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2025-2026学年上海市宝山区求真中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是　　
A． B．
C． D．
2．下列各组图形中一定是相似形的是（　　）
A．两个等腰梯形 B．两个矩形
C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
3．将抛物线向右平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
4．在△中，，已知，，那么的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知在△中，点、点是边上的两点，联结、，且，如果△△，那么下列等式错误的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知，那么的值是　　．
8．计算：　　．
9．两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长比为　 　．
10．如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为 　　．
11．小杰沿着坡度的斜坡向上行走了65米，那么他距离地面的垂直高度升高了　　 米．
12．某飞机在离地面垂直距离1500米的上空处，测得地面控制点的俯角为，那么飞机与该地面控制点之间的距离等于　　 米．（结果保留根号）
13．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是　　 ．
14．将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么　　 ．
15．已知二次函数的部分对应值如表，那么的值为　　 ．
0 1 2 3 5
5 0 0 12
16．如图，，、相交于点，过作交于点，如果，，那么的长是　　 ．
17．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰为“格线三角形”，且，那么直线与直线的夹角的余切值为 　　．
18．定义：为内一点，连接、、，在、和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称为的自相似点．根据定义求解问题：已知在中，，是边上的中线，如果的重心恰好是该三角形的自相似点．那么的余切值为 　　．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，在四边形中，，，，对角线、交于点．
（1）设，，试用、的线性组合表示向量；
（2）已知，，求的值．
21．（10分）如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点．
（1）求的值；
（2）如果，，，求四边形的面积．
22．（10分）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升20米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为8米，且图中点、、、、、在同一平面内，求综合楼的高度．
（参考数据：，，，，，，精确到0.1米．
23．（12分）已知：如图，在中，，，垂足为点，为边上一点，联结交于点，并满足．
求证：（1）；
（2）过点作，交于点，交于点，求证：．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点．
（1）求的值和点的坐标；
（2）点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上．
①求点的坐标；
②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，联结，如果，求点的坐标．
25．（14分）如图，在△与△中，，，，过点作，垂足为点，延长、交于点，联结．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数关系式及其定义域；
（3）当△与△相似时，求边的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是　　
A． B．
C． D．
解：、，当时，是二次函数，不符合题意；
、，不是二次函数，不符合题意；
、，是一次函数，不符合题意；
、，是二次函数，符合题意．
故选：．
2．下列各组图形中一定是相似形的是（　　）
A．两个等腰梯形 B．两个矩形
C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
解：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
两个等边三角形一定是相似形，
又直角三角形，等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：．
3．将抛物线向右平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
解：由题知，
将抛物线向右平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为．
故选：．
4．在△中，，已知，，那么的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
解：在△中，，，
，
故选：．
5．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
解：是线段的黄金分割点，且，
，
，
，
故选：．
6．如图，已知在△中，点、点是边上的两点，联结、，且，如果△△，那么下列等式错误的是（　　）
A． B． C． D．
解：△△，
，
，所以选项的结论正确；
△△，
，，
，
，，
，
，
△△，
，
即，所以选项的结论正确；
△△，△△，
△△，
，
即，
，
，所以选项的结论正确；
△△，
，
，
，，
，所以选项的结论不正确．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知，那么的值是　　．
解：，
，
．
故答案为：．
8．计算：　　．
解：
．
故答案为：．
9．两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长比为　　．
解：两个相似三角形的面积比为，
它们的相似比为，
它们的周长比为．
10．如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为 　　．
解：向量与单位向量的方向相反，且，
．
故答案为：．
11．小杰沿着坡度的斜坡向上行走了65米，那么他距离地面的垂直高度升高了　25　 米．
解：设坡度的高为米，则水平距离为：米，
则：，
解得：，
答：他距离地面的垂直高度升高了25米．
故答案为：25．
12．某飞机在离地面垂直距离1500米的上空处，测得地面控制点的俯角为，那么飞机与该地面控制点之间的距离等于 米．（结果保留根号）
解：如图：
由题意得：，，，
，
在△中，米，
（米，
飞机与该地面控制点之间的距离等于米，
故答案为：．
13．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是 ．
解：抛物线在轴左侧的部分是下降的，
抛物线开口向上，
，
，
故答案为：．
14．将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么　4　 ．
解：由题知，
因为，
则将该抛物线向下平移个单位后，所得抛物线的解析式为，
所以平移后抛物线的顶点坐标为．
因为该点在轴上，
所以，
解得．
故答案为：4．
15．已知二次函数的部分对应值如表，那么的值为　12　 ．
0 1 2 3 5
5 0 0 12
解：与时的函数值相同，都是0，
二次函数的对称轴为直线，
（5）．
故答案为：12．
16．如图，，、相交于点，过作交于点，如果，，那么的长是 ．
解：，，，
△△，
，
，
，
△△，
，
，
故答案为：．
17．新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰为“格线三角形”，且，那么直线与直线的夹角的余切值为 　3　．
解：过作直线于，延长交直线于，过作直线于，则，
直线直线直线，相邻两条平行线间的距离相等（设为，
直线，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：3．
18．定义：为内一点，连接、、，在、和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称为的自相似点．根据定义求解问题：已知在中，，是边上的中线，如果的重心恰好是该三角形的自相似点．那么的余切值为 　或　．
解：如图，
，，
不可能与相似，
，点是中点，
，
，
当时，
，
，
是的重心，
，，
，，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
，
当时，
作于，
，
，
，
，
，，
，
，
综上所述：的余切值为：或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）如图，在四边形中，，，，对角线、交于点．
（1）设，，试用、的线性组合表示向量；
（2）已知，，求的值．
解：（1），
，
，，
，，
，，
，，
，
；
（2）方法1：过点作，垂足为点，
在△中，，，，
，
，
，
又，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
方法，，
，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
．
21．（10分）如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点．
（1）求的值；
（2）如果，，，求四边形的面积．
解：（1），
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
△△，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
平行四边形的面积．
22．（10分）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升20米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为8米，且图中点、、、、、在同一平面内，求综合楼的高度．
（参考数据：，，，，，，精确到0.1米．
解：如图：延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，，，米，
米，
（米，
在△中，，
（米，
点是的中点，
，
米，
在△中，，
（米，
（米，
综合楼的高度约为13.7米．
23．（12分）已知：如图，在中，，，垂足为点，为边上一点，联结交于点，并满足．
求证：（1）；
（2）过点作，交于点，交于点，求证：．
【解答】证明：（1），
，
设，
则，，
，，
，
又，
，
，
又，
；
（2）如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点．
（1）求的值和点的坐标；
（2）点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上．
①求点的坐标；
②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，联结，如果，求点的坐标．
解：（1）由抛物线的表达式知，点，则，
，则，即点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
则，
则抛物线的表达式为：，
则点；
（2）①由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标知，直线的表达式为：，
设点，则点关于轴的对称点，
将点的坐标代入得：，
解得：（舍去）或，
即点；
②设交抛物线对称轴于点，过点作于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，即，
由点、的坐标得：，
，即，
，
在△中，，，
故设，则，则，
则，则，
则，则点；
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或，
即点，．
25．（14分）如图，在△与△中，，，，过点作，垂足为点，延长、交于点，联结．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数关系式及其定义域；
（3）当△与△相似时，求边的长．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
即：，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
；
（2）解：如图1，
作交的延长线于，作，
△△，，
，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，
当△△时，，
，
，，
△△，
，
，
，
，（舍去），
，
如图3，
当△△时，，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：或．

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