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2025-2026学年上海市宝山区民办宝莲中学八年级（上）期末数学试卷
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一．选择题（共6题，每题3分，满分18分）
1．下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．如果、分别是的整数部分和小数部分，则（　　）
A． B． C． D．
3．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列三角形中，非直角三角形的是（　　）
A．三边分别为11，，
B．有一边的中线等于这边的一半
C．三个内角之比为
D．三边之比为
5．在△中，，若，，则△的面积为（　　）
A．48 B．96 C．120 D．192
6．如图，在△中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，联结．下列结论中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．求不等式的解集　　 ．
8．在实数范围内分解因式：　 　．
9．如果与互为相反数，那么的算术平方根是　　 ．
10．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是2，于点，且，以点为圆心，为半径在点右侧画弧交数轴于点，则点表示的数是　　 ．
11．某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为，则这个增长率为 　　．
12．关于的方程有实数根，那么的取值范围为　　 ．
13．一块钢板的形状如图所示，已知，，，，，则这块钢板的面积是　　．
14．解分式方程：　　 ．
15．我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比” ，那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比是　　 ．
16．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 　　 ．
17．若，是方程的两个实数根，则的值为　　 ．
18．在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当△为直角三角形时，线段的长为　　 ．
三、简答题（本大题共4题，满分21分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）用配方法解方程：．
21．（5分）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长．
22．（6分）已知、是方程的两个实数根．
（1）若，求的值；
（2）在（1）的条件下，求的值．
四、解答题（本大题共3题，满分25分）
23．（6分）如图，在△中，，，垂足为点，是上一点，且．联结，点、分别是、的中点，求证：．
24．（8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
（1）小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由；
（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量）
25．（11分）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，，分别是△，△的高，点在上，且，动点在边上（不包括两端点），连接，．【问题感知】
（1）填空：　　 （填“”，“ ”或“” ；
【探究发现】
（2）若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论；
【类比探究】
（3）若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【拓展提升】
（4）已知，，，若点关于的对称点落在边上，连接，请直接写出△的面积．
参考答案
一．选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：、与不是同类二次根式，不符合题意；
、，与不是同类二次根式，不符合题意；
、，与是同类二次根式，符合题意；
、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：．
2．如果、分别是的整数部分和小数部分，则（　　）
A． B． C． D．
解：，
，
，
又、分别是的整数部分和小数部分，
，，
，
故选：．
3．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
解：、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
、是一元二次方程，故符合题意；
、含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；
、当时，不是一元二次方程，故不符合题意．
故选：．
4．下列三角形中，非直角三角形的是（　　）
A．三边分别为11，，
B．有一边的中线等于这边的一半
C．三个内角之比为
D．三边之比为
解：、，
该三角形是直角三角形，故选项不符合题意；
、三角形一边上的中线等于这边的一半，则三角形是直角三角形，故选项不符合题意；
、三个内角之比为，
设一个内角为，则另两个内角为、，
，
解得：，
，
该三角形是直角三角形，故选项不符合题意；
、三边之比为，
设三边分别为、、，
，
该三角形不是直角三角形，故选项符合题意；
故选：．
5．在△中，，若，，则△的面积为（　　）
A．48 B．96 C．120 D．192
解：在△中，，
由勾股定理得：，
，
设，，
又，
，
解得：（负值舍去），
，
．
故选：．
6．如图，在△中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，联结．下列结论中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：，
，
由作法得，
，
，
，
，
点在边上且到边和边的距离相等，
平分，
，
，
，所以选项不符合题意；
，，
只有当时，，此时，所以选项符合题意；
，
而，
，所以选项不符合题意；
，
点到的距离等于点到的距离，
，所以选项不符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．求不等式的解集 ．
解：，
，
，
，
解得．
故答案为：．
8．在实数范围内分解因式：　　．
解：由，得
．
原式，
故答案为：．
9．如果与互为相反数，那么的算术平方根是 ．
解：根据题意可知，，
，，
解得：，，
，
的算术平方根是．
故答案为：．
10．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是2，于点，且，以点为圆心，为半径在点右侧画弧交数轴于点，则点表示的数是 ．
解：由题意得，，，
，
，
△是直角三角形，
即，
，
，
即点表示的数为：，
故答案为：．
11．某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为，则这个增长率为 　　．
解：设这个增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
即这个增长率为，
故答案为：．
12．关于的方程有实数根，那么的取值范围为 ．
解：当时，方程化为，
解得，有实数根；
当时，方程为二次方程，有实数根时，
判别式△，
解得；
综上，时方程有实数根．
故答案为：．
13．一块钢板的形状如图所示，已知，，，，，则这块钢板的面积是　24　 ．
解：连接，由勾股定理得，
，，，
即，
故△是直角三角形，，
故四边形的面积，
，
，
，
，
故答案为：24．
14．解分式方程：　3　 ．
解：原方程变形可得：
，
，
即，
，
即，
，
解得或，
检验：当时，分母，是增根；
当时，分母，且，即是方程的根．
故答案为：3．
15．我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比” ，那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比是．　 ．
解：如图示，，，，
则，根据题意，作的角平分线交于点，
过点，作交于点，
过点，作交于点，
则，
，
故答案是：．
16．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：．
17．若，是方程的两个实数根，则的值为　2039　 ．
解：由条件可知，，，
，，
，
故答案为：2039．
18．在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当△为直角三角形时，线段的长为　3　 ．
解：矩形中，，，，
，
由折叠性质可得，，，
，，
设，，
△中，，
即，
解得，
．
故答案为：3．
三、简答题（本大题共4题，满分21分）
19．（5分）计算：．
解：原式
．
20．（5分）用配方法解方程：．
解：，
，
，即，
则，
即
21．（5分）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长．
解：设，则．
根据题意，得．
在直角三角形和直角三角形中，，
由勾股定理得：，
解得：，
，
，．
22．（6分）已知、是方程的两个实数根．
（1）若，求的值；
（2）在（1）的条件下，求的值．
解：（1）方程的两个实数根是，，
，
，
，
，
．
（2）由（1）得：，，则，
，
．
四、解答题（本大题共3题，满分25分）
23．（6分）如图，在△中，，，垂足为点，是上一点，且．联结，点、分别是、的中点，求证：．
【解答】证明：，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
又点、分别是、的中点，
，，
．
24．（8分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
（1）小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由；
（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量）
解：（1）解：不正确，理由如下：
当时，，
当时，，
，
说法不正确；
（2）当时，，
解得，
鸡蛋下落过程中所带能量为，
启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人．
25．（11分）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，，分别是△，△的高，点在上，且，动点在边上（不包括两端点），连接，．【问题感知】
（1）填空： （填“”，“ ”或“” ；
【探究发现】
（2）若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论；
【类比探究】
（3）若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【拓展提升】
（4）已知，，，若点关于的对称点落在边上，连接，请直接写出△的面积．
解：（1）平分，，分别是△，△的高
．
故答案为：．
（2）证明：如图1，作于点，
在△和△中
，
△△，
．
又由（1）知，
，
在△和△中
，
△△，
．
（3）成立，
证明：如图2，
，
，
延长交的延长线于点，
，
，
在△和△中
，
△△
，．
，
，
又，，
平分，
．
（4）当时，如图3，在线段上取点，使得．
，
点是点关于的对称点，
△△△，
，
可得△△，
，，
，
．
当时，如图4，
在线段上取点，使得，
同理可得，，
．
故答案为：或．

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