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2025-2026学年上海市崇明区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．9的平方根是（　　）
A． B．3 C． D．
2．下列各选项中，的有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
3．将一元二次方程化成的形式，则、的值分别是（　　）
A．2，7 B．，7 C．2， D．，
4．已知方程有两个实数根，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．在下列条件中：①；②；③；④中，能确定△是直角三角形的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：　　 ．
8．如果，那么的值是　　 ．
9．如果与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是　　 ．
10．如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为　　 ．
11．若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是　　 ．
12．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是　　 ．
13．某芯片晶体管的线宽约为0.0000000053米，数据0.0000000053米用科学记数法表示为　　 米．
14．如图，依据尺规作图的痕迹，　　 ．
15．如图，点在数轴上表示数1，以为直角边，在数轴上方画△，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是　　 ．
16．如图，点是△的内心，过点作，垂足为点．如果，△的面积为，那么△的周长为　　．
17．将两张全等的等腰三角形纸片按照图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼成图②或图③所示的正方形．已知等腰三角形纸片的底边长为2，底边上的高为，并且．如果四边形的面积等于四边形面积的，那么的值是　　 ．
18．如图，在△中，是斜边上的中线，，垂足是．当把△分成面积比为的两个三角形时，则的值是　　 ．
三、解答题（本大题共8题，满分78分）
19．（8分）计算：．
20．（8分）计算：．
21．（10分）解分式方程：．
22．（10分）已知，求的值．
23．（10分）如图，在△中，，点、分别在边、上，，作于，交边于，．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
24．（10分）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件．
（1）当该挂件降价元，每日售出的数量是　　 件（用的代数式表示）；
（2）当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元．
25．（10分）小海与小华就一道问题的解法进行探索，请你仔细阅读材料，并完成任务．
【材料】
将关于的二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积，其中有一个因式是，求另一个因式和的值．
小海解法： 设另一个因式为， 得 则 ，解得 另一个因式为，的值为 小华解法： 设另一个因式为， 得 当时， 即 解得， 另一个因式为，的值为
小海受到小华解法的启发，把二次三项式因式分解问题与“韦达定理”联系在一起，得到新解法：
令，此时方程的两根为，，
由韦达定理可得，解得．
另一个因式为，的值为2．
【任务】
（1）已知关于的二次三项式因式分解的结果中有一个因式是，求的值并写出此二次三项式因式分解的结果；
（2）已知关于的二次三项式因式分解的结果中有一个因式是，求代数式的值．
26．（12分）如图，在△中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．
（1）当点与点重合时，求的长；
（2）设，用含的代数式表示线段的长；
（3）当△是以为腰的等腰三角形时，求的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．9的平方根是（　　）
A． B．3 C． D．
【解答】，
的平方根是，
故选：．
2．下列各选项中，的有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
解：的有理化因式是，
故选：．
3．将一元二次方程化成的形式，则、的值分别是（　　）
A．2，7 B．，7 C．2， D．，
解：原方程移项得，
方程两边同时加4得，
配方得，
，，
故选：．
4．已知方程有两个实数根，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
解：方程因式分解，得，
，，
；
故选：．
5．在下列条件中：①；②；③；④中，能确定△是直角三角形的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解：①：由，可知，所以能确定△是直角三角形；
②：，缺少足够的条件，如当，时满足题意，此时，△不是直角三角形，所以不能确定△是直角三角形；
③：由勾股定理的逆定理，满足的三角形是直角三角形，所以能确定△是直角三角形；
④：由，可设，则，，
，
由勾股定理的逆定理可知，△是直角三角形，所以能确定△是直角三角形，
故选：．
6．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
解：由条件可知为有理数，
、是无理数，
是无理数；
、，是无理数，
是无理数，故整体是无理数；
、，是无理数，
是无理数，故整体是无理数；
、，是有理数，
是有理数．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算： ．
解：原式，
故答案为：．
8．如果，那么的值是　15.21　 ．
解：，
，
故答案为：15.21．
9．如果与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是　5　 ．
解：如果与最简二次根式是同类二次根式，
那么，
解得，
故答案为：5．
10．如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为 ．
解：二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数，
所以根据题意得，
解得，
那么的取值范围为．
故答案为：．
11．若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是 ．
解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得：，
故答案为：．
12．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ．
解：由题知，
因为关于的方程有两个相等的实数根，
所以△，
解得．
故答案为：．
13．某芯片晶体管的线宽约为0.0000000053米，数据0.0000000053米用科学记数法表示为 米．
解：．
故答案为：．
14．如图，依据尺规作图的痕迹，　25　 ．
解：如图，标记点、点，
，
，
由尺规作图可知，为线段的垂直平分线，为的角平分线，
，，，
，
，
．
故答案为：25．
15．如图，点在数轴上表示数1，以为直角边，在数轴上方画△，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点表示的数是 ．
解：在△中，、，
，
点表示的数为．
故答案为：．
16．如图，点是△的内心，过点作，垂足为点．如果，△的面积为，那么△的周长为 ．
解：如图，点是△的内心，，，连接，，，过点作于点，于点，
平分，平分，平分，，
△的面积为，
，即，
．
故答案为：．
17．将两张全等的等腰三角形纸片按照图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼成图②或图③所示的正方形．已知等腰三角形纸片的底边长为2，底边上的高为，并且．如果四边形的面积等于四边形面积的，那么的值是 ．
解：等腰三角形纸片的底边长为2，底边上的高为，并且，
由题意得，
解得：（不合题意，舍去），
故答案为：．
18．如图，在△中，是斜边上的中线，，垂足是．当把△分成面积比为的两个三角形时，则的值是或．　 ．
解：在△中，是斜边上的中线，
，
△是等腰三角形，
把△分成面积比为的两个三角形，
或，
△和△有同高，
面积比等于底边长的比，即或，
设，则，或设，则，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
在△中，由勾股定理得：，
，
．
当，时，得：，
；
当，时，得：，
；
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8题，满分78分）
19．（8分）计算：．
解：原式
．
20．（8分）计算：．
解：
．
21．（10分）解分式方程：．
解：原方程去分母得：，
整理得：，
因式分解得：，
解得：，，
检验：当时，，
当时，，
则是分式方程的增根，
故原方程的解为．
22．（10分）已知，求的值．
解：原式
，
且，
，
，
原式
．
23．（10分）如图，在△中，，点、分别在边、上，，作于，交边于，．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
【解答】证明：（1），，
，
在△与△中，
，
△△，
（全等三角形对应边相等），
，，
平分（角平分线的定义）；
（2）在△与△中，
，
△△，
（全等三角形对应边相等），
，
，
，
，
．
24．（10分）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件．
（1）当该挂件降价元，每日售出的数量是 件（用的代数式表示）；
（2）当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元．
解：（1）根据题意得：当该挂件降价元，每件挂件的销售利润为元，每日售出的数量是件．
故答案为：；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元．
25．（10分）小海与小华就一道问题的解法进行探索，请你仔细阅读材料，并完成任务．
【材料】
将关于的二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积，其中有一个因式是，求另一个因式和的值．
小海解法： 设另一个因式为， 得 则 ，解得 另一个因式为，的值为 小华解法： 设另一个因式为， 得 当时， 即 解得， 另一个因式为，的值为
小海受到小华解法的启发，把二次三项式因式分解问题与“韦达定理”联系在一起，得到新解法：
令，此时方程的两根为，，
由韦达定理可得，解得．
另一个因式为，的值为2．
【任务】
（1）已知关于的二次三项式因式分解的结果中有一个因式是，求的值并写出此二次三项式因式分解的结果；
（2）已知关于的二次三项式因式分解的结果中有一个因式是，求代数式的值．
解：（1）设，则方程的两根为，
由韦达定理可得，
解得：，
；
（2）由条件可知时方程有一个根是，
，
．
26．（12分）如图，在△中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．
（1）当点与点重合时，求的长；
（2）设，用含的代数式表示线段的长；
（3）当△是以为腰的等腰三角形时，求的长．
解：（1）当点与点重合时，
，，
点是中点，，
，
，
在△ 中，；
（2）如图：作垂足为，
在△中，，，
，
，
，，
，
，
在△ 中，，
在△中，，
，，
，即；
（3）△是以为腰的等腰三角形，
分两种情况：或，
①当时，
，
结合（2）可得：，即，
解得：，
；
②如图：当时，作直线于交于，作于，
，
，
，
在△中，，
，
，
，
，
，
，
△△，
，，
在△中，，
，
，
设，
，
，
解得：，
，
综上，的长为或．

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