资源简介

高三数学试题
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 若 ，则复数 在复平面上的对应点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知 ，则 在 上的投影向量为( )
A. B. C.
D.
4. 已知某圆锥的侧面展开图是半圆, 则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为 ( )
A. 9:32 B. 9:16 C. 3:16 D. 27:32
5. 已知 ,则 ( )
A. B. 3
C. D. 2
6. 已知函数 . 若函数 有 3 个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7. 内角 的对边分别为 ,满足 ,且 , 则( )
A. 为锐角
B. C. D.
8. 定义在 上的函数 满足: ,且 , 当 时， ，则 的最大值与最小值的差为( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对酌情给分, 有错项的得 0 分.
9. 一组递增数据 的平均数为 3,方差为 4,极差为 6,若 , 其中 ,则( )
A. 的极差为 12
B. 的方差为 16
C. 的第 80 百分位数为
D. 的平均数为 5
10. 在直四棱柱 中,底面 为正方形, 为底面 (含边界) 上的动点, 为 的中点, 的长总是等于点 到平面 的距离，则下列说法正确的是( )
A.
B. 直线 与 所成角的余弦值为
C. D. 四棱锥 体积的最小值为
11. 一条动直线 与圆 相切,并与圆 相交于点 ,点 为定直线 上动点，则( )
A. 存在直线 ，使得以 为直径的圆与 相切
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 一批产品的一等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次, 表示抽到的一等品件数,则 的方差 _____.
13. 已知 为双曲线 的左焦点， 是双曲线 的右顶点， 是双曲线 上一点，且 ， ，则双曲线 的离心率为_____.
14. 已知 ,对任意 在 上总有解,则实数 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.(本题满分 13 分)
近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义， 而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向. 某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示:
年份 2019 2020 2021 2022 2023
购买量 (万辆) 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80
(1)计算 与 的相关系数 (保留三位小数);
(2)求 关于 的线性回归方程，并预测该地区 2026 年新能源汽车购买数量.
参考公式: .
参考数值: .
16. (本题满分 15 分)
如图，直角梯形 中， ， ， ， 为 的中点,以 为折痕把 折起,使点 到点 的位置,且 .
(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明:
;
(2)证明: 平面 ；
(3)求二面角 的余弦值.
17. (本题满分 15 分)
已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 恰有四个零点，求实数 的取值范围.
18.(本题满分 17 分)
已知数列 中， ， .
(1)证明: 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)数列 满足: ，求 的最大项.
19. (本题满分 17 分)
在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的右顶点为 ,点 、 分别是 轴负半轴、 轴正半轴上的动点. 当 时，点 恰好在椭圆 的左焦点 处,且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，求 值；
(3)若 ，过 的直线 与 交于 ， 两点(两点不重合)，与 轴交于点 ， 且 的纵坐标大于1,记 到直线 的距离分别为 和 . 若存在直线 满足 ,求实数 的取值范围.
高三数学试题参考答案
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
【答案】A.
,则 ,得 .
2. 若 ,则复数 在复平面上的对应点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C.
有 ,得 ,则复数 的对应点为 ，位于第三象限.
3. 已知 ， ， ，则 在 上的投影向量为( )
A. B. C.
D.
【答案】B.
有 ,即 ,得 . 向量 在向量 上的投影向量为 ,而 ,故得投影向量 .
4. 已知某圆锥的侧面展开图是半圆, 则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为( )
A. 9:32 B. 9:16 C. 3:16 D. 27:32
【答案】A.
设圆锥的底面半径为 ,母线长为 ,则侧面展开图扇形的圆心角为 ,而展开图为半圆,故得 ,即 . 圆锥的高 ,则圆锥体积 .
设外接球半径为 ,则,得 ,则外接球体积 ,可得 .
5. 已知 ，则 ( )
A. B. 3
C. D. 2
【答案】D.
有 ,得 , ,两式相除得 .
6. 已知函数 . 若函数 有 3 个不同的零点,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】C.
令 ,该方程的实根就是 的零点. 即 .
当 时,方程为 ,即 ,即 .
当 时,方程为 ,即 .
若 ，当 时，函数 无零点；当 时， 最多2个零点，可知函数 在定义域内最多 2 个零点，不合题意.
若 ,函数 无零点,不合题意.
若 ,当 时,函数 有 1 个零点; 当 时, 有 2 个零点,可知函数 在定义域内有 3 个零点,符合题意.
综上, 的取值范围是 .
7. 内角 的对边分别为 ,满足 ,且 ,则 ( )
A. 为锐角
B. C. D.
【答案】B.
由余弦定理, .
因为 ,则 ,得 ,则有
故得 ,则 ,且 .
所以， 为钝角. 由 ，得 . 有 ，则 ，而由 得 ，故 .
所以, ,可得 .
8. 定义在 上的函数 满足: ,且 ,当 时， ，则 的最大值与最小值的差为( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】A.
依题意, 的图象关于直线 对称,又关于点 对称,可知 是周期函数，周期为8.
因为 是定义在 上的,所以对称中心 在 的图象上,可得 ,即得 ,则 .
当 时, . 有 ,可知 在 上递增,在区间 上递减，在 上递增. 可得 .
由于 的图象关于点 对称,故当 时, .
故当 时， .
由于 的图象关于直线 对称,故当 时, .
因为 是周期为 8 的周期函数,故当 时, .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对酌情给分, 有错项的得 0 分.
9. 一组递增数据 的平均数为 3,方差为 4,极差为 6,若 ,其中 ,则( )
A. 的极差为 12
B. 的方差为 16
C. 的第 80 百分位数为
D. 的平均数为5
【答案】ABD.
有 ,所以 ,而由题设 ,所以 ,即得 的极差为 12,选项 正确.
因为 ,而 ,所以 ,选项 B 正确.
由 ，可知 的第 80 百分位数是 ，并不是 ，可见选项 C 错误.
因为 的平均数为 ,所以由两组数组成的 10 个数的平均数为 ,选项 D 正确.
10. 在直四棱柱 中,底面 为正方形, 为底面 (含边界) 上的动点, 为 的中点, 的长总是等于点 到平面 的距离, 则下列说法正确的是( )
A.
B. 直线 与 所成角的余弦值为
C. D. 四棱锥 体积的最小值为
【答案】ACD.
如图,连接 ,可知 ,又因为 ,所以 平面 ,则 .
连接 和 ,由 ,可知 就是直线 与 所成角.
因 为 , ,所以 ，选项 B 错误.
点 到平面 的距离就是点 到直线 的距离，那么动点 到定点 的距离等于其到定直线 的距离,由抛物线定义知,动点 在一条抛物线上.
建立平面直角坐标系如图所示，坐标原点 为 的中点，则点 所在的抛物线方程为 . 由抛物线性质知,动点 运动到坐标原点 处时, 的长最短,最短值为 , 即得 ，选项 C 正确.
取 ，得直线 与抛物线交点为 ，可知抛物线与线段 的交点为 ， 当动点 运动到点 时，点 距离平面 最近，此时四棱锥 的体积最小,最小值为 ,选项 D 正确.
11. 一条动直线 与圆 相切，并与圆 相交于点 ，点 为定直线 上动点,则( )
A. 存在直线 ，使得以 为直径的圆与 相切
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】BCD.
由圆的性质知,直线 与圆 相切的切点恰是线段 的中点,记为 , 可得 .
所以，以 为直径的圆的圆心为切点 ，而点 又在圆 上运动，可知以 为直径的圆的轨迹是一个区域,该区域是以圆 为边界的圆盘. 因为圆心到直线 的距离为 ，所以圆 与直线 相离，可见不存在直线 ，使得以 为直径的圆与 相切， 选项 A 错误.
由 平 行 四 边 形 性 质 知 ,而 的最小值为 ,可得 的最小值为 ,即得 的最小值为 ，选项 B 正确.
因 为
而
,又 的最小值为 , 可得 的最小值为
即可得 的最大值为 ，选项 C 正确.
可知 两点在直线 的同侧,先固定 两点,过点 作直线 的对称点 ,连接 , 则当点 运动到线段 与直线 的交点处时, 最小,最小值为 . 再让线段 动起来,求 的最小值即可.
如右图所示,设线段 与直线 的交点为 ,连接 ,则 . 连接 , 过点 作直线 的垂线,垂足为 ,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,直线 与 相交于 ,设 ,则 ,可得 ,并且 ,可得
当 时， 有最小值，最小值为 48，即得 的最小值为 8 .
所以， 的最小值为 ，选项 D 正确.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 一批产品的一等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， 表示抽到的一等品件数，则 的方差 _____.
【答案】 1.96 .
依题意, ,则 .
13. 已知 为双曲线 的左焦点， 是双曲线 的右顶点， 是双曲线 上一点，且 ， ，则双曲线 的离心率为_____.
【答案】 2 .
将 的右焦点记为 .
依题意,点 在双曲线 的左支上,可得 ,再由双曲线定义知
由 余 弦 定 理 ， ,整理即 ,两边同除以 得 ,解得 .
14. 已知 ,对任意 在 上总有解,则实数 的最大值为_____.
【答案】 .
先固定 . 令 ,依题意,存在 ,使得 能成立. 令 ,只需 .
有 ,记 ,让 变化,对 恒成立,则 .
关于 的函数 ,其图象如下: 是一条 字形的粗线.
从图象中可直观看出 的最小值是点 的纵坐标,易得 的横坐标为 ,可知纵坐标为 ，所以 ，故只需 . 所以，实数 的最大值为 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.(本题满分 13 分)
近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向. 某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示:
年份 2019 2020 2021 2022 2023
购买量 (万辆) 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80
(1)计算 与 的相关系数 (保留三位小数)；
(2)求 关于 的线性回归方程，并预测该地区 2026 年新能源汽车购买数量.
参考公式: .
参考数值: .
【答案】( 1 ) ；( 2 ) ，2.9 万辆.
(1) 有 . 又 ,则 . 所以，相关系数 .
(2)有 ，故得 .
所以，回归方程为 .
令 ,则 .
可预测该地区 2026 年新能源汽车购买数量约为 2.9 万辆.
16. (本题满分 15 分)
如图，直角梯形 中， 为 的中点， 以 为折痕把 折起，使点 到点 的位置，且 .
(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明: ；
(2)证明: 平面 ；
(3)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)略；(2)略；(3) 。
(1)因为 ， ，则 为平行四边形. 所以， .
因为 平面 , 平面 ,则 平面 .
因为平面 平面 平面 ,则 .
(2)有 ，则 ，即得 .
由于 是正方形，则 . 在 绕直线 旋转时， 就是 ，故有 .
因为 平面 ,则 平面 .
(3)以 为坐标原点，直线 为 轴，直线 为 轴，直线 为 轴建立空间直角坐标系, 如图示.
有 .
易知平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 .
有 ，所以二面角 的余弦值为 .
17. (本题满分 15 分)
已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 恰有四个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)略；(2) .
(1) 有 .
当 时 ; 当 时 ; 当 时 .
所以,函数 的递减区间为 和 ,递增区间为 .
(2)当 时 ,当 时 且 ,又 , 再由 (1) 中函数 的单调性,可画出函数 的图象如下.
设 ,令 ,若此方程只有一个实根,则 只有一个取值. 由上图知, 任何一条与 轴垂直的直线与函数 的图象至多有 3 个交点,则函数 至多有 3 个零点, 不合题意.
所以,关于 的方程 必须有两个不同实根,不妨记为 和 ,且 .
由函数 的图像知,只有一种情况: .
令 ,则 的两个零点一个在 内,一个在 内,则需 , 且 ,即 ,解得 .
综上,实数 的取值范围为 .
18. (本题满分 17 分)
已知数列 中, .
(1)证明: 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)数列 满足: ，求 的最大项.
【答案】( 1 ) ；( 2 ) ；( 3 ).
(1) 等式 两边同除以 ,得 ， 所以，数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列.
由上知, ,即得 .
(2)由(1)知， .
当 为偶数时,
当 为奇数时, .
综上, .
(3)当 时， ；当 时，有
可得 .
所以, . 记 ,则 .
令 ,则 ,可得 在区间 上单调递增,则 ,即得 ,即 .
所以当 时, ,即 。
回到数列问题上,可知数列 从第 4 项开始每一项均小于 1 .
因为 ,所以数列 的最大项是第三项,其值为 1,即得数列 的最大项为1.
19. (本题满分 17 分)
在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的右顶点为 ,点 分别是 轴负半轴、 轴正半轴上的动点. 当 时,点 恰好在椭圆 的左焦点 处, 且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，求 值；
(3)若 ，过 的直线 与 交于 ， 两点(两点不重合)，与 轴交于点 ，且 的纵坐标大于 1,记 到直线 的距离分别为 和 . 若存在直线 满足 ,求实数 的取值范围.
【答案】 .
(1) 当 时, ,则由 ,可得 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 .
(2)依题意，有 ， ，可得
即得 ,整理 ,解得 .
(3)可知直线 的方程为 .
依题意,可设直线 的方程为 ,且满足 ,而 ,则 .
设 ,则 .
由点 的纵坐标大于 1,点 在 轴负半轴上,可推得点 均在 轴左侧,则点 均在直线 的下方,可得 ,且 ,那么
而 ,可得 .
联立方程组,可得 ,由韦达定理得 ,则
所以, ,即为 .
由于 是两个不同点,则 ,即 . 还有 ,则 .
有 ,则 ,即 ,解得 .
还需 ,即 ,显然成立. 所以, .
令 ，则 ， .
设 ,则 ,得 在 上单调递减，可得 的值域为 .
所以,实数 的取值范围为 .

展开更多......

收起↑