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第四章《三角形》单元检测试卷2025-2026学年北师版七年级数学下册（解析版）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　 　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，通过判断较小两边之和与第三边的大小关系来确定能否组成三角形．
【详解】解：三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，
简便判断方法是看较小两边的和是否大于第三边，
A选项：，5不大于5，不能组成三角形，不符合题意；
B选项：，9不大于9，不能组成三角形，不符合题意；
C选项：，能组成三角形，符合题意；
D选项：，不能组成三角形，不符合题意；
故选：C．
如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　 　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【答案】C
【分析】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【详解】解：第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第②块，仅保留了原三角形的一部分边，所以这块不行；
第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去．
故选：C
3 . 如图，将一副三角板按如图的方式放置，图中等于（　 　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角板的构成及三角形的外角性质是解题关键．
根据三角板的每个角度及三角形的有关性质求解．
【详解】在中由三角形外角性质可得：
，
，，
，
故选：B．
4． 如图，在一个平分角的仪器中，，将点放在角的顶点，
和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是这个角的平分线．
其原理是通过判定，得到，
其中判定这两个三角形全等的依据是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质．直接根据判定即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴．
故选：D．
5.等腰三角形的两边长分别为5和3，则这个三角形的周长为（　 　）
A．11 B．11或13 C．13 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，等腰三角形有两边相等，需分两种情况讨论：腰为5底为3或腰为3底为5，并验证是否满足三角形三边关系，再计算周长．
【详解】解：∵等腰三角形两边长为5和3，
∴可能情况一：腰为5，底为3，
∵，，满足三边关系，
∴周长；
可能情况二：腰为3，底为5，
∵，，满足三边关系，
∴周长．
综上，周长为11或13．
故选B．
如图，点，，，在同一直线上，，，添加下列条件，
不能判定与全等的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理(、、、)逐项判断即可．
【详解】解：A、∵
∴，即，
∵，，
∴，故选项A不符合题意；
B、∵，，，
∴，故选项B不符合题意；
C、∵，，，，
∴不能证明，故选项C符合题意；
D、∵，，，
∴，故选项D不符合题意，
故选：C．
如图，要测量河两岸的两点，之间的距离，在AB的垂线BM上取两点，，
使得，再过点作BM的垂线DN，并在DN上找出点，
使，，在同一条直线上，这时测得，则河两岸的两点，之间的距离是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过证明三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质，将无法直接测量的长度转化为可测量的长度来求解．
【详解】因为，，所以．
又因为与是对顶角，根据对顶角相等，可得．
已知．
根据角边角（）全等判定定理，可推出．
由于全等三角形的对应边相等，且，因此．
已知，所以，故选B．
8．如图，，，点D在边上，，求证：．
下面是乱序的证明过程：
①∴， ②∴（）．③∴，
④在和中， ⑤∵．
其中正确的顺序为（　 　）
A．⑤①③④② B．⑤③①④② C．⑤①④②③ D．①⑤③④②
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定．
根据全等三角形的判定方法作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（）．
即正确的顺序为⑤③①④②．
故选：B．
要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案：
方案Ⅰ：①如图1，选定点O ；
②连接AO，并延长到点C，使OC＝OA，连接图1BO，并延长到点D，使OD＝OB；
③连接DC，测量DC的长度即可．
方案Ⅱ：①如图2，选定点O ；
②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF＝OB，OE＝OA；
③连接EF，测量EF的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　 　）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
【解答】解：方案Ⅰ：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD；
方案Ⅱ：在△AOB与△EOF中，
，
∴△AOB≌△EOF（SAS），
∴AB＝EF，
故选：D．
如图，在和中，与相交于点M，与相交于点D，
与相交于点N，．给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论是（　 　）
A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的几种判定方法是解题的关键；易证，则有，，从而可判断①③正确；由即可证明，从而可判断④正确；条件不足，无法判断②正确，最后即可确定答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
故①③正确．
又∵，，，
∴；
故④正确；
由于条件不足，无法证得，故②错误；
故正确的结论有：①③④；
故选：A．
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11 .如图，在中，是延长线上一点，，，则等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
12．学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，
求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据即可得到，则可以确定这个条件多余．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴可以去掉的一个已知条件，
故答案为：．
13．已知等腰三角形两边长分别为4和12，那么这个等腰三角形的第三边长为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识点，掌握分类讨论思想和运用三角形三边关系判定是否构成三角形成为解题的关键．
分腰长为4、腰长为12两种情况，分别确定第三边，然后再判定是否组成三角形即可解答．
【详解】解：若4是腰，则三边为4、4、12，但，不满足两边之和大于第三边，故不成立；
若12是腰，则三边为4、12、12，且，满足三角形三边关系，
故第三边为12．
故答案为12
如图，在中，、分别是、边上的高，、交于点O，
如果，那么 °．

【答案】50
【分析】根据，，求出，根据，求出．
【详解】解：∵为边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴．
故答案为：50．
如图，在与中，，
分别交、于点，交于点，则下列结论：
①；②；③；④，
其中正确的序号为： ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明得到，则可证明，进一步可证明，根据现有条件无法证明，据此可得答案．
【详解】解：在与中，
，
∴，
∴，故②正确，
∴，即，故①正确；
∵，
∴，故④正确；
根据现有条件无法证明，故③错误；
故答案为：①②④．
如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，
转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，
测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，
若，到的距离是 ．

【答案】/1米
【分析】作，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：作，垂足为F，．

∵，
∴
在中，；
又∵，
∴，
∴；
在和中，
，
∴；
∴，
∵∵
∴，
∵，
∴；
∴，
∴，
即到的距离是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．求下图中x的值．
【答案】x＝40°.
【分析】根据三角形的内角和定理可得方程x＋2x＋60°＝180°，解方程求得x的值即可.
【详解】根据三角形的内角和定理可得，
x＋2x＋60°＝180°，
解得x＝40°.
18．如图，在和中，与相交于点，，．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定，用进行判定，即可得证；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：在和中
，
()．
19.在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC；求：∠DAE的度数．
【答案】∠DAE=5°．
【详解】试题分析：根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠CAD的度数；在△AEC中，求出∠CAE的度数，从而可得∠DAE的度数．
试题解析：
∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=35°．
∵AE⊥BC于E，
∴∠CAE=90°﹣60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE=35°﹣30°=5°．
20．如图，点，，，在同一条直线上，，，．
求证：；
求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，关键是全等三角形判定定理的应用．
（1）先由平行线的性质得到，再利用即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，则由同位角相等，两直线平行即可得到．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
．
如图，，，和 相交于点O．
(1)求证： ；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰三角形
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，熟悉三角形全等的判定（SAS、AAS）是解题的关键．
（1）根据题意通过证明即可证明；
（2）先得到，再根据AAS证明即可判断是等腰三角形．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，
（2）是等腰三角形，理由如下，
由（1）知，
，，
，
在和中，
，
，
，
即是等腰三角形．
如图，为等腰直角三角形，为延长线上一点，点在边上，
且，连接、．
(1)求证：；
(2)和有何位置关系？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
（1）先根据等腰直角三角形的定义可得，，再根据定理即可得证；
（2）延长，与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再证出，则可得，由此即可得．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图，延长，与交于点，
由（1）已证：，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
23 . 如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，
（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是________；
（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是________；
（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．
【答案】（1）105°（2）120°（3）n°+90°.
【详解】试题分析：∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代换得到∠BOC+ ∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形的内角和定理即可得到结论.
试题解析：
（1）如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+ ∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=∠A+90°=105°；
（2）如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=∠A+90°=120°；
（3）∠BOC=n°+90°，
∵OB、OC是两条角平分线，
∴∠OBC=∠ABC, ∠OCB=∠ACB ，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=∠A+90°
=n°+90°.
24. 已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，
点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，当α＝60°时，
① 求证：AD＝BE；
② 请求出∠AEB的度数；
（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：
① ∠AEB的度数为 　 　；
② 若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长为　　 ．
【答案】（1）①见解析；②60°；（2）①90°；②4
【分析】（1）①由“SAS”可证△CDA≌△CEB，可得AD＝BE；②由全等三角形的性质可得∠CEB＝∠CDA＝120°，最后根据平角的性质求解即可；
（2）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC＝135°，可得结论；②由全等三角形的性质可得AD＝BE＝2，由外角的性质和等腰三角形的性质可求AD＝CD＝DF＝2，即可解得．
【详解】解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ABC和△DEC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACB﹣∠DCF＝∠DCE﹣∠DCF，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AD＝BE；
②∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB＝∠CDA＝180°﹣∠CDE＝120°，
∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°；
（2）①∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°＝∠CED，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，
故填：90°；
②∵△ACD≌△BCE，BE＝2，
∴BE＝AD＝2，
∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，
∴∠DCF＝∠AFC，
∴DC＝DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝4，
故填：4．
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第四章《三角形》单元检测试卷2025-2026学年北师版七年级数学下册
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　 　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　 　）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
3 . 如图，将一副三角板按如图的方式放置，图中等于（　 　）

A． B． C． D．
4． 如图，在一个平分角的仪器中，，将点放在角的顶点，
和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是这个角的平分线．
其原理是通过判定，得到，
其中判定这两个三角形全等的依据是（　 　）
A． B． C． D．
5. 等腰三角形的两边长分别为5和3，则这个三角形的周长为（　 　）
A．11 B．11或13 C．13 D．12
如图，点，，，在同一直线上，，，添加下列条件，
不能判定与全等的是（　 　）
A． B． C． D．
如图，要测量河两岸的两点，之间的距离，在AB的垂线BM上取两点，，
使得，再过点作BM的垂线DN，并在DN上找出点，
使，，在同一条直线上，这时测得，则河两岸的两点，之间的距离是（　 　）
A． B． C． D．
8． 如图，，，点D在边上，，求证：．
下面是乱序的证明过程：
①∴， ②∴（）．③∴，
④在和中， ⑤∵．
其中正确的顺序为（　 　）
A．⑤①③④② B．⑤③①④② C．⑤①④②③ D．①⑤③④②
要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案：
方案Ⅰ：①如图1，选定点O ；
②连接AO，并延长到点C，使OC＝OA，连接图1BO，并延长到点D，使OD＝OB；
③连接DC，测量DC的长度即可．
方案Ⅱ：①如图2，选定点O ；
②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF＝OB，OE＝OA；
③连接EF，测量EF的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　 　）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
如图，在和中，与相交于点M，与相交于点D，
与相交于点N，．给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论是（　 　）
A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11 .如图，在中，是延长线上一点，，，则等于 ．
12．学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，
求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是 ．
13．已知等腰三角形两边长分别为4和12，那么这个等腰三角形的第三边长为 ．
如图，在中，、分别是、边上的高，、交于点O，
如果，那么 °．

如图，在与中，，
分别交、于点，交于点，则下列结论：
①；②；③；④，
其中正确的序号为： ．
如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，
转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，
测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，
若，到的距离是 ．

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．求下图中x的值．
18．如图，在和中，与相交于点，，．求证：．
19.在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC；求：∠DAE的度数．
20．如图，点，，，在同一条直线上，，，．
求证：；
求证：．
如图，，，和 相交于点O．
求证： ；
判断 的形状，并说明理由．
如图，为等腰直角三角形，为延长线上一点，点在边上，
且，连接、．
求证：；
和有何位置关系？请说明理由．
23 . 如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，
（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是________；
（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是________；
（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．
24. 已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，
点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
如图1，当α＝60°时，
① 求证：AD＝BE；
② 请求出∠AEB的度数；
（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：
① ∠AEB的度数为 　 　；
② 若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长为　　 ．
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