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2025-2026学年江苏省无锡市宜兴市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.用配方法解方程，配方后结果正确的是( )
A. B. C. D.
3.根据下面表格中的对应值：
x
判断关于x的方程的一个解x的范围是( )
A. B. C. D.
4.下列说法中正确的是( )
①直径是弦；
②长度相等的两条弧是等弧；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦.
A. ① B. ② C. ③ D. ④
5.如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是( )
A. B. C. D.
6.如图，，请你再添加一个条件，使得∽则下列选项不成立的是( )
A. B.
C. D.
7.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.若点M是等腰的底边BC的中点，则点M与以AB为直径的圆的位置关系是( )
A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定
9.如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，，沿DE将剪成面积相等的两部分，则的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.一元二次方程的常数项为，则一次项系数为 .
12.某市体育场作为苏超足球联赛的主场，其足球场区域严格按照国际足联要求建设，长度为若导览图比例尺为1：1500，则该足球场在导览图上的长度为
13.点D是线段AB的黄金分割点，若，则______.
14.请写出一个二次项系数为3，且有一个根为1的一元二次方程： .
15.若m是方程的一个根，则的值为 .
16.如图，的半径为2，AB为弦，若，则AC的长为 .
17.将边长为6的正方形ABCD和边长为3的正方形DEFG如图摆放，使得A、D、E三点共线，此时经过B、C、F三点作一个圆，则该圆的半径为 .
18.如图，线段，点D在AB上，点C为平面上一动点，且，当时，DC的长为 ，将线段AC的中点E绕点A逆时针旋转得到线段AF，连接BF，则线段BF的最大值为 .
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
用合适方法解下列方程.
；
20.本小题8分
在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆，，求方程2☆的解.
21.本小题10分
已知关于x的方程
求证：方程有两个不相等的实数根；
若方程的一个根为，求另一个根和m的值.
22.本小题10分
如图：在中，BD平分交AC于点D，
求证：∽
若，，求BD的长.
23.本小题10分
某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售.
求平均每次降价的百分率；
售货员向经理建议：先公布降价，然后再降价，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
24.本小题10分
如图：AB为的直径，D是弦AC延长线上一点，，DB的延长线交于点E，连接
求证：
若的度数为，求的度数.
25.本小题10分
如图，已知中，
请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：求作，圆心点O在AB上，且圆经过A，B两点与BC交于点D；不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母
在的条件下，连接若，，则______如需画草图，请使用备用图
26.本小题10分
某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量.
方案一：小树投影法
如图1，同学们在路灯旁竖立小树AB，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，测得树高AB为3米，树影BC为4米，树与路灯的水平距离BP为5米.
方案二：标杆共线法
如图2，AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为米的标杆，路灯悬臂AE与地面BG平行.同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G共线，此时路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也共线路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上这时同学们测得点F距离点G的距离为米，路灯的正下方H点距离路灯主杆底端B的距离为3米.
请根据以上数据，完成下列计算：
利用方案一求路灯OP的高度；
利用方案二求路灯主杆AB的高度.
27.本小题10分
请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，得
化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
已知一元二次方程，求一个未知数为y的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：______；
已知一元二次方程，求一个未知数为y的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：______；
已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根.
28.本小题10分
有一张矩形纸片ABCD，点E在射线AB上，现将矩形折叠，折痕为DE，点A的对应点记为点
如图1，若点F恰好落在矩形ABCD的边BC的中点时，则______；
若点F落在矩形ABCD的边BC的下方时，EF、DF分别交BC于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，此时点G是BC的中点.
①如图2，当点E在AB边上时，试判断与是否相似，证明你的结论；
②当，时，求CH的长.
参考答案
一、选择题
1.D
2.B
3.C
4.A
5.C
6.D
7.A
8.B
9.B
10.D
二、填空题
11.
12.7
13.
14.答案不唯一
15.2029
16.2
17.
18.4，
三、解答题
19.解：，
，
，
，；
，
，，，
，
，
20.解：2☆，
，
，
，
，
或，
，
21.证明：，
方程有两个不相等的实数根；
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得，，
解得，，
，另一根为
22.证明：平分交AC于点D，
，
，
，
，
，
∽
解：∽，，，
，
，
，
，
，
的长是
23.解：设平均每次降价的百分率是x，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：平均每次下调的百分率为；
售货员的方案对顾客更优惠，理由如下：
，
售货员的方案对顾客更优惠．
24.证明：如图，连接BC，
是的直径，
，
又，
，
，
，
；
解：如图，连接OE，
的度数为，
，
，
，
，
25.解：图形如图所示：
是直径，
，
，
，
∽，
：：CA，
，
，
解得负根已经舍去，
同法可证，
负根已经舍去
故答案为：
26.解：，
∽，
，
，
答：路灯OP的高度为米．
过点D作于M，交EH于点N，
，
，，
，
，
，
等于的边AE上的高，
，，，
，
米．米，
，
∽，
，
即，
米，
米，
答：路灯主杆AB的高度为米．
27.解：设所求方程的根为
根据所求方程的根分别是已知方程根的相反数，可知已知方程的根为x，则
将代入中，得：，
故所求方程为：；
故答案为：；
设所求方程的根为
根据所求方程的根分别是已知方程根的倒数，可知已知方程的根为x，则，
将代入中，得：，
去分母得：，即
所求的方程为，
故答案为：；
关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
，，
方程化为方程，
，
，
，
解得，
28.解：四边形ABCD是矩形，
，，
由折叠的性质可知，，
是BC的中点，
，
在中，，
；
故答案为：30；
①∽，
理由：如解图，分别延长HF，AB交于点P，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
四边形 BPFG、四边形GFHC、四边形APHD都是矩形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
∽，
，
，，点G是BG的中点，
，
，
，
，
∽；
②由①可知，∽，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
①当点E在AB上时，如解图，
，
，
，
②当点E在AB的延长线上时，如解图，
，A
，
，
综上所述，CH的长为：或

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