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2025-2026学年上海市民办欣竹中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．下列各组图形一定相似的是（　　）
A．所有等腰三角形都相似 B．所有等边三角形都相似
C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似
2．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点，，，，在同一平面内，，，，则点到的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为的地图上，上海与杭州的图上距离约 　　厘米．
8．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的对应中线之比等于 　　．
9．已知点是线段的黄金分割点，，，则　　．
10．若线段，，，成比例线段，且，，，则　　 ．
11．已知，且，则 　　．
12．二次函数的图象的顶点坐标是　 　．
13．有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为　　 米．
14．如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为 　　．
15．如图，△中，，点在上，，若，，则的长度为 　　．
16．如图，矩形内接于△，点、分别在、上，点、分别在上，如果，，且，则　　 ．
17．如图，，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，△的三个顶点分别在、、上，与交于点，如果，，那么的长是 　　．
18．如图，已知在中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点．如果点恰好在的平分线上，那么的长为 　　．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（11分）计算：．
20．（11分）如图，，相交于点，，，，在一条直线上，，，．
（1）求的长；
（2）设，，用向量、表示．
21．（11分）已知：如图，在中，，，是边上一点，且．
（1）试求的值；
（2）试求的面积．
22．（11分）下面是化学中制取氧气的常见实验，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹的高度，水平放置的水槽高度，，试管长，固定夹正好在试管靠近开口的三等分点上，试管倾斜角为，直导管过水槽端点．点，，均在一条直线上．
（1）　　 ，并求管口的高度；
（2）若，求铁架与水槽之间的距离．（参考数据：取0.21，取
23．（11分）如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点．
（1）求证：；
（2）联结，求证：．
24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．
25．（12分）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．
（1）如图，当点与点重合时，求的长；
（2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）连接，当△与△相似时，求线段的长．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．下列各组图形一定相似的是（　　）
A．所有等腰三角形都相似 B．所有等边三角形都相似
C．所有菱形都相似 D．所有矩形都相似
解：任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，错误；
任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，正确；
任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，错误；
任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，错误；
故选：．
2．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：，，
，．
．
故选：．
3．已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
、，计算正确，故本选项符合题意．
、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：．
4．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为．
故选：．
5．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点，，，，在同一平面内，，，，则点到的距离为（　　）
A． B． C． D．
解：作于点，作于点，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，，，
，，
，
，
，
在△中，，
在△中，，
，
点到的距离等于，
故选：．
6．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①由条件可知，即，①正确；
②抛物线开口向上，
，
对称轴在轴的右侧，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，②正确；
③，
，③错误；
④时，，
，④正确；
⑤当时，，
，⑤正确，
正确的有①②④⑤共4个，
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为的地图上，上海与杭州的图上距离约 　4　厘米．
解：设上海与杭州的图上距离为厘米．
200千米厘米，
，
解得．
故答案为4．
8．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的对应中线之比等于 　　．
解：两个相似三角形对应边上的高之比是，
这两个相似三角形的相似比为，
它们的对应中线之比等于．
故答案为：．
9．已知点是线段的黄金分割点，，，则　　．
解：点是线段的黄金分割点，，
．
故答案为．
10．若线段，，，成比例线段，且，，，则　6　 ．
解：线段，，，成比例线段，
根据比例线段的定义，有，即．
．
代入，，，得，
即，
，
故答案为：6．
11．已知，且，则 　　．
解：，
，，，
．
故答案为：．
12．二次函数的图象的顶点坐标是　　．
解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故答案为：．
13．有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为　2.6　 米．
解：设水平距离为米，斜边长为米，
根据题意可得：，
，
．
故答案为：2.6．
14．如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为 　　．
解：连接，如图所示：
、是的中线，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
15．如图，△中，，点在上，，若，，则的长度为 　　．
解：，，，
，
，
．
，
，
故答案为：．
16．如图，矩形内接于△，点、分别在、上，点、分别在上，如果，，且，则 ．
解：作于点，交于点，则，
矩形的顶点、分别在、上，顶点、在上，
，
△△，，
于点，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
解得，
的长是，
故答案为：．
17．如图，，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，△的三个顶点分别在、、上，与交于点，如果，，那么的长是 　5　．
解：如图，过点作直线于点，交直线于点，过点作直线于点．
，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，
，
，
，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
．
故答案为：5．
18．如图，已知在中，，，，点是斜边上一点，过点作交边于点，过点作的平行线，与过点作的平行线交于点．如果点恰好在的平分线上，那么的长为 　　．
解：在中，，，，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，，
平分，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（11分）计算：．
解：
．
20．（11分）如图，，相交于点，，，，在一条直线上，，，．
（1）求的长；
（2）设，，用向量、表示．
解：（1），，，，相交于点，
△△，
，
，
，
，，在一条直线上，
，
，
，
△△，
，
，
；
（2）△△，，
，
．
21．（11分）已知：如图，在中，，，是边上一点，且．
（1）试求的值；
（2）试求的面积．
解：（1）作于，如图，
，
，
在中，；
（2）作于，如图，
在中，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
而，
，
，
即，解得，
，
．
22．（11分）下面是化学中制取氧气的常见实验，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹的高度，水平放置的水槽高度，，试管长，固定夹正好在试管靠近开口的三等分点上，试管倾斜角为，直导管过水槽端点．点，，均在一条直线上．
（1）　9　 ，并求管口的高度；
（2）若，求铁架与水槽之间的距离．（参考数据：取0.21，取
解：（1）固定夹正好在试管靠近开口的三等分点上，，
，
过作于，
则，
，
又，
管口的高度为；
故答案为：9；
（2）过作于，过作于，
则四边形、都是矩形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
又，
，
，
，
即铁架与水槽之间的距离为．
23．（11分）如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点．
（1）求证：；
（2）联结，求证：．
【解答】证明：（1）设与交于点，如图，
四边形为平行四边形，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）知：，
，
，
，
．
四边形为平行四边形，
，
．
，
，
，
．
由（1）知：，
，
．
24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．
解：（1）将点和点代入抛物线，
可得，
解得：
抛物线的解析式为，
当时，，
；
（2）如图1，过作交延长线于，
，点，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
（3）如图2，过点作轴于，设，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
．
25．（12分）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．
（1）如图，当点与点重合时，求的长；
（2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）连接，当△与△相似时，求线段的长．
解：（1），
，
，
，
，
，
，
；
（2）过点作，垂足为点，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
；
（3），
，
，
，
，
，
当△与△相似时，
（ⅰ）若，
，，
，
，
，
，
，，
，
设，，，
；
（ⅱ）若，如所示，设与交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，，
，
综上所述，线段的长为或1时△与△相似．

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