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2025-2026学年上海市浦东新区南汇一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．下列各点，在二次函数的图象上的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
3．在△中，，如果，，那么等于（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在△中，点在边上，，，点在边上，，线段与线段交于点，下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知，则的值是 　　 ．
8．在一张比例尺为的图纸上，若量得长方形操场的长为，宽为，则这个操场的实际面积是 　　．
9．两个相似三角形的面积比为，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 　　 ．
10．已知线段厘米，点是线段的黄金分割点，那么线段　　 厘米．
11．若抛物线有最低点，则的取值范围是 　　 ．
12．如图，已知直线，，，，那么　　 ．
13．某人从地面沿山坡往上走了100米，已知坡角为，那么他升高了 　　 ．
14．如图，在△中，点在上，且，的平分线交于点，点是的中点，连结，若四边形和△的面积都为3，则△的面积为　　 ．
15．如图，△是等腰三角形，，过的中点作，垂足为，连接，则的值为　　 ．
16．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，则　　 ．
17．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．
问题：如图，在△中，，，且△的面积为．如果△存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么的取值范围 　　 ．
18．如图，在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接，则的长为 　　 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．计算：．
20．如图，已知在中，是边上的中线．设，．
（1）如果点是的重心，那么　　．（用向量、的式子表示）
（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
21．已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点坐标为．
（1）求直线的表达式；
（2）将抛物线沿轴正方向平移个单位后得到的新抛物线的顶点恰好落在反比例函数的图象上，求的余切值．
22．根据背景素材，探究解决问题．
测算旗杆的高度
背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．
问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜（墙、木板垂直于地面），手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度为，点到地面的高度为，灯泡到木板的水平距离为，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．
任务：求灯泡到地面的高度．
问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你设计一种测量旗杆高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、、表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含、、的式子表示）．
23．（12分）已知：如图，在△中，点是边上的一点（不与点、重合），，点是边上一点，．
（1）求证：△△；
（2）联结，如果平分，求证：．
24．（12分）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点的纵坐标是．
（1）点的坐标是 　　 （用含的代数式表示）；
（2）若直线经过点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到新的抛物线，直线上有一动点，过点作两条直线，分别与新抛物线有唯一的公共点，（直线，不与轴平行）．求证：直线恒过一定点．
25．（14分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为．
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片绕点旋转，连接，，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在△的中线的延长线上时，延长交于点，求的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．下列各点，在二次函数的图象上的是（　　）
A． B． C． D．
解：，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，，不符合题意；符合题意；
故选：．
2．已知和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
解：、由，，可以推出，本选项不符合题意；
、由，不能判定，本选项符合题意；
、由，可以推出，本选项不符合题意；
、由，可以推出，本选项不符合题意．
故选：．
3．在△中，，如果，，那么等于（　　）
A． B． C． D．
解：，
，
．
故选：．
4．如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△相似的是（　　）
A． B．
C． D．
解：在三角形纸片中，，，．
、，对应边，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△不相似，故此选项错误；
、，对应边，即：，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△相似，故此选项正确；
、，对应边，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△不相似，故此选项错误；
、，
，，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△不相似，故此选项错误；
故选：．
5．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：、由抛物线可知，图象与轴交在负半轴，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误；
、线抛物开口应朝上，故此选项错误；
、由抛物线可知，图象与轴交在负半轴，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项正确；
、由抛物线可知，图象与轴交在负半轴，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误；
故选：．
6．如图，在△中，点在边上，，，点在边上，，线段与线段交于点，下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
解：过点作于点，交于点，连接并延长，交于点，如图所示：
由条件可知，，，
，
由条件可知，
，即，
，
，
，，
，
由条件可得△△，
，
设，，则有，
，，
，
△△，△△，
，
，
，解得：（负根舍去），
，
，
，，；
综上所述：错误的是选项；
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知，则的值是 ．
解：设，，
则原式
．
故答案为：．
8．在一张比例尺为的图纸上，若量得长方形操场的长为，宽为，则这个操场的实际面积是 　9600　 ．
解：比例尺为，量得长方形操场的长为，宽为，
操场的实际长为，宽为，
这个操场的实际面积是．
故答案为：9600．
9．两个相似三角形的面积比为，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 　6　 ．
解：设较大的三角形的周长为，
两个相似三角形的面积的比是，
这两个相似三角形的相似比为，
这两个三角形的周长比为，
较小的三角形的周长为4，
，
，
故答案为：6．
10．已知线段厘米，点是线段的黄金分割点，那么线段 厘米．
解：由题知，
因为点是线段的黄金分割点，
所以．
又因为厘米，
所以（厘米），
所以（厘米）．
故答案为：．
11．若抛物线有最低点，则的取值范围是 ．
解：抛物线有最低点，
抛物线的开口向上，
，
解得，
故答案为：．
12．如图，已知直线，，，，那么　10　 ．
解：，，，
，
，
，
；
故答案为：10．
13．某人从地面沿山坡往上走了100米，已知坡角为，那么他升高了 　50米　 ．
解：由题意得：在△中，，，米，
则米，
故他升高了50米，
故答案为：50米．
14．如图，在△中，点在上，且，的平分线交于点，点是的中点，连结，若四边形和△的面积都为3，则△的面积为　10　 ．
解：，是的平分线，
，
△的面积与△的面积均为3，
又点是的中点，
是△的中位线，
，，
△△，
，
四边形的面积为3，
△的面积为4，
△的面积为．
故答案为：10．
15．如图，△是等腰三角形，，过的中点作，垂足为，连接，则的值为　3　 ．
解：作于，如图，
△是等腰三角形，，
，，
，，
△和△都是等腰直角三角形，
设，则，
点为的中点，
，
，
，
，
，
在△中，．
故答案为3．
16．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，则　1　 ．
解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示．
点，在抛物线上，且，两点的横坐标分别为，，
点的坐标为，点的坐标为，
，．
四边形是正方形，
，．
，，
．
在△和△中，
，
△△．
，．
．
．
故答案为：1．
17．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．
问题：如图，在△中，，，且△的面积为．如果△存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么的取值范围 ．
解：△的面积为，
△的边上的为高，
如图：当高取最小值时，△为等边三角形，
点与或重合，
如图：过作，垂足为
等边三角形，，
，，．
，
，
，即．
如图：
当高取最大值时，菱形为正方形，
点在的中点，
，
，
，
故答案为：．
18．如图，在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，，垂足为，是对角线的中点，连接，则的长为 ．
解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图：
四边形是正方形，边长为6，
，，
，，
，
，，，，
设直线解析式为，则，
解得，
直线解析式为，
设直线解析式为，则，
解得，
直线解析式为，
由得，
，，
为中点，
，
，
故答案为：．
补充方法一：
过作于，连接，如图：
边长为6的正方形，，
，，
由面积法可得，
由是正方形对角线中点知：，，
而，
、、、四点共圆，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
在△中，，
．
补充方法二：
连接，如图：
由是正方形对角线中点知：，
而，
、、、四点共圆，
，
又，
△△，
，
在△中，，
而，，
，
．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．计算：．
解：原式
．
20．如图，已知在中，是边上的中线．设，．
（1）如果点是的重心，那么　　．（用向量、的式子表示）
（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
解：（1），，
，
是的中点，
，
是的重心，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）过点作，过点作交于，过点作，
，，
，
，
是在方向上的分向量，是在方向上的分向量．
21．已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点坐标为．
（1）求直线的表达式；
（2）将抛物线沿轴正方向平移个单位后得到的新抛物线的顶点恰好落在反比例函数的图象上，求的余切值．
解：（1）抛物线，
其顶点的坐标为，
当时，，
抛物线与轴交于点的坐标为，
设直线的关系式为，因此
，
解得，
直线的关系式为；
（2）由平移变换可知点的纵坐标为4，
当时，即，
解得，
点，
．
22．根据背景素材，探究解决问题．
测算旗杆的高度
背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．
问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜（墙、木板垂直于地面），手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度为，点到地面的高度为，灯泡到木板的水平距离为，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．
任务：求灯泡到地面的高度．
问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你设计一种测量旗杆高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、、表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含、、的式子表示）．
解：（1）由题意可得：，
则△△，
，
，
解得：，
经检验，是原等式的解，
，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
△△，
，
，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为；
（2）问题解决2：如图，
①将平面镜放在处，
②人走到适当的地方：刚好能从平面镜中看到旗杆的顶部，
③测出人的高度，人到平面镜的距离，平面镜到旗杆底部的距离，
④计算出旗杆的高度：△△，
，
所以旗杆的高度．
23．（12分）已知：如图，在△中，点是边上的一点（不与点、重合），，点是边上一点，．
（1）求证：△△；
（2）联结，如果平分，求证：．
【解答】证明：（1），
，
，，，
，
△△．
（2）如图，过点作交延长线于点，与相交于，
，，
平分，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
△△，
，
△△，
，
，
，
，即．
24．（12分）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点的纵坐标是．
（1）点的坐标是， （用含的代数式表示）；
（2）若直线经过点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到新的抛物线，直线上有一动点，过点作两条直线，分别与新抛物线有唯一的公共点，（直线，不与轴平行）．求证：直线恒过一定点．
解：（1）由题知与轴交于点，，
顶点的纵坐标为，
，
将代入，得，
，
即，
则，
则，；
（2）若直线经过点，则有、，对称轴为，
设抛物线为，
将代入，
有，且，
则得（舍，，
则，
抛物线为；
（3）（2）中向右平移1个单位再向上平移4个单位后，
得到，
设，，
设为，
得，
△，
，
直线为，即，
令，
得，
同理，设直线为，
，
，
，
，
设，
得，
，即，
，
直线为，过定点；
25．（14分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为．
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片绕点旋转，连接，，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在△的中线的延长线上时，延长交于点，求的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由．
解：（1），，，
，
由旋转得：，
△△，
；
（2）如图2，延长交于，连接交于，
由（1）知：△△，
，
是中线，，
，
，
，
，
△△，
，
四边形是平行四边形，，
是矩形，
，，
，
，
设，
，，
△△，
，
，
，，，
△△，
，
由勾股定理得：，即，
解得，
；
（3）分两种情况：
①如图3，，过点作于，过点作于，
，
四边形是矩形，
，，
设，
，，
，
，，
，，
△△，
，即，
，
在△中，，
，
解得：（负值舍去），
△△，
，即，
，
②如图4，，过点作于，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
由勾股定理得：，
综上，的长是或．

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