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2025-2026学年上海市杨浦区兰生中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）.
1．在△中，、都是锐角，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．抛物线上有两点，、，，下列说法中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．下列命题中正确的是（　　）
A．若都是单位向量，则
B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同
C．若是相反向量，则
D．与是平行向量
4．已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（　　）
A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米
6．如图，点是△内一点，，，，，，，，的长为　　
A． B． C． D．
二、填空题
7．在△中，，，分别反向延长、到、，若，则当　　 时，．
8．如果抛物线的图象开口向下，那么的取值范围是 　　．
9．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 　　．
10．如图，抛物线对称轴为直线，如果点为此抛物线上的一点，那么当时，　　．
11．如图，在坡度为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是　 　米（结果保留根号）．
12．如图，，如果，，那么　　 ．
13．如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是　　（只需写出一个）．
14．如图，四边形是等腰梯形且，、是中位线上两点且，若，，用、的线性组合表示 　　．
15．如图，直角三角形斜边上的中线和边上的中线互相垂直，则的正弦值为 　　．
16．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”为　　．
17．如图，在△中，，，为上一点，且满足，过点作交延长线于点，那么的值为　　．
18．如图， 将平行四边形绕点旋转到平行四边形的位置， 其中点、、分别落在点、、处， 且点、、、在一直线上， 如果点恰好是对角线的中点， 那么的值是　 　．
三、解答题
19．将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
20．将大小两把含的直角三角尺按如图1摆放，大小直角尺的直角顶点重合，小三角尺的顶点、分别在大三角尺的直角边、上，此时小三角尺的斜边恰好经过大三角尺的重心．已知，．
（1）求小三角尺的直角边的长．
（2）将小三角尺绕点逆时针旋转，当点第一次落在大三角尺的边上，求、之间的距离．
21．如图，已知在△中，，，延长边至点，使，联结．取边的中点，联结并延长交边于点．
（1）求的正弦值．
（2）求的值．
22．图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡．
（1）当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离；
（2）点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货厢对角线、的交点是货厢侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．
当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，
23．（12分）已知在△中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，联结．
（1）证明：△△；
（2）如果，求证：．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
（1）当，时．
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值；
（2）若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图象特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围．
25．（12分）在△中，，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧作△，使得，且，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）已知点与点关于直线对称，连接、、，
①如图2，如果，，四边形的面积为20，求线段的长；
②如图3，如果，求的正切值．
参考答案
一、选择题
1．在△中，、都是锐角，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
解：由题意得，，
解得，
、都是锐角，
，
，
，
故选：．
2．抛物线上有两点，、，，下列说法中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
解：抛物线，
对称轴是直线，抛物线开口方向向下，
又抛物线上有两点，、，，
若，则随的增大而增大，即．
若，则随的增大而减小，即．
若，需看两个点与轴的距离大小，距离大的函数值小，
所以选项正确，
故选：．
3．下列命题中正确的是（　　）
A．若都是单位向量，则
B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同
C．若是相反向量，则
D．与是平行向量
解：、单位向量不一定是相等向量，故不符合题意．
．若是相等向量，则它们的始点、终点可以不相同
．若是相反向量，方向相反，但长度不一定相等则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
．与是平行向量，故该选项正确，符合题意；
故选：．
4．已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（　　）
A． B． C． D．
解：点在线段上，且满足，
点是的黄金分割点，且，
，
故选：．
5．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（　　）
A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米
解：如图：
设米，米，
由题意得：（米，米，米，，，
，
，
△△，
，
，
解得：，
米，
，
△△，
，
，
解得：，
（米，
在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少米，
故选：．
6．如图，点是△内一点，，，，，，，，的长为　　
A． B． C． D．
解：点是△内一点，，，，如图，延长交于，延长交于，
四边形、四边形为平行四边形，
，，
，，
△△，
，即，
．
，，
，，
△△，
，即，
，
，
，
，
，
故选：．
二、填空题
7．在△中，，，分别反向延长、到、，若，则当 时，．
解：如图，
当时，，
△△，
，
，
，
，
故答案为：
8．如果抛物线的图象开口向下，那么的取值范围是 　　．
解：抛物线的图象开口向下，
，
解得：．
故答案为：．
9．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 　　．
解：二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2单位后，所得二次函数的解析式为．
故答案为：．
10．如图，抛物线对称轴为直线，如果点为此抛物线上的一点，那么当时，　4　．
解：抛物线对称轴为直线，如果点为此抛物线上的一点，
点和点关于对称轴对称，
，
当时，，
故答案为：4．
11．如图，在坡度为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是　　米（结果保留根号）．
解：如图，
中，，，，
．
根据勾股定理，得：．
即斜坡上相邻两树间的坡面距离是米．
12．如图，，如果，，那么 ．
解：，
△△，
，
设，，
，
，
，
△△，
，
故答案为．
13．如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是　，（答案不唯一）　（只需写出一个）．
解：由抛物线可知顶点为，
设“互为关联”的抛物线为，
代入求得，
“互为关联”的抛物线为，
故答案为，（答案不唯一）．
14．如图，四边形是等腰梯形且，、是中位线上两点且，若，，用、的线性组合表示 　　．
解：，，
，
四边形是等腰梯形，、是中位线，
．
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
15．如图，直角三角形斜边上的中线和边上的中线互相垂直，则的正弦值为 　　．
解：如图，记、的交点为，设，，则，
由题意知，，
，
是直角三角形斜边上的中线，
，
，
，
，
，即，
解得，或（舍去），
由勾股定理得，，
，
故答案为：．
16．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”为　　．
解：如图，△中，，，△，△都是等边三角形，，是△，△的重心．
取的中点，连接．
，，，
，
，，
垂直平分线段，垂直平分线段，
，分别在，上，△是等腰直角三角形，
，
，
是重心，
，
，
，
，
故答案为．
17．如图，在△中，，，为上一点，且满足，过点作交延长线于点，那么的值为　　．
解：如图，过点作垂足为，
，，
设，
，，
，，
，
，
，
解得，，
，，
，，
，
过点作垂足为，
，，
，，
，
，
故答案为：．
18．如图， 将平行四边形绕点旋转到平行四边形的位置， 其中点、、分别落在点、、处， 且点、、、在一直线上， 如果点恰好是对角线的中点， 那么的值是　　．
解：平行四边形绕点旋转到平行四边形的位置， 点恰好是对角线的中点，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
三、解答题
19．将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
解：，
，
，
开口方向：向上，
顶点坐标：，
对称轴：直线．
20．将大小两把含的直角三角尺按如图1摆放，大小直角尺的直角顶点重合，小三角尺的顶点、分别在大三角尺的直角边、上，此时小三角尺的斜边恰好经过大三角尺的重心．已知，．
（1）求小三角尺的直角边的长．
（2）将小三角尺绕点逆时针旋转，当点第一次落在大三角尺的边上，求、之间的距离．
解：（1），，，
，
连接并延长，交于点，
为△的重心，
，
，
，
，
；
（2）连接，
由（1）知：，同理：，
，
，
，
△△，
，
，
过点作，交于点，
设，则：，
，
，
，
或（舍去）；
，
．
21．如图，已知在△中，，，延长边至点，使，联结．取边的中点，联结并延长交边于点．
（1）求的正弦值．
（2）求的值．
解：（1）作于点，如图所示，
，，
设，，则，
由等面积法可得，，
，
，
故，
设，则，由勾股定理知，
故；
（2）作交的延长线于点，如图所示，
△△，
，即，
又△△，
．
22．图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡．
（1）当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离；
（2）点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货厢对角线、的交点是货厢侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．
当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，
，
在△中，，
，
，
，
，
，
，
在△中，，
，
答：车厢最高点离地面的距离是5.3米；
（2）不会发生安全事故，
理由是：过点作，垂足为，过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，
，
在△中，，
，
，
，
，
在△中，，
，
在△中，
，
，
，
在△中，
，
，
，
，
，
，
，
不会发生安全事故．
23．（12分）已知在△中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，联结．
（1）证明：△△；
（2）如果，求证：．
【解答】证明：（1）平分，是延长线上一点，
，，
，
，
，
△△．
（2）△△，
，，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
（1）当，时．
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值；
（2）若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图象特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围．
解：（1）①当时，则，
，
对称轴为直线，
，
，
抛物线解析式为；
②由题可知平移后的抛物线解析式为，
再将点，代入整理得，，
解得或，
为平移单位，
；
（2）当时，则抛物线经过，
，
，
抛物线为，
△，
抛物线与轴必有交点；
当时，则点在轴下方，即，此时．符合题意，
此时；
如图，当对称轴在直线右侧时，则，
此时很明显，
由题意可得，即，
；
如图，当对称轴在直线左侧时，则，
此时很明显，
根据题意可得，，即，
解得；
综上，的取值为范围或．
25．（12分）在△中，，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧作△，使得，且，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）已知点与点关于直线对称，连接、、，
①如图2，如果，，四边形的面积为20，求线段的长；
②如图3，如果，求的正切值．
【解答】（1）证明：在△中，，点是斜边上的动点（点与点不重合），以为直角边在的右侧作△，使得，，
，，
△△，
，
，
；
（2）解：①，，
，，，
△，△都为等腰直角三角形，
点与点关于对称，
△为等腰直角三角形；，
四边形为正方形，
四边形的面积为20，
，
如图2，过作于，
则，
，
，
，
，，
在△中，，
则；
如图2.2，
同理得：，，
在△中，，
则；
综上，线段的长为或；
②如图3，
则，，，，
点、、和点共圆，且圆的直径为，
由（1）得，则，
点也在圆上，
，，，
，
过点作于点，
，
，
设，则，
在△中，，则，
，，
，
，
，
，则，
，
在△中，，
△△，
，
则．

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