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2025-2026学年上海市黄浦区民办立达中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分)
1．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　）
A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．4，4，7 D．5，12，13
2．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．用三角板作△的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知△，下列尺规作图的方法中，能确定的是（　　）
A． B．
C． D．
5．△中，，，平分，交于，于，若，则△的周长是（　　）
A． B． C． D．
6．若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
7．某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树万棵，则列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分)
9．因式分解：　　．
10．若式子有意义，则实数的取值范围是 　　 ．
11．分式的最简公分母是 　　 ．
12．已知与最简二次根式是同类二次根式，则的值是　　 ．
13．如图，中，为的中点，，垂足为．若，，则的长度是　　．
14．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是　　．
15．已知、为有理数，、分别表示的整数部分和小数部分，且，则　　．
16．如图，在△中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边△，连接，则的最小值是　　 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分)
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（6分）如图，△中，，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．
（1）在如图（1）边上求作一点，使点到点、两点的距离相等；
（2）在如图（2）边上求作一点，使得．
21．（6分）如图，点在上，在上，，，求证：．
22．（6分）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍．求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？
23．（6分）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：
2 3 4 5 6
4 6 8 10 12
（1）观察上表，用含，且为整数）的代数式表示，，，则　　 ，　　 ，　　 ．
（2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．
24．（6分）如图，所在直线是的垂直平分线，垂足是点，与的平分线相交于点．
（1）如果，，，那么　　 ；
（2）若，求度数．
25．（6分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，．
【类比归纳】
（1）仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：　　 ；
（2）请运用小明的方法化简：．
（3）将式子化成平方的形式：　　 ．
（4）已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当为何值时，有最小值？求出该最小值．
26．（14分）如图1，四边形是长方形，，，，，点是边上一点，连接，过点作的垂线，交于点．将△沿所在直线翻折得到△，其中点是点的对应点．
（1）如图2，连接，若，直接写出的长为　　 ；
（2）连接，若△是以为腰的等腰三角形时，求的长；
（3）如图3，连接，若的延长线正好经过点，直接写出△的面积为　　 ．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分)
1．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　）
A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．4，4，7 D．5，12，13
解：、，
，3，4不是勾股数，故本选项不符合题意；
、，0.4，0.5不是正整数，
，0.4，0.5不是勾股数，故本选项不符合题意；
、，
，4，7不是勾股数，故本选项不符合题意；
、，
正整数5，12，13是勾股数，故本选项符合题意；
故选：．
2．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
解：、不是多项式，不符合题意；
、，属于整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
、，右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
、，是因式分解，符合题意；
故选：．
3．用三角板作△的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：，，都不是△的边上的高，
故选：．
4．已知△，下列尺规作图的方法中，能确定的是（　　）
A． B．
C． D．
解：选项，作图痕迹可知，为中点，不能确定，不符合题意；
选项，作图痕迹可知，在的垂直平分线上，不能确定，不符合题意；
选项，作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，不符合题意；
选项，作图痕迹可知，在的平分线上，能确定，故本选项符合题意；
故选：．
5．△中，，，平分，交于，于，若，则△的周长是（　　）
A． B． C． D．
解：平分，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
△的周长为．
故选：．
6．若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
解：当□是1时，
，
不符合题意；
当□是2时，
不能约分化简，
符合题意；
当□是4时，
，
不符合题意；
当□是时，
，
不符合题意．
故选：．
7．某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树万棵，则列方程为（　　）
A． B．
C． D．
解：设原计划每天植树万棵，需要天完成，
实际每天植树万棵，需要天完成，
提前10天完成任务，
，
故选：．
8．如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
解：设图2中，则，
，
，
，，
，
，
在△中，，
，
，
，
，
，
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分)
9．因式分解：　　．
解：．
故答案为：．
10．若式子有意义，则实数的取值范围是 　　 ．
解：式子在实数范围内有意义，
，
，
故答案为：．
11．分式的最简公分母是 ．
解：分式的最简公分母是．
故答案为：．
12．已知与最简二次根式是同类二次根式，则的值是　2　 ．
解：，
与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得：，
故答案为：2．
13．如图，中，为的中点，，垂足为．若，，则的长度是　6　．
解：，为的中点，
，
由勾股定理得，，
故答案为：6．
14．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是　且　．
解：解关于的方程得，
，解得，
方程的解是正数，
且，
解这个不等式得且．
故答案为：且．
15．已知、为有理数，、分别表示的整数部分和小数部分，且，则　2.5　．
解：因为，所以，故，．
把，代入得，
化简得，
等式两边相对照，因为结果不含，
所以且，解得，．
所以．
故答案为：2.5．
16．如图，在△中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边△，连接，则的最小值是 ．
解：，，点是的中点，
，
以为边在的下方作等边△，
，，
如图，把△绕顺时针旋转得△，连接，过作于，
，，，
△为等边三角形，
，，
，
，
在线段上运动，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
当，重合时，的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共68分)
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
18．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）给分式方程两边同时乘以，
得，
，
解得，
把代入，
所以是原分式方程的解；
（2），
给分式方程两边同时乘以，
得，
解得，
把代入，
所以原分式方程无解．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
20．（6分）如图，△中，，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．
（1）在如图（1）边上求作一点，使点到点、两点的距离相等；
（2）在如图（2）边上求作一点，使得．
解：（1）如图（1）中，点即为所求；
（2）如图（2）中，点即为所求．
21．（6分）如图，点在上，在上，，，求证：．
【解答】证明：在△与△中，
，
△△，
（全等三角形的对应边相等）．
22．（6分）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍．求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？
解：设购买一个种机器人需万元，则购买一个种机器人需万元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：购买一个种机器人需60万元，一个种机器人需65万元．
23．（6分）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：
2 3 4 5 6
4 6 8 10 12
（1）观察上表，用含，且为整数）的代数式表示，，，则 ，　　 ，　　 ．
（2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．
解：（1）观察上表，用含，且为整数）的代数式表示，，，则，，，
故答案为：，，；
（2）以，，为边的三角形是直角三角形，
证明：，，，
，
，
，
，
，
以，，为边的三角形是直角三角形．
24．（6分）如图，所在直线是的垂直平分线，垂足是点，与的平分线相交于点．
（1）如果，，，那么　6　 ；
（2）若，求度数．
解：（1）交于，过作交延长线于，
的平分线，
，
，，，
，
，
故答案为：6；
（2）所在直线是的垂直平分线，
，
，，
，
△△，
，
，
，，
．
25．（6分）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，．
【类比归纳】
（1）仿照小明的方法将化成另一个式子的平方： ；
（2）请运用小明的方法化简：．
（3）将式子化成平方的形式：　　 ．
（4）已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当为何值时，有最小值？求出该最小值．
解：（1）
．
故答案为：．
（2）
．
（3）
．
（4），，当且仅当“”时，等号成立）
设，则，
．
当且仅当，即，
解得：（因为，故舍去）．
，
．
综上，当时，式子有最小值3．
26．（14分）如图1，四边形是长方形，，，，，点是边上一点，连接，过点作的垂线，交于点．将△沿所在直线翻折得到△，其中点是点的对应点．
（1）如图2，连接，若，直接写出的长为 ；
（2）连接，若△是以为腰的等腰三角形时，求的长；
（3）如图3，连接，若的延长线正好经过点，直接写出△的面积为　　 ．
解：（1），
，
△为等腰直角三角形，
，
．
，
，
由题意得：△△，
，，，，
四边形为正方形，
，
，
．
故答案为：；
（2）①当时，如图，
由题意得：△△，
，
，
设，则，
，
，
，
；
②当时，过点作于点，如图，
，，
，
由题意得：△△，
，，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
．
综上，若△是以为腰的等腰三角形时，的长为3.2或．
（3）△的面积为理由：
由题意得：△△，
，，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
设，则，，
，
，
．
，，
过点作于点，如图，
，
，
，
△的面积．

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