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高三数学试卷
满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 不等式 的解集是
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，且 ，则 的最大值为
A. 7 B. 8 C. D.
4. 已知数列 是正项等比数列,且 ,则
A. 64 B. 256 C. 512 D. 1024
5. 若 ,则
A. 0 B. 1 C. 81 D. 729
6. 已知曲线上一点 的坐标可以表示为 ,若 ,且 ,则
A. B. C. D. 4
7. 已知 ,点 满足 ,记点 的轨迹为 . 直线 2 与轨迹 交于 两点,则
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
8. 已知函数 是奇函数， 是 的导函数 ，且 满足 ,则下列结论不正确的是
A. B. C. D.
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知 ，其中 ，则
A. 存在 ,使得 B. 存在 ,使得
C. 存在 ,使得 D. 存在 ,使得
10. 已知函数 在区间 上单调递减,当 取最大值时,则
A. 的最小正周期为 B.
C. 的图象关于 对称 D. 的图象关于点 对称
11. 已知抛物线 ,圆 ,直线 交 于点 为坐标原点,则
A. 的准线被圆 截得的弦长为
B. 若 ,则 不过圆 的圆心
C. 若 过 的焦点且与圆 相切,则直线 方程为
D. 若 过点 且与圆 相切,则线段 的长度为
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知随机变量 满足 ,正实数 满足 ,则 的最小值为_____.
13. 已知数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,且 ,数列 的前 项和为 ,则 _____.
14. 在正四棱柱 中, 是正四棱柱内(含表面)的一个动点,且 ,则点 的轨迹将四棱柱分成的两部分中,较小部分与较大部分的体积比为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间和极值.
16. (15分)在锐角 中，内角 的对边分别为 ， 的面积为
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
17. (15 分)某学校教研处给本校全体教师制定了两种教学方法进行课程教学，为了解两种教学方法的教学效果，教研处人员在学校全体学生中随机抽取 84 人进行了问卷调查并收集了他们的平时成绩(平时成绩分优和良两个等级). 其中 42 人接受方法一，42 人接受方法二. 经统计发现,接受方法一的人中有 30 人平时成绩是优,接受方法二的人中有 18 人平时成绩是优.
(1)以频率估计概率，现随机抽取接受方法一的学生 2 人，设其中平时成绩为优的人数为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)列出 列联表,并依据 的独立性检验,是否可以认为学生平时成绩与教学方法有关
(3)分别在接受教学方法一、二的学生中按平时成绩的优良比例进行分层抽样，各随机抽取 7 人，再从这 14 人中等可能依次抽取 2 人，求在第一次抽到的学生平时成绩为良的情况下，第二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良的概率.
附: .
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
18. (17 分) 如图,在四棱锥 中,已知底面 为直角梯形, ,平面 平面 .
(1)若 ， 分别为棱 ， 的中点，求证: 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为 16，点 在棱 (不含端点)上运动，当 为何值时，平面 与平面 所成二面角的余弦值为
19. (17分)已知椭圆 与抛物线 有公共焦点 ， 的离心率为 ,过点 且斜率存在的直线 与 交于 两点,与 交于 两点 在第一象限 为坐标原点.
(1)若直线 的斜率为 1，求 的面积；
(2)若 的外接圆与 交于点 在直线 的异侧).
(1)证明: 的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；
(ii)求四边形 的面积的取值范围.
参考答案
高三数学
一、选择题
1.D
,故 .
B
即为 ,即 ，故 ，故解集为
C
设 ,则 ,即点 的轨迹为以 为圆心,4 为半径的圆. 故 的最大值为 .
C
设数列 的公比为 ,所以 ,所以 ,由 ,得 ,即 ,解得 或 (舍去),所以 ,所以
C
法一: 令 ,则 ,所以原式左边为 ,
原式右边为 .
法二: 根据二项式定理, 得
,所以
所以 .
A
由题意得 ,因为 ,则 , 所以 ,即 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
解得 .
A
由 知,点 的轨迹 是以 为焦点的双曲线,
设轨迹 的方程为 ,因为 ,所以 ,故轨迹 的方程为 ,设 ,由 可得 ,则 则 .
D
由 ,则 ,又函数 是奇函数,则 ,因此可得 ,即函数 的周期为 2,由 ,则 ,所以 , 故 正确;
由函数 是奇函数,则 ,故 ,
又 是 的导函数,则 ,故 正确;
由 ,则 ,即 ,故 C 正确;
由 ,得 为 的对称轴,因此 在 左右附近的单调性发生改变,即 为 的极值点,故 ,而 ,由 ,得 ,则 为 的对称轴, 的值不一定为 0,故 不正确.
二、选择题
9.BC
对于 A 选项: 由 ,则 ,解得 且 ,无解,故不存在 ,使得 , 故 A 不正确;
对于 选项: 由 ,得 ,得 ,故存在 ,使得 , 故 正确;
对于 选项: 由 ,得 ,得 ,故存在 ,使得 ,故 正确;
对于 选项: 由 ,化简得 , 方程无解,故不存在 ,使得 ,故 错误.
因为 ,所以当 时, ,
因为 在区间 上单调递减，所以 ，则 ，即 ，
所以 ,所以 ，解得 ，则 的最大值为 ， 的最小正周期为 ，A
正确; 由 知 ,则 正确;
错误; 错误.
11.
由题意得抛物线 的准线方程为 ,被圆 截得的弦长为 ,故 A 正确;
设直线 的方程为 ,联立 得 , 所以 ,得 , 由 ,解得 或 ,
所以 方程为 或 ,所以 可能过圆 的圆心 ,故 错误;
对于 ,若 过 的焦点 ,设 的方程为 ,即 ,则圆心 到直线的距离为 ,得 ,得直线 方程为 ,即 ,故 正确;
对于 ,因为 ,得点 在圆 上,则 ,则直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ,即 ,与 联立得 ,得 ,得 ,故 错误.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.
因为随机变量 满足 , 由正态分布的对称性可得 ,即 ,所以正实数 满足 ,
故 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,故 的最小值为 .
因为 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 ,
所以 ,即 ,又 ,所以 是首项为 1,公差为 的等差数列.
得 ,所以 ,
所以 ,则 ,
两个等式作差可得
,故 . 则 .
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系, ，则 ，
由 ,则 ,设 ,由题意可知, ,
则 ,由 ,
则 ,即
,故 的轨迹为矩形,令 ,得 ,令 ,得 , 即矩形顶点为 ,如图所示,易得所形成的图形将四棱柱分成一个三棱柱 和一个四棱柱 ,三棱柱 的体积为 ，正四棱柱 的体积为 ，则 .
四、解答题
15. 解: (1) 由题意知 ,(2 分则 , (4 分)
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . (6 分)
(2) 的定义域为 ，由(1)知 ，
令 ,得 或 ;
令 ,得 或 , (8 分)
所以 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 和 . (10 分)
易知 的极大值为 ,极小值为 . (13 分)
16. 解:(1)由 ，得 ， (1 分)
所以 , (2 分)
由余弦定理 及 ，
得 , ( 5 分)
因为 ,所以 . (7 分)
(2)由(1)得 ，又因为 为锐角，所以 .
所以 ,则 .
因为 为锐角三角形,所以 ,即 . (9 分)
由正弦定理得 ,
令 ,
则 ,
因为 ，所以 .
因为 ,所以 . (11 分)
所以 , (13 分)
故 . (15 分)
17. 解:(1)依题意得，接受教学方法一且平时成绩是优的学生的概率为 ，
所以 , (2 分)
则 , (3 分)
所以 的分布列为
0 1 2
4 49 20 49 25 49
(4 分)
则 . (5 分)
(2)由题意知， 列联表如下:
接受教学方法 平时成绩 合计
良 优
方法一 12 30 42
方法二 24 18 42
合计 36 48 84
零假设 : 平时成绩与教学方法无关, (7 分)
经计算得 , (9 分)
所以依据 的独立性检验,我们推断 不成立,
即可以认为平时成绩与教学方法有关, 此推断犯错误的概率不超过 0.01 . (10 分)
(3)抽取的 14 人中，接受方法一且平时成绩为良的有 (人)，接受方法二且平时成绩为良的有 (人), (11 分)
记事件 表示“第一次抽到的学生平时成绩为良”,
事件 表示“第二次抽到的学生接受方法二且平时成绩为良”,
则 , (13 分)
所以 . (15 分)
18.(1)证明:取 的中点为 ，连接 ， ，因为 ， 分别为棱 ， 的中点，则 ， . 因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
因为 平面 ,所以平面 平面 ,又因为 平面 ,所以 平面 . (6 分)
(2)解:取 的中点为 ，连接 ， ，因为 ，所以 ， 又因为 平面 ,平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 ,即 为四棱锥 的高,得四棱锥体积为
,得 . (8 分)
又因为 为 中点,所以 ,
又因为 ,所以四边形 为矩形,所以 .
故以 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立空间
直角坐标系, 如图,
则 ,
所以 ,
又因为 在棱 上运动,所以存在 ,使 ,所以 又因为 ,所以 ,所以 ,又因为 , 设平面 的法向量 ,则 ,则 ,
取 ,则 ,得 ,所以 . (12 分)
因为 ,
设平面 的法向量 ,则 ,得 ,
所以 ,取 ,则 ,所以 . (14 分)
设平面 与平面 所成角为 ,则
(15 分)
故 ,所以 或 ,
又因为 ,所以 或 均符合题意,即 或 . (17 分)
19. 解 (1) 由抛物线 的焦点为 ,可得 ,由椭圆 的离心率为 ,得 , 得 ,则 ,则 ,所以椭圆 的方程为 . (2 分)
若直线 的斜率为 1,设直线 ,
联立 ，得 ，则 或 ，得 或 ，
则 ， (4 分)
由点 到直线 的距离为 ,
故 的面积为 . (5 分)
(2)(i)法一:设 ，
因为 四点共圆,设该圆的方程为 ,
联立 ,消去 ,得 , (7 分)
即 ,所以 即为关于 的方程 的 3 个根,
则 , (9 分)
因为 ,
由 的系数对应相等得, ,所以 的重心的纵坐标为 0 . (11 分)
法二: 设 ,则 ,
因为 四点共圆,所以当 在直线 异侧时, ,
即 :
,化简得 ,
所以 的重心的纵坐标为 0 . (11 分)
(ii) 记 的面积分别为 ,四边形 的面积为 ,由已知得直线 的斜率不为 0, 设直线 ,联立 ,消去 ,得 ,所以 ,
所以 , (13 分)
由 (i) 得, ,所以 ,即 ,
因为 ,点 到直线 的距离 ,
所以 ,
所以 ,
在第一象限,即 ,根据对称性,取 , (15 分)
依次连接 构成四边形 ,所以 ,即 ,
又因为 ,即 ,即 ,
所以 ,即 ,即 ,
所以 , (16 分)
设 ,则 ,
令 ,则 ,
因为 ,所以 ,所以 在区间 上单调递增,所以 ,
所以 的取值范围为 . (17 分)

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