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二次函数 单元知识过关检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将抛物线y＝（x-1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝（x+2）2-2 B．y＝（x-4）2+6
C．y＝（x-3）2-2 D．y＝（x-3）2+2
2．已知二次函数，当时，，则，值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知抛物线 上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如表：
··· -1 0 1 2 3 ···
··· 3 0 -1 3 ···
有以下几个结论：①抛物线 的开口向下；②抛物线 的对称轴为直线 ；③方程 的根为0和2；④当 时，的取值范围是 或 ；其中正确的是（　　）
A．①④ B．②④ C．③④ D．②③
4．将抛物线y=x2﹣1向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x+2）2﹣1
5．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．把抛物线y=x2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是（　　）
A．y=x2-3 B．y=x2+3 C．y=(x+3)2 D．y=(x-3)2
7．某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为（　　）
A．6厘米 B．12厘米 C．24厘米 D．36厘米
8．在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．将抛物线l1：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，得到一个新抛物线l2，若l1、l2两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3）
C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
10．已知，抛物线y＝ax2＋2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，关于x的方程ax2＋2ax＝m（m＞0）的一个根为﹣4，而关于x的方程ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，则这两个根的积是（　　）
A．0 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数y=ax2+bx-3（a≠0） 的图象经过点（1，-2），则代数式a+b的值为　 　.
12．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＜0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确判断的序号是　 　．
13．如果点，在二次函数的图象上，则　 　（填“＞”、“＜”或“＝”）
14．抛物线y=x2-4x-10与x轴的两交点间的距离为　 　．
15．如图，抛物线过点 A(2，0)、B(6，0)、C(1， )，平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是　 　．
16．二次函数y=x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An﹣1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3=…=∠An﹣1BnAn=60°，则A1点的坐标为　 　 ，菱形An﹣1BnAnCn的周长为　　 　 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，把它的图形放在直角坐标系中
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？
18．杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商家购进了A、B两种类型的吉祥物纪念品，已知每套A型纪念品比每套B型纪念品的多20元，1套A型纪念品与2套B型纪念品共200元．
（1）求A、B两种类型纪念品的进价；
（2）该商家准备购进A型纪念品m套，均以每套n元的价格全部售完，且m与n之间的关系满足一次函数m＝﹣n+90，物价局规定该纪念品利润率不能高于50%，问n的值为多少时，A型纪念的销售总利润最大？最大利润是多少？
19．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图），设绿化带的边长为x米，绿化带的面积为y平方米.
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大？最大面积是多少？
20．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线：的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线：的一部分．
（1）抛物线的最高点坐标为　 　；
（2）求a，c的值；
（3）小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为　 　．
21．已知一次函数y1＝﹣x+7的图象与反比例函数y2＝图象交于A、B两点，且A点的横坐标﹣1，求：
（1）反比例函数的解析式．
（2）△AOB的面积．
（3）直接写出满足y1≤y2时x的取值范围．
22．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心3米处达到最高点，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合。如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系。
（1）求水柱所在抛物线(y轴右侧部分)的函数表达式。
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度。
23．【问题背景】某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下：
单位面积产量（单位：亩）与种植面积（单位：亩）的关系为：；
种植成本（单位：万元）与种植面积（单位：亩）的关系为：；
销售价格：万元．
【问题解决】
（1）求总产量为时的种植面积（总产量单位面积产量×种植面积）；
（2）求该科研机构种植这种药材能获的最大利润（利润销售额种植成本）；
（3）该科研机构计划种植这种药材的成本不超过180万元，所获利润不低于300万元，直接写出种植面积的范围．
24．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点为第二象限内拋物线上的一点，连接.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点作轴于点，若，求的值；
（3）如图2，设与的交点为，连接，是否存在点，使 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
25．某智能机器人生产厂家准备对甲、乙两款机器人进行投资生产，根据前期市场调研情况发现，投资甲机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：，投资乙机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：.
（1）若将2万元资金投给乙机器人，一年后获得的收益是多少？
（2）请在平面直角坐标系中画出两函数图象的简图，并结合图象分析怎样选择投资对象使获得的收益更多？
（3）若该生产厂家共有活动资金32万元，计划全部投入到甲、乙两款机器人生产中，当甲、乙两款机器人分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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二次函数 单元知识过关检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将抛物线y＝（x-1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝（x+2）2-2 B．y＝（x-4）2+6
C．y＝（x-3）2-2 D．y＝（x-3）2+2
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得，
平移后的解析式为：，
即.
故答案为：A.
【分析】抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，据此解答即可.
2．已知二次函数，当时，，则，值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数，
即该二次函数开口向下，对称轴为直线x=1，
∵当时，，
∴，即，
故在对称轴的左边，
即把，分别代入，得
，整理得，
即分别是一元二次方程的两个解，
则，
∵，
∴，，
故答案为：B
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、二次函数的图象性质等相关知识。
首先先将二次函数变形，此时可以求出二次函数的最大值和对称轴，再结合越靠近对称轴的横坐标所对应的纵坐标越大，分析得在对称轴的左边，此时可以建立方程组并进行变形，得到，该方程组可以看做是分别是一元二次方程的两个解，然后利用求根公式即可求出答案。
3．已知抛物线 上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如表：
··· -1 0 1 2 3 ···
··· 3 0 -1 3 ···
有以下几个结论：①抛物线 的开口向下；②抛物线 的对称轴为直线 ；③方程 的根为0和2；④当 时，的取值范围是 或 ；其中正确的是（　　）
A．①④ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】B
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为 ，
将 ， ， 代入得，
，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ，
由 可知，抛物线开口向上，故①错误；
抛物线的对称轴为直线 ，故②错误；
当 时， ，解得 或 ，
∴方程 的根是0和2，故③正确；
当 时， ，解得 或 ，故④正确；
故答案为：B.
【分析】根据表中的x，y的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解即可；
4．将抛物线y=x2﹣1向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x+2）2﹣1
【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向左平移2个单位，再向上平移2个单位到的点的坐标为（﹣2，1），
所以平移后抛物线的解析式为y=（x+2）2+1．
故选A．
【分析】先确定抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向左平移2个单位，再向上平移2个单位到的点的坐标为（﹣2，1），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
5．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】【解答】解：根据图象知，，且抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①符合题意；
，故②不符合题意；
，故③符合题意；
，故④不符合题意；
当时，或，故⑤不符合题意；
从而正确的有①③，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
6．把抛物线y=x2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是（　　）
A．y=x2-3 B．y=x2+3 C．y=(x+3)2 D．y=(x-3)2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=x2+3.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式。
7．某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为（　　）
A．6厘米 B．12厘米 C．24厘米 D．36厘米
【答案】A
【解析】【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由题意，得
18=9k，
解得：k=2，
∴y=2x2，
当y=72时，72=2x2，
∴x=6．
故选：A．
【分析】设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论．
8．在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，三象限，a＞0，故此选项错误；
B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y=ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误；
C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过二，四象限a＜0，故此选项正确；
D、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误；
故选C．
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=bx2+a的图象相比较看是否一致．
9．将抛物线l1：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，得到一个新抛物线l2，若l1、l2两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3）
C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线l1：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2），
∴抛物线l2：y＝﹣（x+1）2+k，顶点为（﹣1，k），
解（x+1）2+2＝﹣（x+1）2+k，得x＝﹣1± ，
根据题意得，2 ＝k﹣2，解得k1＝4，k2＝2（舍去），
∴抛物线l2的顶点为（﹣1，4），
∴P点坐标为（﹣1，3），
故答案为：B．
【分析】由抛物线l1：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2），得出抛物线l2：y＝﹣（x+1）2+k，顶点为（﹣1，k），联立方程求得交点横坐标，根据正方形的性质得出2 ＝k﹣2，解得k＝4，则抛物线l2的顶点为（﹣1，4），正方形的中心即为P点．
10．已知，抛物线y＝ax2＋2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，关于x的方程ax2＋2ax＝m（m＞0）的一个根为﹣4，而关于x的方程ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，则这两个根的积是（　　）
A．0 B．﹣3 C．﹣6 D．﹣8
【答案】B
【解析】【解答】抛物线y＝ax2＋2ax的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∵抛物线y＝ax2＋2ax在其对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∴a＞0，抛物线的开口向上，
当y＝0时，ax2＋2ax＝0，解得 ，
即抛物线y＝ax2＋2ax与x轴的交点坐标为 ，如图所示：
∵关于x的方程ax2＋2ax＝m（m＞0）的一个根为﹣4，
∴关于x的方程ax2＋2ax＝m（m＞0）的另一个根为2，
∵关于x的方程ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根，
∴关于x的方程ax2＋2ax＝n（0＜n＜m）有两个整数根只能为 ，
∴这两个根的积是为﹣3.
故答案为：B.
【分析】 先求得抛物线y=ax2+2ax的对称轴，开口向上，利用抛物线的对称性得到方程ax2+2ax=m的另一个根，利用图象法得到方程ax2+2ax=n的两个整数根，即可求出这两个根的积．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数y=ax2+bx-3（a≠0） 的图象经过点（1，-2），则代数式a+b的值为　 　.
【答案】1
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx-3（a≠0） 的图象经过点（1，-2），
∴a+b-3=-2，
解之：a+b=1.
故答案为：1
【分析】将点（1，-2）代入函数解析式，可求出a+b的值.
12．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＜0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2，其中正确判断的序号是　 　．
【答案】②③
【解析】【解答】①由图象可知：a＞0，c＜0，对称轴：x＝ ＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由抛物线的对称性可知：△＞0，即b2﹣4ac＞0，故②符合题意．
③∵ ＝﹣1，
∴b＝2a，
令x＝1代入，y＝a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0，故③符合题意．
④（﹣0.5，y1）与（﹣1.5，y1）关于直线x＝﹣1对称，
由于﹣1.5＞﹣2，
∴y1＜y2，故④不符合题意．
故答案为：②③．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案。
13．如果点，在二次函数的图象上，则　 　（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
，
故答案为：<.
【分析】利用函数解析式求得y1、y2的值，再比较函数值的大小.
14．抛物线y=x2-4x-10与x轴的两交点间的距离为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：当y=0时，有x2-4x-10=0，
解得：x1=2- ，x2=2+ ，
∴2+ -（2- ）=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】令y=0，得方程x2-4x-10=0，通过解方程求出抛物线与x轴的交点坐标，再求出两点之间的距离。
15．如图，抛物线过点 A(2，0)、B(6，0)、C(1， )，平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，
设以AB为直径的圆的圆心为P，过点P作PM⊥EF于点M，则有EM=FM，
因为点A与点B，点C与点D都关于抛物线的对称轴对称，所以CM=DM，
所以CE=DF，
由A(2，0)、B(6，0)在抛物线上，所以AB=4，抛物线的对称轴为：x=4，
因为C(1， )，所以D（7， )，所以CD=6，
在Rt△PME中，EM= =1，
所以CE+DF=CD-EF=4，
故答案为：4.
【分析】设以AB为直径的圆的圆心为P，过点P作PM⊥EF于点M，由垂径定理可得EM=FM，根据抛物线是轴对称图形可得CM=DM，抛物线的对称轴为：x=4，由线段的构成可得CE=DF，由已知易得CD=6，在Rt△PME中，由勾股定理可求EM的长，再根据线段的构成可得CE+DF=CD-EF即可求解。
16．二次函数y=x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An﹣1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3=…=∠An﹣1BnAn=60°，则A1点的坐标为　 　 ，菱形An﹣1BnAnCn的周长为　　 　 ．
【答案】（0，1）；4n
【解析】【解答】解：∵四边形A0B1A1C1是菱形，∠A0B1A1=60°，
∴△A0B1A1是等边三角形．
设△A0B1A1的边长为m1，则B1（，）；
代入抛物线的解析式中得：（）2=，
解得m1=0（舍去），m1=1；
故△A0B1A1的边长为1，
∴则A1点的坐标为（0，1），
同理可求得△A1B2A2的边长为2，
…
依此类推，等边△An﹣1BnAn的边长为n，
故菱形An﹣1BnAnCn的周长为4n．
故答案为：（0，1）；4n．
【分析】由于△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，都是等边三角形，因此∠B1A0x=30°，可先设出△A0B1A1的边长，进而可求出A0的坐标，然后表示出B1的坐标，代入抛物线的解析式中即可求得△A0B1A1的边长，用同样的方法可求得△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…的边长，然后根据各边长的特点总结出此题的一般化规律，根据菱形的性质易求菱形An﹣1BnAnCn的周长．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，把它的图形放在直角坐标系中
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？
【答案】（1）解： 设这条抛物线所对应的函数关系式是y=a(x-5)2+4，
∵该函数过点(0，0)，
∴3=a(0-5)3+4，
解得，a=
∴这条抛物线所对应的函数关系式是y=(x-5)2+4；
（2）当x=6时，y=+4=
即在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是m．
【解析】【分析】（1）由题意可设这条抛物线所对应的函数关系式是y=a(x-5)2+4，根据抛物线经过原点可把点（0，0）代入解析式可得关于a的方程，解方程求出a的值，这个抛物线的解析式可求解；
（2）由题意把x=1代入（1）中求得的解析式计算即可求解.
18．杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商家购进了A、B两种类型的吉祥物纪念品，已知每套A型纪念品比每套B型纪念品的多20元，1套A型纪念品与2套B型纪念品共200元．
（1）求A、B两种类型纪念品的进价；
（2）该商家准备购进A型纪念品m套，均以每套n元的价格全部售完，且m与n之间的关系满足一次函数m＝﹣n+90，物价局规定该纪念品利润率不能高于50%，问n的值为多少时，A型纪念的销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设A种类型纪念品的进价为x元，B种类型纪念品的进价为y元．
由题意得，
解得，
答：A种类型纪念品的进价为80元，B种类型纪念品的进价为60元；
（2）解：设A型纪念品的销售总利润为w元，80×（1+50%）＝120（元），
∴n的取值范围是80≤n≤120，
根据题意得：w＝m（n﹣80）＝（﹣n+90）（n﹣80）＝﹣（n﹣130）2+1250，
∵﹣＜0，80≤n≤120，
∴当n＝120时，w取最大值，最大值为w＝﹣×100+1250＝1200，
答：当n为120元，A型纪念的销售总利润最大，最大利润是1200元．
【解析】【分析】（1） 设A种类型纪念品的进价为x元，B种类型纪念品的进价为y元，根据 每套A型纪念品比每套B型纪念品的多20元，1套A型纪念品与2套B型纪念品共200元 ，列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2） 设A型纪念品的销售总利润为w元，80×（1+50%）＝120（元）， 结合n的取值情况可得到 w＝﹣（n﹣130）2+1250，利用二次函数的性质即可求解.
19．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图），设绿化带的边长为x米，绿化带的面积为y平方米.
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：四边形是矩形，
，
设边长为x米，则米，
，
墙长25米，
，即自变量x的取值范围为，
与x之间的函数关系式为；
（2）解：
当时，y有最大值200平方米.
当时，有最大面积是200平方米.
【解析】【分析】（1）首先根据栅栏的总长度求出AB、CD的长度，利用长方形的面积公式求得y与x的函数关系式，根据墙长25米求出x的取值范围.
（2）把（1）中的函数关系式用配方化为顶点式，进而结合二次函数增减性求得y的最大值即可.
20．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线：的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线：的一部分．
（1）抛物线的最高点坐标为　 　；
（2）求a，c的值；
（3）小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为　 　．
【答案】（1）
（2）解：由题可得点，将代入抛物线：，
得，
∴抛物线：．
∴当时，；
（3）4或5
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线：
∴最高点坐标为（3，2）
故答案为：（3，2）
（3）∵小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴此时，点B的坐标范围是，
当经过时，，
解得：．
当经过时，，
解得：，
，
∵n为整数，
∴符合条件的n的整数值为4和5．
故答案为：4或5．
【分析】（1）根据抛物线的顶点式方程性质即可求出答案；
（2）根据待定系数法将点B坐标代入抛物线方程可求出抛物线：，令x=0时，代入解析式可求出c值，即可求出答案；
（3）由题意可得点B的坐标范围是，将，代入解析式可得，再根据n为整数即可求出答案.
21．已知一次函数y1＝﹣x+7的图象与反比例函数y2＝图象交于A、B两点，且A点的横坐标﹣1，求：
（1）反比例函数的解析式．
（2）△AOB的面积．
（3）直接写出满足y1≤y2时x的取值范围．
【答案】（1）把x＝﹣1分别代入y1＝﹣x+7得y1＝1+7＝8，
∴A（﹣1，8），
把A（﹣1，8）代入y2＝得8＝，
解得 k＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）设y＝﹣x+7与y轴交点为C（0，7）
∴OC＝7，
解得或，
∴B（8，﹣1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝×7×1+×7×8＝；
（3）y1≤y2时x的取值范围是﹣1≤x＜0或x≥8．
【解析】【分析】（1）根据一次函数图象上点的性质，将点A的横坐标代入一次函数的表达式，即可求出点A的坐标；再根据反比例函数图象上点的性质，将点A的坐标代入反比例函数，即可求出反比例函数的解析式；
（2）一次函数与y轴相交时，横坐标为0，代入函数即可求出点C的坐标；根据一次函数与反比例函数的交点的性质，列二元一次方程组，即可求出点B的坐标；根据三角形的面积公式即可求出 △AOB的面积 ；
（3）根据不等式的关系，列关于x的不等式，解不等式即可.
22．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心3米处达到最高点，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合。如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系。
（1）求水柱所在抛物线(y轴右侧部分)的函数表达式。
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度。
【答案】（1）解：由已知可得， y轴右侧部分的抛物线的顶点坐标为（3，5），
设y轴右侧部分的抛物线的解析式为y=a(x-3)2+5，
∵（8，0）在此抛物线上，
∴0=a(8-3)2+5，
∴a=-，
∴y轴右侧部分的抛物线的解析式为y=-(x-3)2+5（0（2）解：当y=1.8时，即8=-(x-3)2+5，
解得：x=-1或7，
则为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.
（3）解：y=-(x-3)2+5=-+x+，
设扩建改造后喷水池水柱的抛物线解析式为y=-+bx+，
∵（16，0）在y=-+bx+上，
∴0=-+16b+，
∴b=3，
∴扩建改造后喷水池水柱的抛物线解析式为y=-+3x+=-（x-）2+，
∴ 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为m.
【解析】【分析】（1）设y轴右侧部分的抛物线的解析式为y=a(x-3)2+5，将（8，0）代入，即可得出答案；
（2）将y=1.8代入y=-(x-3)2+5中即可得出答案；
（3）先将（1）中解析式写出一般式，再设设扩建改造后喷水池水柱的抛物线解析式为y=-+bx+，将（16，0）代入，即可求出新的表达式，再将此表达式整理成顶点式，进而得出答案.
23．【问题背景】某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下：
单位面积产量（单位：亩）与种植面积（单位：亩）的关系为：；
种植成本（单位：万元）与种植面积（单位：亩）的关系为：；
销售价格：万元．
【问题解决】
（1）求总产量为时的种植面积（总产量单位面积产量×种植面积）；
（2）求该科研机构种植这种药材能获的最大利润（利润销售额种植成本）；
（3）该科研机构计划种植这种药材的成本不超过180万元，所获利润不低于300万元，直接写出种植面积的范围．
【答案】（1）解：根据题意得，
∴，解得：，
∴种植面积为12亩；
（2）解：设该科研机构种植这种药材能获的最大利润为万元，
，
∴，
当时（万元）．
（3）解：根据题意得：
，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据题意列方程求解即可；
（2）设该科研机构种植这种药材能获的最大利润为万元，根据题意列出函数关系式，再配方后求出最大值；
（3）根据题意列出不等式组求解．
（1）解：根据题意得，
∴，
解得：，
∴种植面积为12亩；
（2）解：设该科研机构种植这种药材能获的最大利润为万元，
，
∴，
则时（万元）．
（3）解：根据题意得：，
解得：．
24．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点为第二象限内拋物线上的一点，连接.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点作轴于点，若，求的值；
（3）如图2，设与的交点为，连接，是否存在点，使 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把代入得，
∴点坐标为，，
∵，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
即点坐标为，点坐标为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：设交轴于点，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴点坐标为，
设直线解析式为，
将，代入，
得，解得，
∴，
令，
解得或，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴；
（3）解：不存在，理由如下：
作轴交延长线于点，
∵，
∴为中点，
∴
∴，
设，则，
设直线解析式为，
把，代入解析式得，
解得，
∴
∵点在直线上，
∴，
该方程无解，
∴符合题意的点不存在.
【解析】【分析】(1)由解析式求出C的坐标，可得出OC长，再根据，求出AB长，再根据对称轴为得出A、B的坐标，代入抛物线解析式即可求出；
（2）设PB与y轴交于点E，由∠BPD=2∠BCO得∠BEO=2∠BCE，加上∠BEO=∠BCE+∠EBC得∠BCE=∠EBC，进而得出CE=BE；通过勾股定理求出OE长，由B、E坐标得出PB解析式，PB解析式与抛物线解析式联立得出D横坐标，进而求出AD、BD的长；
（3）作PM∥x轴交AC延长线于点M，由可得Q为PB中点，进而由ASA得出求出PM=AB=5；设，可用含t的代数式表示点M坐标，再求出直线AC的解析式，将M坐标代入求解，t无实数根，故不存在.
25．某智能机器人生产厂家准备对甲、乙两款机器人进行投资生产，根据前期市场调研情况发现，投资甲机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：，投资乙机器人一年后的收益（万元）与投入成本x（）（万元）的函数表达式为：.
（1）若将2万元资金投给乙机器人，一年后获得的收益是多少？
（2）请在平面直角坐标系中画出两函数图象的简图，并结合图象分析怎样选择投资对象使获得的收益更多？
（3）若该生产厂家共有活动资金32万元，计划全部投入到甲、乙两款机器人生产中，当甲、乙两款机器人分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】（1）解：当时，
（万元），
答：一年后获得的收益是4万元；
（2）解：过点，，
画出简图如图，
抛物线的对称轴为：直线，顶点为，
当时，，
当时，，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，
画出简图如图，
直线与抛物线的两个交点为，，
由图象可知：当投入成本万元时，选择投资生产甲、乙两款机器人获得的收益一样；
当投入成本万元时，选择投资生产乙款机器人获得的收益更多；
当投入成本万元时，选择投资生产甲款机器人获得的收益更多.
（3）解：设一年后获得的收益之和为w，投入乙款机器人生产n万元，则投入甲款机器人生产万元，
∴
，
∴当时，w有最大值，最大值为20.
.
答：当投入甲款机器人生产28万元，投入乙款机器人生产4万元，一年后获得的收益之和最大，最大值是20万元.
【解析】【分析】（1）将x=2代入乙的表达式求解即可；
（2）通过特殊点描法画出两个函数图象的简图，通过数形结合思想判断投入成本跟甲乙收益的关系；
（3）列出收益之和与乙款机器人生产资金的关系式，配成顶点式，二次函数在对称点时取到最值．
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