资源简介

2025-2026学年上海市嘉定区中科院实验学校九年级（上）期中数学试卷
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
（多选）1．已知，那么下列等式中，不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．在以为坐标原点的直角坐标平面内，有一点，射线与轴正半轴的夹角为，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，、分别是△的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列两个三角形不一定相似的是（　　）
A．有一个内角是的两个等腰三角形
B．腰与底的比都是的两个等腰三角形
C．两边对应成比例的两个直角三角形
D．一个内角为的两个直角三角形
5．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为千米．
A． B． C． D．
6．如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有（　　）
①；
②△与△的周长比为；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知：，那么　　 ．
8．已知线段是线段、的比例中项，如果，，那么　　 ．
9．如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为　　 ．
10．如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是　　 千米．
11．已知向量是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？
答：　　．（填“是”或“不是”
12．某小山坡的坡长为500米，山坡的高度为300米，那么该山坡的坡度　　 ．
13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为　　（结果保留根号）．
14．如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，那么　　．
15．如图，直线，如果，，，那么线段的长是 　　 ．
16．如图，在中，，，，正方形的顶点、分别在、的边上，、在边上，则正方形的边长等于　　．
17．已知是等边三角形，，点，，分别在边，，上，，同时平分和，则的长为　　．
18．如图，在等腰直角△中，，，点为射线上一动点，以为腰且在的右侧作等腰直角△，，射线与射线交于点，联结．若，则的长为　　 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，已知梯形中，，是上一点，，、相交于点，．
（1）求的值；
（2）联结，设，，那么　　，　　（用向量、表示）
21．（10分）如图，在菱形中，．
（1）求对角线的长；
（2）求的值．
22．（12分）如图，在等腰△中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．
求证：（1）；
（2）．
23．（10分）
探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系
背景介绍 在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知． 而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就． 建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系．
实践任务 以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系．
资料查阅 1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》年版）．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度． 如图2，建筑高度． 2、如图1，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度半坡宽度．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造．
模型初建 将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐）．如图3，△为等腰三角形，，假定米，米．
模型优化 屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力． 学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为的圆弧．如图所示，弧和弧是半径为、圆心角为的圆弧，檐口到地面的距离为．（已知，，，，
问题解决
任务1 模型初建 （1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度；
任务2 模型优化 （2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊与檐口的竖直高度和建筑高度（结果保留根号）．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为3．轴，垂足为．
（1）写出点、、的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为、是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由．
（3）是反比例函数图象上的一个动点且在第三象限，如果，求点的坐标．
25．（14分）已知：如图，在和中，，，，，（点、分别在直线的左右两侧），射线交边于点，点是的重心，射线交边于点，，．
（1）求证：；
（2）当点在边上时，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如果是以为腰的等腰三角形，试求的长．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
（多选）1．已知，那么下列等式中，不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：，
，
、，故不符合题意；
、，不一定正确，故符合题意；
、，
，
故不符合题意；
、，
，
故符合题意；
故选：．
2．在以为坐标原点的直角坐标平面内，有一点，射线与轴正半轴的夹角为，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
解：过点作轴，垂足为，在△中，由题意得：
，
，
，，
，
故选：．
3．如图，、分别是△的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（　　）
A． B． C． D．
解：，
，故正确；
，
，故正确；
，
，故正确，
故选：．
4．下列两个三角形不一定相似的是（　　）
A．有一个内角是的两个等腰三角形
B．腰与底的比都是的两个等腰三角形
C．两边对应成比例的两个直角三角形
D．一个内角为的两个直角三角形
解：有一个内角是的等腰三角形，只能为顶角，底角均为，故两三角形角均相等，故项一定相似，不符合题意；
腰与底的比都是的等腰三角形，三边比例相同，满足此条件的两个三角形三边对应成比例，故项一定相似，不符合题意；
两边对应成比例的两个直角三角形，虽两边成比例，但夹角不一定相等（如三角形三边3，4，5和，两边4和5成比例，但夹角不相等），故项不一定相似，符合题意；
一个内角为的两个直角三角形有两个角分别相等，故项一定相似，不符合题意；
故选：．
5．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为千米．
A． B． C． D．
解：如图，假设为飞机，
依题意得：，，，
在△中，，
，
飞机与目标的距离为千米，
故选：．
6．如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有（　　）
①；
②△与△的周长比为；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①，，
△△，
；故①正确；
②△△，
△与△的周长比；故②正确；
③，
，，，共圆，
，
如果，
，
但这两个角不一定相等，故③错误；
④假设．
，
△和△共高，
，
△和△共高，
，
，故④正确．
结论中正确的是①②④，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知：，那么 ．
解：，
设，，
．
故答案为：．
8．已知线段是线段、的比例中项，如果，，那么 ．
解：线段是线段、的比例中项，
，
，，
故答案为：．
9．如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为 ．
解：两个相似三角形面积的比为，
它们的相似比．
故答案为：．
10．如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是　16　 千米．
解：根据题意，厘米千米．
即实际距离是16千米．
故答案为：16．
11．已知向量是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？
答：　不平行　．（填“是”或“不是”
解：假设向量与平行，
则，
，
，无解，
向量与不平行．
故答案为：不平行．
12．某小山坡的坡长为500米，山坡的高度为300米，那么该山坡的坡度 ．
解：设水平距离为米，根据勾股定理得：，
，
，
，
坡度为高度与水平距离的比值：，
故答案为：．
13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为　　 （结果保留根号）．
解：由题知，
因为四边形是正方形，
所以，
又因为，
所以，
所以，
则四边形是矩形．
所以．
因为，
所以．
因为点为线段的黄金分割点，且，
所以，
则．
故答案为：．
14．如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，那么　　．
解：线段、是的中线，
，，
，
，
．
故答案为：．
15．如图，直线，如果，，，那么线段的长是 　3　 ．
解：延长，，相交于，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
16．如图，在中，，，，正方形的顶点、分别在、的边上，、在边上，则正方形的边长等于　　．
解：，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
即，
同理，，
设为，则为，为，
，
解得，
，
故答案为：．
17．已知是等边三角形，，点，，分别在边，，上，，同时平分和，则的长为　　．
解：如图，同时平分和，
，，
在与中，，
，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
18．如图，在等腰直角△中，，，点为射线上一动点，以为腰且在的右侧作等腰直角△，，射线与射线交于点，联结．若，则的长为 ．
解：，分两种情况讨论：
当点在线段上时，如图1，
等腰直角△中，，，
，
，
，
设，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在△中，由勾股定理得：（不符合题意），
点不在线段上；
当点在线段的延长线上时，如图2，过点作于，
设，
，，
，
△和△是等腰直角三角形，
，，
△是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
△△，
，即，
整理得：，
解得：（负值舍去），
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）如图，已知梯形中，，是上一点，，、相交于点，．
（1）求的值；
（2）联结，设，，那么　　，　　（用向量、表示）
解：，，
四边形为平行四边形，
，
，
，，
，
，
；
（2）联结，如图，
由（1）可得，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：，．
21．（10分）如图，在菱形中，．
（1）求对角线的长；
（2）求的值．
解：（1）连接，交于，
四边形是菱形，
，，，
在△中，
，，
，
，
，
，
；
（2）四边形是菱形，，，
菱形的面积，
过点作于，
则，
，
．
22．（12分）如图，在等腰△中，，点是边上的中点，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，交于点．
求证：（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），，
，
，
，
△△，
，
；
（2），点是边上的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
即．
23．（10分）
探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系
背景介绍 在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知． 而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就． 建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系．
实践任务 以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系．
资料查阅 1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》年版）．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度． 如图2，建筑高度． 2、如图1，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度半坡宽度．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造．
模型初建 将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐）．如图3，△为等腰三角形，，假定米，米．
模型优化 屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力． 学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为的圆弧．如图所示，弧和弧是半径为、圆心角为的圆弧，檐口到地面的距离为．（已知，，，，
问题解决
任务1 模型初建 （1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度；
任务2 模型优化 （2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊与檐口的竖直高度和建筑高度（结果保留根号）．
解：（1）过作于，
由知，，
，
（米；
（2）在上找到一点，使得，
，
，，
△是等边三角形，
，
在△中，，，
过作上的高，
，，
，
由资料可得，，
．
即米，米．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为3．轴，垂足为．
（1）写出点、、的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为、是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由．
（3）是反比例函数图象上的一个动点且在第三象限，如果，求点的坐标．
解：（1）一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为3．
当时，得：，
解得：，
当时，得：；
，，
将代入得：，
，
反比例函数的图象过点，将点的坐标代入得：
，
解得：，
反比例函数的解析式为；
（2）存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似；理由如下：
如图1，，，于，
，，，
轴，垂足为，，
，
，
是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，
设，
，，
，
，
点、、为顶点的三角形与△相似，在的右侧，
当△△时，得：，
，
解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去），
，
当△△时，得：，
解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去），
，
，
综上所述，或；
（3）如图2，，，连结交轴于点，
，
，
，，，
，，
，
又轴于点，
，
，
解得：，
，
，
，
设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
联立得：，
解得：或，
直线与反比例函数的交点为与，
又是反比例函数图象上的一个动点且在第三象限，
．
25．（14分）已知：如图，在和中，，，，，（点、分别在直线的左右两侧），射线交边于点，点是的重心，射线交边于点，，．
（1）求证：；
（2）当点在边上时，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）如果是以为腰的等腰三角形，试求的长．
【解答】（1）证明：点是的重心，
是的中线，
又在中，，，
，即，
，且，
；
（2）解：如图1，过点作于点，
则，
又，
，
又，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当时，如图，
取的中点，联结，那么，
联结，，且直线经过点，那么与共线，
又，那么；
当时，如图，
即，点为的重心，
，
，
，
；
综上所述，或．

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