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2025-2026学年上海市宝山实验学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上的长为米），则满足的方程是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．如果，那么
B．
C．如果为单位向量，那么
D．如果，那么
4．如图①是一种手机平板支架，图②是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．若量得支撑板长，，则点到底座的距离为（　　）
A． B． C． D．
5．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，的平分线交于，交于，下列结论中错误的是　　
A． B．是等腰三角形
C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：　　．
8．已知线段是线段、的比例中项，，，那么线段 　　．
9．如图，，与相交于点，且，，，那么的值等于 　　．
10．如图，在港口的南偏西方向有一座小岛，一艘船以每小时12海里的速度从港口出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在处测得小岛在船的正南方向，那么小岛与处的距离　　海里（结果保留根号）．
11．如图，已知△中，，，，，那么的长为 　　 ．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、都在网格的格点上，与交于点，则的值为　　 ．
13．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为，且新抛物线经过点，则的值为 　　 ．
14．两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是　　．
15．抛物线的部分图象如图所示，则关于的方程的解是　　 ．
16．如图，在△中，是中点，延长到，使，交于点，若，则的长度为 　　 ．
17．如图，一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，点，将它绕点逆时针旋转后，与轴相交于点，我们将图象过点，，的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是，那么这个一次函数的解析式为 　　．
18．正方形，点，在边，上，沿折叠正方形，使点恰好落在边的中点处，点是的中点，若，则　　 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，在△中，设，．
（1）如果点是△的重心，那么　　 （用向量、的式子表示）；
（2）过点作交于点，求的值．
21．（10分）如图，在△中，，，点是△内一点，且．
（1）求证：△△；
（2）求的值．
22．（10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点处，离地面的铅垂高度为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点处，此时电子眼的俯角为、、、四点在同一平面）
（1）求路段的长；
（2）当下引桥坡度时，如果测速路段限速，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：，，，，，，
23．（12分）如图，已知在△中，，点、是边上的两个点，且，过点作交延长线于点，连接并延长与交于点．
（1）求证：；
（2）连接，如果，求证：．
24．（12分）抛物线与轴有两个交点、，与轴交于点，点在负半轴上，位于点左侧，连接，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作直线交线段于点，交抛物线图象于点，连接，当时，
①求△的面积；
②在第二象限的抛物线上找一点，使，求点的坐标．
25．（14分）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值”
（1）如图1，已知矩形，△为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”；
（2）如图2，△为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”；
（3）在△中，，，请直接写出以△为中直三角形的平行四边形的“度量值”．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
解：、，，是常数且是二次函数，故不符合题意；
、不是二次函数，故不符合题意；
、不是二次函数，故不符合题意；
、是二次函数，故符合题意；
故选：．
2．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上的长为米），则满足的方程是（　　）
A． B． C． D．
解：点是的黄金分割点，
，
米，米，
米，
，
故选：．
3．下列说法正确的是（　　）
A．如果，那么
B．
C．如果为单位向量，那么
D．如果，那么
解：、若，只能说明两个向量的模相等，不能说明两个向量的方向是否相同，所以不一定成立，故不符合题意；
、或，故不符合题意；
、如果为单位向量，那么，故不符合题意；
、如果，那么，故符合题意．
故选：．
4．如图①是一种手机平板支架，图②是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．若量得支撑板长，，则点到底座的距离为（　　）
A． B． C． D．
解：过点作于点，
在△中，
，
，
故选：．
5．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（　　）
A． B． C． D．
解：由条件可知：，，
二次函数的开口向下，，
对称轴在轴左侧，
故选：．
6．如图，中，，，的平分线交于，交于，下列结论中错误的是　　
A． B．是等腰三角形
C． D．
解：由已知得，，，，所以即，所以项不正确．故答案选．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：　　．
解：，
故答案为：．
8．已知线段是线段、的比例中项，，，那么线段 　9　．
解：根据题意得，
即，
解得，
．
故答案为：9．
9．如图，，与相交于点，且，，，那么的值等于 　　．
解：，
，
，，，
，
故答案为：．
10．如图，在港口的南偏西方向有一座小岛，一艘船以每小时12海里的速度从港口出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在处测得小岛在船的正南方向，那么小岛与处的距离　　海里（结果保留根号）．
解：过点作东西方向于点，
由题意得：海里，，
，
（海里），
故答案为：．
11．如图，已知△中，，，，，那么的长为 ．
解：在△中，
，
所以，
解得．
在△中，
，
则．
因为，
所以，
解得．
故答案为：．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、都在网格的格点上，与交于点，则的值为　2　 ．
解：如图，连接，交于，
四边形为正方形，
，，，，
△△，
，
，
，
故答案为：2．
13．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为，且新抛物线经过点，则的值为 　　 ．
解：抛物线向左平移后所得抛物线的顶点横坐标为，
设平移后的解析式为，
把点代入，得，
解得．
故答案为：．
14．两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是　50或18　 ．
解：设相似比为，则面积比为，
解得（负值舍去），即周长比也为，
若为较小三角形的周长，
，则另一个三角形的周长为，
若为较大三角形的周长，
则，即另一个三角形的周长为，
综上所述，另一个三角形的周长是或，
故答案为：50或18．
15．抛物线的部分图象如图所示，则关于的方程的解是， ．
解：抛物线的对称轴为直线与轴的交点为，
设另一个交点为，
，
解得：，
故另一个交点为，
关于的方程的解是：，，
故答案为：，．
16．如图，在△中，是中点，延长到，使，交于点，若，则的长度为 　3　 ．
解：取的中点，连接，
，
是△的中位线，
，，
是中点，
，
，
，
△△，
，
．
故答案为：3．
17．如图，一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，点，将它绕点逆时针旋转后，与轴相交于点，我们将图象过点，，的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是，那么这个一次函数的解析式为 　　．
解：对，当时，，当时，，
，，
，
将、、的坐标代入得，
，解得：或或，
，，
，，，
一次函数的解析式为，
故答案为：．
18．正方形，点，在边，上，沿折叠正方形，使点恰好落在边的中点处，点是的中点，若，则　　 ．
解：四边形为正方形，
，，
为的中点，
，
如图，作于，令交于，
，
由折叠的性质可得：，，，，，
设，则，
由勾股定理可得：，即，
解得：，
，，
，
，
，
△△，
，
，
，，
，
设，则，
，，
△△，
，即，
，
，，，
为的中点，
，
，
，，
△△，
，即，
，，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）如图，在△中，设，．
（1）如果点是△的重心，那么 （用向量、的式子表示）；
（2）过点作交于点，求的值．
解：（1）由题知，
因为，，
所以．
因为点是△的重心，
所以，
所以，
所以；
故答案为：；
（2）如图所示，
因为，
所以△△，
所以．
又因为，
所以．
21．（10分）如图，在△中，，，点是△内一点，且．
（1）求证：△△；
（2）求的值．
【解答】（1）证明：在△中，，，
，
，
，
，
，
△△．
（2）解：，，
，
△△，
，
，，
，
，
，
的值为．
22．（10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点处，离地面的铅垂高度为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点处，此时电子眼的俯角为、、、四点在同一平面）
（1）求路段的长；
（2）当下引桥坡度时，如果测速路段限速，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：，，，，，，
解：（1）在坡角点处时，电子眼的俯角为，
，
，
，
，
（米，
答：路段的长约为12米；
（2）如图，过点作于点，于点，
则四边形是矩形，
，，
引桥坡度，
，
设米，则米，
在△中，由勾股定理得：（米，
米，
在面点处，此时电子眼的俯角为，
，
，
，
，
（米，
米，
，
解得：，
（米，
该车的平均速度为（米秒），
，
小汽车没有超速．
23．（12分）如图，已知在△中，，点、是边上的两个点，且，过点作交延长线于点，连接并延长与交于点．
（1）求证：；
（2）连接，如果，求证：．
【解答】证明：（1），
，，
，
△△，
，
即，
，
△△，
，
，
即；
（2）如图，连接，
，
，
，
又，
，
△△，
，
，
，，
，
．
24．（12分）抛物线与轴有两个交点、，与轴交于点，点在负半轴上，位于点左侧，连接，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作直线交线段于点，交抛物线图象于点，连接，当时，
①求△的面积；
②在第二象限的抛物线上找一点，使，求点的坐标．
解：（1）由题可知，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）①过点作轴，垂足为，如图，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
，
，
，
，，
；
②过点作的垂线交线段的延长线于点，如图，
，
根据解析（2）可知：，，，，
，，
，
，
，
△为等腰直角三角形，
，
过点作轴，垂足为．
，
，
，
，
，
在△和△中，
△△，
，，
，
，
设直线的函数表达式为，
将，分别代入得：
解得
直线的函数表达式为，
设，
，
解得（不合题意，舍去），，
，
．
25．（14分）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值”
（1）如图1，已知矩形，△为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”；
（2）如图2，△为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”；
（3）在△中，，，请直接写出以△为中直三角形的平行四边形的“度量值”．
解：（1）由条件可知，，
，
，
，
，
△△，
，
由题意知，
，
解得，
矩形的“度量值”为，
（2）如图1，作于，作的延长线于点，
同理，△△，
，
由条件可知，，，
，，
，
由勾股定理可得，
，，
，整理得，，
解得或（舍去）；
；
的“度量值”为；
（3）由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解；
当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以△为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点，作于，
，，
△△，
，
设，，则，，
同理可得△△，
，即，
解得，，
，，
，
，
解得，，
，
由勾股定理得，
；
当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以△为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点，作于，
同理，△△，，
设，，则，，
同理可得△△，
，
解得，
，，
，
，
解得，，
，
由勾股定理得，
；
当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以△为中直三角形的平行四边形，作于，作于，作的延长线于点，则四边形是矩形，
由条件可知△△，
，
设，，，则，，
同理可得△△，
，
解得，，
，，，
，
，
解得，
，
由勾股定理得，
；
综上所述：的值为或或．

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