GG'，
∴GE=G'E，AG=AG'=AD=1，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵DC=4，AD=2，
∴DG'=AD+AG'=2+1=3，
DH=DC-CH=4-1=3，
由勾股定理得HG'==3，
即GE+CF的最小值为3.
如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t(s)，下列结论中，正确的是(　　)
A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形
B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形
C.当CD＝PM时，t＝4 s
D.15.当CD＝PM时，t＝4 s或6 s
【答案】D
【解析】由题意，得DP＝t(cm)，BM＝t(cm)．
答图
又∵AD＝10 cm，BC＝8 cm，
∴AP＝(10－t)cm，CM＝(8－t)cm.
当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，即10－t＝t，解得t＝5，故A错误．
当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM，即t＝8－t，解得t＝4，故B错误．
当CD＝PM时，分两种情况讨论：
①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即8－t＝t，解得t＝4；
②四边形CDPM是等腰梯形，如答图，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，则∠MGP＝∠CHD＝90°.
又∵PM＝DC，GM＝HC，
∴Rt△MGP≌Rt△CHD(HL)，
∴GP＝HD，
∴AG＝AP＋GP＝10－t＋.
又易知AG＝BM＝t，
∴10－t＋＝t，解得t＝6.
综上所述，当CD＝PM时，t＝4 s或6 s，故C错误，D正确．故选D.
16.如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ）
A.①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
【答案】D
【解析】∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，AB＝AC＝4，
由勾股定理可得AC＝＝＝，
∴＝＝，
∵AD＝CE，
∴＝，
∴＝＝，
又∵∠ECA＝∠DAB＝45°，
∴△CAE∽△ABD，
∴＝＝，故①正确，
∵△CAE∽△ABD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝∠BAF+∠CAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣45°＝135°，
故②正确；
如图所示，
在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且，
∴，，
∵，
∴，
∴点在的上运动，
∴，
连接交于点，则，
∴当时，结合垂径定理，最小，
∵是半径不变，
∴此时GF最大，
则面积最大，
∴
，故③正确；
如图所示，当点在上时，CF最小，过点作OH⊥BC交的延长线于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值是，故④正确．
二、填空题
17.如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______．
【答案】或
【解析】解：如图所示，连接，交直线于点G，延长交于点H，
当点P在上方时，
∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵点C关于直线的对称点P，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
如图，当点P在下方时，
∵，
∴，
∵，
∴，，
由对称的性质得，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
综上，的长为或．
18.如图，已知，，，，点D为的中点，点E为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，当时， ．
【答案】5
【解析】根据画图如下：
沿折叠得到，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，，，，
，
点D为的中点，
，
故答案为：．
19.如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______．
【答案】
【解析】解：∵矩形，
∴，
∵翻折，
∴，
当点在矩形内部时，作，交于点，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，
∴点的运动路径长为：；
当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点，
同法可得：，，
∴，点在以为直径的上运动，连接，
当点运动到点时，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为，
∴点的运动路径总长为：；
20.如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE=15°，连接CE并延长至点F，连接BF，使BF=BC，CF与AB相交于点H.有下列结论：①AE=CE；②BE+AE=EF；③=2-1；④点M是BC边上一动点，连接HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，连接BP交HM于点Q，连接DQ，则DQ的最小值为.其中正确的结论有　　　　.(填序号)
【答案】①②④
【解析】∵四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD的对角线BD上的点，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△ADE△CDE(SAS)，
∴AE=CE，故①正确；
如图，在FC上取一点G，使得BG=BE，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ADE=45°，∠BAD=90°，AD=CD，
∵∠BAE=15°，
∴∠DAE=90°-15°=75°，
∴∠AED=180°-45°-75°=60°，
∵△ADE△CDE，
∴∠CED=∠AED=60°，∠DCE=∠DAE=75°，
∴∠HEB=∠CED=60°，∠BCE=∠BAE=15°，
∴△GEB是等边三角形，
∴∠EBG=60°，EG=BE，
又∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=15°，
∴∠FBC=180°-15°-15°=150°，
∵∠DBC=45°，
∴∠FBG=∠FBC-∠GBE-∠CBE=150°-60°-45°=45°=∠CBE，
∴△FBG△CBE(SAS)，
∴FG=CE，
∴EF=EG+FG=EC+BE=AE+BE，
即BE+AE=EF，故②正确；
如图，连接AC交BD于点O，则∠DAO=45°，过点A，B分别作FC的垂线，垂足分别为K，N，
∵AB=1，
∴AO=BO=AB=，AC=AB=，
∵∠DAE=75°，∠DAO=45°，
∴∠EAO=30°，
∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴EO=AO·tan∠EAO=×=，
∴BE=OB-OE=-，
∵∠BCE=15°，∠ACB=45°，
∴∠ACK=30°，
∴AK=AC=，
在Rt△BEN中，BN=BE·sin∠NEB=BE·sin 60°==，
∵AK⊥FC，BN⊥FC，
∴KA∥BN，
∴△AHK∽△BHN，
∴===+1，故③错误；
如图，
∵AB=AH+HB=1，AH=(+1)HB，
∴(+1)HB+HB=1，
即HB==2-，
∵点M是BC边上一动点，连接HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，
∴PQ⊥HM，
∴∠HQB=90°，
∴Q在以HB为直径的圆上运动，
取HB的中点T，连接TD，
∴当Q在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，
∴BT=HB=(2-)=1-，
∴AT=AB-BT=，
∴TD===，
∴DT-HB=-(2-)=，故④正确.
21.如图，已知∠AOB＝50°，P为∠AOB内部一点，M，N分别为射线OA，OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝　　°.
【答案】80
【解析】 如答图，连结OP，作点P关于OB的对称点E，连结EP，EO，EM，
则EM＝MP，∠OPM＝∠OEM，∠EOM＝∠MOP.
作点P关于OA的对称点F，连结NF，PF，OF，
则PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，∠PON＝∠NOF，
∴PM＋PN＋MN＝EM＋NF＋MN≥EF.
当E，M，N，F共线时，△PMN周长最小.
又∵∠EOF＝∠EOM＋∠MOP＋∠PON＋∠NOF，∠AOB＝∠MOP＋∠PON，
∴∠EOF＝2∠AOB.
又∵∠AOB＝50°，∴∠EOF＝100°.
在△EOF中，∠OEM＋∠OFN＋∠EOF＝180°，
∴∠OEM＋∠OFN＝180°－100°＝80°.
∵∠OPM＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN，
∴∠MPO＋∠OPN＝80°，
∴∠MPN＝∠MPO＋∠OPN＝80°，
∴当△PMN的周长最小时，∠MPN＝80°.
22.如图，AE⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，点P为线段AB上任意一点，若AE=2，DB=4，AB=8，则PE+PD的最小值是　　　　　.
【答案】10
【解析】过点D作DT⊥EA交EA的延长线于点T，连接DE.
∵AE⊥AB，DB⊥AB，
DT⊥ET，
∴∠B=∠T=∠BAT=90°，
∴四边形ABDT是矩形，
∴BD=AT=4，AB=DT=8，
∴ET=AE+AT=2+4=6，
∴DE===10，
∵PE+PD≥DE，
∴PE+PD≥10，
∴PE+PD的最小值为10.
23.如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，点N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.点P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为　　　　.
【答案】2
【解析】如图所示，以BD为对称轴作点N的对称点N'，连接MN'并延长交BD于点P，连接NP，
根据轴对称性质可知，
PN=PN'，
∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“=”，
∵正方形边长为8，
∴AC=AB=8，
∵点O为AC中点，
∴AO=OC=4，
∵点N为OA中点，
∴ON=2，
∴ON'=CN'=2，
∴AN'=6，
∵BM=6，
∴CM=AB-BM=8-6=2，
∴==，
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，
∵∠N'CM=45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴MN'=CM=2，
即PM-PN的最大值为2.
24.如图，AB＝10，C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB的延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长为____.
【答案】5或
【解析】分两种情况讨论：
①当点E在CD左侧时，如答图1.
∵CD⊥AC，CD＝AC，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝45°.
∵CE⊥DE，CE＝DE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠EDC＝45°，
∴A，D，E三点共线，
∴易得CE＝AE.
设BE＝x，则AE＝x＋10，
∴在Rt△BCE中，CE＝BE·tan∠QBE＝3x，
∴3x＝x＋10，解得x＝5，
即BE＝5；
答图1
答图2
②当点E在CD右侧时，如答图2，过点C作CF⊥AE于点F，过点D作DG⊥CF，交CF的延长线于点G，作DH⊥AE于点H.
∵CD⊥AC，又易得∠AFC＝∠CGD＝90°，
∴∠ACF＋∠DCG＝90°，∠CDG＋∠DCG＝90°，
∴∠ACF＝∠CDG.
又∵AC＝CD，∴△ACF≌△CDG(AAS)，
∴AF＝CG，CF＝DG.
同理可得△CEF≌△EDH，
∴EF＝DH，CF＝EH.
设BF＝y，则EH＝DG＝CF＝3y，CG＝AF＝10＋y，
∴FG＝CG－CF＝10－2y，EF＝EH＋FH＝EH＋DG＝6y.
∵FG＝DH＝EF，∴10－2y＝6y，解得y＝，
∴BE＝BF＋EF＝7y＝.
综上所述，BE的长为5或.
25.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P是线段BC上一动点，M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为____．
【答案】－2
答图
【解析】如答图，取AD的中点O，连结OB，OM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP＋∠DAM＝90°.
又∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM＋∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°.
又∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，
∴点M的运动轨迹是以点O为圆心，2为半径的半圆O.
∵OB＝＝＝，
∴BM≥OB－OM＝－2，
即BM的最小值为－2.
三、解答题
26.如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒个单位长度．
(1)当时， ， ；（请直接写出答案）
(2)当 时，是直角三角形；（请直接写出答案）
(3)求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．
【答案】（1）解：时，，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
∴；
故答案为：，；
（2）解：时，，
即，
解得，
∴在中，由勾股定理得：，
∴（秒）；
时，点和点重合，
∴（秒），
综上所述，或秒；
故答案为：或秒；
（3）解：时，如图，过点作于，
则，
∴，
∴（秒）；
时，，
∴（秒）；
时，如图，过点作于，
则同上理得：，
∴，
∴（秒），
综上所述，或或秒时，是等腰三角形．
27.如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
（1）求证：与相切．
（2）若正方形的边长为，求的半径．
（3）如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
【答案】解：（1）方法一：连接，过点作于点，
与相切于点，
．
四边形是正方形，是正方形的对角线，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
与相切．
方法二：连接，过点作于点，
与相切于点，，
，
四边形是正方形，
，
又，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
与相切．
（2）为正方形的对角线，
，
与相切于点，
，
由（1）可知，设，
在中，
，
，
，，
又正方形的边长为．
在中，
，
，
，
．
∴的半径为．
（3）方法一：连接，设，
，
，
，
．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
又，
．
．
方法二：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
28.已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC＝40°，∠C＝65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连结AE．
（1）当∠E＝65°时，请说明AE∥BC．
（2）如图2，当DE在AC上方时，且∠E＝2∠BAE﹣29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
（3）在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E的度数．
【答案】（1）证明：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴AC∥DE，
∴∠CAE＝∠E＝65°，
∴∠C＝∠DAE，
∴AE∥BC；
（2）解：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴DE∥AC，
∴∠BAC＝∠BDE＝40°，∠E＝∠EAC，
∴∠E+∠BAE＝40°，
∵∠E＝2∠BAE﹣29°，
∴∠BAE＝23°，∠E＝17°，
∴∠EAC＝17°；
（3）解：如图2，当AE⊥BC时，
∵∠BAC＝40°，∠C＝65°，
∴∠ABC＝75°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE＝15°，
∵∠BDE＝40°，
∴∠E＝25°；
如图3，当AE⊥AC时，
∵AC∥DE，
∴∠E＝∠CAE＝90°，
③如图4，当AE⊥AB时，
∵∠BAC＝40°，
∴∠CAE＝90°﹣∠BAC＝50°，
∵AC∥DE，
∴∠E＝∠CAE＝50°，
综上所述：∠E＝25°或50°或90°．
29.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，D是射线AB上的一动点，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
（1）如图1，△CDE是 　 　三角形．
（2）如图2，猜想BC，BD，BE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）在点D移动过程中．当∠DEB＝30°时，求BD的长．
【答案】解：（1）∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
故答案为等腰直角；
（2）BC+BD＝BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE＝AB+BDBC+BD；
（3）当D在B的左边时，如图1，当∠DEB＝30°时，
∴BEBD，
由（2）可知△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE＝AB﹣BDBC﹣BD；
∴BDBC﹣BD，
解得BD；
当D在B的右边时，如图2，当∠DEB＝30°时，
∴BEBD，
由（2）可得：BDBC+BD；
解得BD．
故BD的长为或．
30.如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）的长为_______．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
【答案】（1）解：当重合时，如下图：
，以为边作正方形，
是等腰直角三角形，
，
即，
解得：（负的舍去），
，
，
，
故答案为：7；
（2）解：当在线段上运动时，
，
当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图：
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
（3）解：当正方形的对称中心与点B重合时，
，
，
即，
解得：，
．
31.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3 cm，AD是△ABC的角平分线.动点P从点A出发，以 cm/s的速度沿折线AD－DB向终点B运动.过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧.设点P的运动时间为t(s)(t＞0)，△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S(cm2).
(1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状(不必证明)，并直接写出AQ的长(用含t的代数式表示).
(2)当点E与点C重合时，求t的值.
(3)求S关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围.
【答案】解:(1)如答图1，过点Q作QH⊥AD于点H.
∵PQ∥AB，∴∠BAD＝∠QPA.
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝∠QAP，∴∠QAP＝∠QPA，
∴QA＝QP，∴△APQ是等腰三角形.
又∵QH⊥AP，∴AH＝AP＝t.
又易知∠CAD＝30°，∴AQ＝＝t.
(2)如答图2，当点E，C重合时.
∵△PQE是等边三角形，∴QE＝QP.
由(1)得QA＝QP，
∴AE＝2AQ，即3＝2t，∴t＝.
(3)①如答图3，当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，过点P作PG⊥QE于点G.
∵∠PAQ＝30°，∴PG＝AP＝t.
∵△PQE是等边三角形，
∴QE＝PQ＝AQ＝t，∴S＝QE·PG＝t2.
由(2)知当点E，C重合时，t＝，
∴S＝t2.
②如答图4，当点P在AD上，点E在AC的延长线上时.
在Rt△FCE中，CE＝2t－3，∠E＝60°，
∴CF＝CE·tan 60°＝(2t－3)，
∴S△FCE＝(2t－3)·(2t－3)＝(2t－3)2，
∴S＝S△PQE－S△FCE＝t2－(2t－3)2＝－t2＋6t－.
③如答图5，当点P在DB上时，
易得CP＝CD＋DP＝(t－2)＝(t－1)，CQ＝t－1，
∴S＝CQ·CP＝(t－1)·(t－1)＝(t－1)2，(2＜t≤4).
综上所述，S＝
32.如图①，∠OAP＝60°，以∠OAP的顶点A为顶点作正△ABC，延长边BC与∠OAP的AP边交于E点，在AO边上截取一点D，使得AD＝AE，并连结BD．
（1）求证：BE＝AB+BD；
（2）①将正△ABC绕顶点A按顺时针旋转，使顶点B落在∠OAP内部，如图②，请确定BD，AB，BE之间的数量关系，并说明理由；
②将图②中的正△ABC绕顶点A继续按顺时针旋转，使顶点B落在射线OP下方，如图③，请确定BD，AB，BE之间的数量关系，不必说明理由；
（3）在（1）和（2）的条件下，若AC＝4，BD＝1，求BE的长．
【答案】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC，
又∵∠OAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BE＝BC+CE＝AB+BD，
即BE＝AB+BD．
（2）①BE＝AB﹣BD，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC，
又∵∠OAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°，∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝60°，
∴∠CAE＝∠DAB，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BE＝BC﹣CE＝AB﹣BD，
即BE＝AB﹣BD．
②BE＝BD﹣AB；理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC，
又∵∠OAP＝60°，
∴∠EAC＝∠BAE+∠BAC＝∠BAE+60°，∠DAB＝∠DAE+∠BAE＝60°+∠BAE，
∴∠CAE＝∠DAB，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BE＝CE﹣BC＝BD﹣AB，
即BE＝BD﹣AB．
（3）在（1）的条件下，BE＝AB+BD，
当AC＝4，BD＝1，
则BE＝AB+BD＝AC+BD＝5，
在（2）的条件下，BE＝AB﹣BD，
当AC＝4，BD＝1，
则BE＝AB﹣BD＝AC﹣BD＝3，
故BE的长为3或5．

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