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第二十七章 相似 单元综合测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 ，则AO：AD的值为（　　）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
2．已知线段b是线段、c的比例中项，且，那么b：c的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么 （　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
4．临浦是座千年老镇，昔为浙江四大米市之一，镇南临浦阳江，西依峙山，著名的陈迹有临江书舍、西施庙、日思庵、范蠡庙等．峙山海拔59米，峙山塔高高耸立在峙山顶，为千年古镇第一塔．峙山塔建于2004年，钢筋混泥土框架结构仿古楼阁式塔，八面九层，高50米，总面积千余平方米．同学们想知道3号楼到峙山的水平距离约多少米，制定以下方案：如图，同学们的眼睛、路灯顶端、塔顶在同一直线上，测量得路灯高EF=3.3米，同学们到路灯的水平距离BF=16.2米，身高是1.6米，台阶高33cm．则下列数据最接近实际距离（　　）
A．1200米 B．1230米 C．1270米 D．1310米
5．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有（　　）
①∠EAF＝45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE2+DC2＝DE2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
7．如图，在 中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作 ，交 边于点E，作 ，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若， 则 ＝（　　）
A． B． C．6 D．8
9．如图，AC，BD是⊙O的两条直径，∠AOD＝60°，点M是劣弧AB上任意一点，过点M作AC的垂线，交AC、BD所在直线于点E、G，过点M作BD的垂线，交BD、AC所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（　　）
A．
B．∠EMF＝60°
C．当M平分弧AB时，四边形AMBO为菱形
D．当△MFG≌△BCD时，
10．如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，；与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，已知AB=3，B′C′=1，则正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比是　 　．
12．如图4，l1∥l2∥l3，AM＝2，MB＝3，CD＝4.5，则ND＝　 　，CN＝　 　.
13．如图，点、、分别在正方形的边、、上，．若，，则　 　．
14．如图，在⊙O中，C是弦AB上的点，AC=2，CB=8.连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O交于点D，DC的长为　 　.
15．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求PE+PF的值为　 　.
16．如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD　 　 （填“是”或“不是”）位似图形．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
18．
（1）解方程 ；
（2）已知 .求 的值.
19．如图，在 中，AD、BE分别是BC、AC边上的高， ，求 的值．
20．为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度．
21．如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．
（1）当动点运动几秒时，△BDE与△ABC相似？
（2）设动点运动t秒时△ADE的面积为s，求s与t的函数解析式；
（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使CD⊥DE？若存在，求出时刻t；若不存在，请说明理由．
22．在边长为3的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A4，D重合)，射线BE与射线CD交于点F.
（1）若ED=1，求DF的长；
（2）求证：AE·CF=9；
（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG=ED，求ED的长.
23． 如图，在中，、分别是边、的中点，是延长线上一点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求证：∽．
24．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与直线AD相交于点，点的坐标为.
（1）求直线AD的函数表达式.
（2）AD与轴相交于点，若是直线AD上的一个动点（不与点B重合），当与相似时，求点的坐标.
25．已知正方形 的对角线 ， 相交于点 ．
（1）如图1， ， 分别是 ， 上的点， 与 的延长线相交于点 ．若 ，求证： ；
（2）如图2， 是 上的点，过点 作 ，交线段 于点 ，连结 交 于点 ，交 于点 ．若 ，
①求证： ；
②当 时，求 的长．
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第二十七章 相似 单元综合测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 ，则AO：AD的值为（　　）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13
【答案】B
【解析】【解答】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 ，
∴ ＝ ，AC∥DF，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ .
故答案为：B.
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AB：DO═2：3，进而得出答案.
2．已知线段b是线段、c的比例中项，且，那么b：c的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得b2=ac，
即
∵
∴.
故选A.
【分析】根据比例中项的定义可得b2=ac，即可求出答案.
3．如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么 （　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥CD，
∴△EBF∽△CDF，
∴ ，
△BEF和△BCF分别选择EF、CF为底，则高相同，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】首先根据平行四边形的对边平行得出AB∥CD，根据平行三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出△EBF∽△CDF，得到EF：CF=BE：CD=1：2，△BEF和△BCF分别选择EF、CF为底，则高相同，由此即可求解.
4．临浦是座千年老镇，昔为浙江四大米市之一，镇南临浦阳江，西依峙山，著名的陈迹有临江书舍、西施庙、日思庵、范蠡庙等．峙山海拔59米，峙山塔高高耸立在峙山顶，为千年古镇第一塔．峙山塔建于2004年，钢筋混泥土框架结构仿古楼阁式塔，八面九层，高50米，总面积千余平方米．同学们想知道3号楼到峙山的水平距离约多少米，制定以下方案：如图，同学们的眼睛、路灯顶端、塔顶在同一直线上，测量得路灯高EF=3.3米，同学们到路灯的水平距离BF=16.2米，身高是1.6米，台阶高33cm．则下列数据最接近实际距离（　　）
A．1200米 B．1230米 C．1270米 D．1310米
【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作AN⊥CD于点N，交EF于点M，
由题意可得：EF∥CD，
∴△AEM∽△ADN，
∴，
∵BF=16.2米，身高是1.6米，台阶高33cm，DC=59+50=109（m），EF=3.3米，
∴，
解得：AN≈1269，
故最接近实际距离为1270m．
故选：C．
【分析】根据题意构造直角三角形，进而得出△AEM∽△ADN，再求出各边长进而得出答案．
5．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有（　　）
①∠EAF＝45°；②△ABE∽△ACD；③AE平分∠CAF；④BE2+DC2＝DE2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，故①符合题意；②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似，故②不符合题意；③∵AF=AD，∠FAE=∠DAE=45°，AE=AE，
∴△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF，
即AE平分∠DAF，故③不符合题意；④∵∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE2+BF2=EF2（勾股定理），
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE2+CD2=DE2（等量代换）．故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°；②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似；③根据SAS可证△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF；DE=EF；
④BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
6．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【答案】B
【解析】【解答】△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.
7．如图，在 中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作 ，交 边于点E，作 ，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵GE∥BD，GF∥AC，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】由GE∥BD、GF∥AC利用平行线分线段成比例，可得出 ， ，进而可得出 ，此题得解．
8．已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若， 则 ＝（　　）
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【解析】【解答】解： ∵△ABC∽△A1B1C1 ， B1D1 和BD是它们的对应中线，
∴ △ABC，△A1B1C1的相似比为
∴
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边上的中线比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可。
9．如图，AC，BD是⊙O的两条直径，∠AOD＝60°，点M是劣弧AB上任意一点，过点M作AC的垂线，交AC、BD所在直线于点E、G，过点M作BD的垂线，交BD、AC所在直线于点F、H，小明思考后提出如下说法，其中不正确的是（　　）
A．
B．∠EMF＝60°
C．当M平分弧AB时，四边形AMBO为菱形
D．当△MFG≌△BCD时，
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵∠OFH＝＝∠OEG＝90°，∠FOH＝∠EOG，
∴∠MHE＝∠OGE，
∵∠MEH＝∠OEG＝90°，
∴△MEH∽△OEG，
∴ ，
故此选项正确，不符合题意；
B、∵△MEH∽△OEG，
∴∠EMH＝∠EOG，
∵∠AOD＝60°，
∴∠EMF＝60°，
故此选项正确，不符合题意；
C、连接OM，
当M平分弧AB时，则∠AOM＝∠BOM，
∵∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOM＝∠BOM＝60°，
∵OA＝OM＝OB，
∴△OAM和△OBM都是等边三角形，
∴OA＝OB＝OM＝AM，
∴四边形AMBO为菱形，
故此选项正确，不符合题意；
D、当△MFG≌△BCD时，则MF＝BC，
∵∠BOC＝∠AOD＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC，
∴OB＝FM，
此时F、H则与点O重合，
∴∠MHE＝∠MOE＝30°，
设BC＝OB＝OM＝r，则ME＝ ，HE＝OE＝ r，
∴
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠DBC＝60°，
∴CD＝ ，
∴
∴ ，
故此选项错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、根据三角形内角和定理证明∠MHE＝∠OGE，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△MEH∽△OEG，由相似三角形的对应边成比例可判断A；
B、由相似三角形的对应角相等得∠EMH＝∠EOG，便可判断B；
C、连接OM，由等弧所对的圆心角相等得∠AOM＝∠BOM＝60°，再证明△OAM和△OBM都是等边三角形，得出OA＝OB＝AM＝BM，便可判断C；
D、当△MFG≌△BCD时，则MF＝BC，再证明△OBC为等边三角形，得OB＝BC＝FM，此时F、H则与点O重合，作出示意图，设圆的半径为r，用r表示△MEH与四边形ABCD的面积便可求得比值，从而判断D．
10．如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，；与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=DC=BC，AD//BC.
∵是等边三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，
∴∠ABE=∠DCF=30°.
∴△ABE≌△DCF（ASA）.
∴BE=CF.
∵Rt△ABE中，∠ABE=30°.
∴.
∴. ①正确；
∵是等边三角形，
∴PC=PB=BC，
∴PC=DC.
∵∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°.
∵∠ADC=90°，
∴∠PDE=∠ADC－∠CDP=15°.②正确；
过点P作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，
∴，，
∴.③正确；
∵Rt△DCF中，∠DCF=30°.
∴.
∵AD//BC，
∴△DFH∽△BCH.
∴.
∴，④错误；
∵BE=CF，PB=PC，
∴PF=PE.
∵BD是正方形ABCD的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=45°.
∴∠EBD=∠ABD－∠ABE=15°=∠PDE.
∵∠PED=∠DEB，
∴△PED∽△DEB.
∴.
∴.⑤正确.
共有4个正确答案
故答案为：D.
【分析】由正方形性质和等边三角形性质得∠A=∠ADC=90°，AB=DC和∠ABE=∠DCF，利用ASA证得△ABE≌△DCF，可得BE=CF，再利用30°角的直角三角形的性质即可得判定①；由正方形性质和等边三角形性质得得∠DCP=30°，CD=CP，可求得∠CDP，从而可得∠PDE的度数，可判断②；过点P作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，分别表示出△PBC和△PCD的面积，即可判断③；利用AD//BC，得△DFH∽△BCH.从而可得DH：BH，根据同高的三角形面积比等于底边长之比可判断④；由BE=CF，PB=PC，得PF=PE.由△PED∽△DEB得，利用比例性质可得，可判断⑤.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，已知AB=3，B′C′=1，则正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比是　 　．
【答案】1：9
【解析】【解答】∵正六边形ABCDEF是由正六边形A'B'C'D'E'F'经过位似变换得到的，∴正六边形ABCDEF∽正六边形A'B'C'D'E'F'，∴正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比=（1：3）2=1：9．
故答案为1：9．
【分析】根据位似图形的性质可得：正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比=（1：3）2=1：9。
12．如图4，l1∥l2∥l3，AM＝2，MB＝3，CD＝4.5，则ND＝　 　，CN＝　 　.
【答案】2.7；4.5
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：ND=2.7，
∴CD=CN+ND=1.8+2.7=4.5．
故答案为：4.5．
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得比例式求解。
13．如图，点、、分别在正方形的边、、上，．若，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：在正方形中，∠BAD=∠B=90°，AB∥BC，
∴∠BAF+∠FAG=90°，AB=AD=6，
∵，
∴AG=5，
∵．
∴∠FAG+∠AGE=90°，
∴∠AGE=∠BAF，
∴△AEG∽△BFA，
∴，即，
解得：．
故答案为：
【分析】先证明△AEG∽△BFA，可得，即，求出即可。
14．如图，在⊙O中，C是弦AB上的点，AC=2，CB=8.连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O交于点D，DC的长为　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：延长DC交⊙O于点E，连接AD、BE，
∵OC⊥DE，
∴DC=CE，
∵∠D=∠B，∠ACD=∠ECB
∴△ADC∽△EBC
∴
∵AC CB=DC CE
∴DC2=2×8=16，
∵DC>0，
∴DC=4
故答案为：4.
【分析】延长DC交⊙O于点E，连接AD、BE，由垂径定理可知DC=CE，再由△ADC∽△EBC，利用对应边成比例构建方程即可解决问题.
15．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求PE+PF的值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】设AP=x，PD=4 x.
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；
∴△AEP∽△ADC，故 ①；
同理可得△DFP∽△DAB，故 ②
①+②得 = ，
∴PE+PF= .
【分析】根据题意得到△AEP∽△ADC，△DFP∽△DAB，再根据相似三角形的性质找出关系式解答.
16．如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD　 　 （填“是”或“不是”）位似图形．
【答案】是
【解析】【解答】解：∵E、P、F分别是AB、AC、AD的中点
∴△AFP∽△ADC，△APE∽△ACB
∴AF；AD=AP：AC，AP；AC=AE；AB
∴AF：AD=AP：AC=AE：AB
∴答案填：是．
【分析】根据位似图形概念，可把四边形分成两个三角形，得出AF：AD=AP：AC=AE：AB，即可确定两个四边形位似．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
；
．
【解析】【分析】（1）根据比例的两内项之积等于两外项之积，将比例式变形为等积式，进而再在等式两边同时除以2b即可求出 的值；
（2）将已知等式变形为用含b的式子表示a的形式得出，再将其代入待求式子，分子、分母分别合并后，约分化简即可.
（1），
，
；
（2），
，
；
．
18．
（1）解方程 ；
（2）已知 .求 的值.
【答案】（1）解：
，
，
∴ ，
（2）解：设 ， ，
∴原式
【解析】【分析】（1）根据因式分解法求解即可；（2）根据比例设 ， ， （t≠0），然后代入比例式进行计算即可得解.
19．如图，在 中，AD、BE分别是BC、AC边上的高， ，求 的值．
【答案】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴ = ，
∴ = ，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∵ ，
∴ = ，
∴ =（ ） =（ ）2= ．
【解析】【分析】先证明△ADC∽△BEC，可得=，再利用等量代换可得 = ，结合∠C=∠C，可证△CDE∽△CAB，结合，求出 = ，最后可求出 =（ ） =（ ）2= ．
20．为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度．
【答案】解：根据题意，可得∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，则△ABC∽△EDC，
所以＝，即＝，解得：AB＝33，
答：建筑物AB的高度为33m．
【解析】【分析】根据镜面反射的性质，结合∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，证得△ABC∽△EDC，再根据对应边的比相等，求得答案.
21．如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．
（1）当动点运动几秒时，△BDE与△ABC相似？
（2）设动点运动t秒时△ADE的面积为s，求s与t的函数解析式；
（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使CD⊥DE？若存在，求出时刻t；若不存在，请说明理由．
【答案】解：设D点运动时间为t，则AD=t，BD=4﹣t，BE=2t，CE=5﹣2t（0≤t≤），（1）当∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴BD：BA=BE：BC，即（4﹣t）：4=2t：5，∴t=；当∠BDE=∠BCA，即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA，∴BD：BC=BE：BA，即（4﹣t）：5=2t：4，∴t=；所以当动点运动秒或秒时，△BDE与△ABC相似；（2）过E作EF⊥AB于F，如图，易证Rt△BEF∽Rt△BAC，∴EF：AC=BF：AB=BE：BC，即EF：3=BF：4=2t：5，∴EF=，BF=，∴S=AD EF= t =t2（0≤t≤）；（3）存在．DF=AB﹣AD﹣BF=4﹣t﹣=4﹣t，若CD⊥DE，易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，∴AC：DF=AD：EF，即3：（4﹣t）=t：，∴t=．
【解析】【分析】设D点运动时间为t，则AD=t，BD=4﹣t，BE=2t，CE=5﹣2t（0≤t≤），
（1）分类：当∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB时，Rt△BDE∽Rt△BAC；当∠BDE=∠BCA，即DE⊥BC时，Rt△BDE∽Rt△BCA，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出t的值；
（2）过E作EF⊥AB于F，易证Rt△BEF∽Rt△BAC，根据三角形相似的性质得到比例线段用t表示EF，BF，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）先计算出DF=AB﹣AD﹣BF，若CD⊥DE，则易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出t．
22．在边长为3的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A4，D重合)，射线BE与射线CD交于点F.
（1）若ED=1，求DF的长；
（2）求证：AE·CF=9；
（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG=ED，求ED的长.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，AB=AD=BC=CD=3，
∴△AEB∽△DEF，
∴，则
∴DF=
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠F，
又∵∠A=∠C=90°，
∴△ABE∽△CFB，
∴
∴AE·CF=AB·BC=9
（3）解：设ED=EG=x，
则AE=AD-DE=3-x，
BE=BG+GE=BC+GE=3+x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴，
∴，即ED=
【解析】【分析】（1）根据已知条件证明△AEB∽△DEF，根据相似三角形的性质得到，进而即可求出DF的长；
（2）根据平行线的性质得到∠ABE=∠F，再根据已知条件证明△ABE∽△CFB，根据相似三角形的性质得到，进而即可证明AE·CF=9；
（3）设ED=EG=x，则AE=AD-DE=3-x，根据勾股定理即可得到答案。
23． 如图，在中，、分别是边、的中点，是延长线上一点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求证：∽．
【答案】（1）解：、分别是、的中点，
，，
，
，而，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
，
，
，
∽．
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线求出 ，， 再根据平行线的性质计算求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出 ， 再求出 ， 最后根据相似三角形的判定方法证明求解即可。
24．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与直线AD相交于点，点的坐标为.
（1）求直线AD的函数表达式.
（2）AD与轴相交于点，若是直线AD上的一个动点（不与点B重合），当与相似时，求点的坐标.
【答案】（1）解：设直线AD的函数表达式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
解之：
∴
（2）解：∵直线AD的函数解析式为，
∴当y=0时，，
解之：x=-2，
∴点B（-2，0）
在Rt△BOD中，
，
∵ 直线与轴相交于点，
∴当y=0时-x+3=0
解之：x=3，
∴点C（3，0），
∴BC=|-2-3|=5
∵△BOD是直角三角形，
∴△BCE也是直角三角形，
∵∠CBE=∠DBO，
∴当∠BEC=∠BOD=90°时，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵△BOD∽△BEC，
∴，
∴，
解之：，
∴即
解之：EH=2，
当y=2时，
解之：x=2，
∴点E的坐标为（2，2）；
当∠BOD=∠BCE=90°时
∴即
解之：，
∴点E的坐标为
∴点E的坐标为或
【解析】【分析】（1）设直线AD的函数表达式为y=kx+b（k≠0），将点A，D的坐标代入函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值.
（2）利用两函数解析式求出点B，C的坐标，利用勾股定理求出BD的长，同时求出BC的长；再利用相似三角形的判定，可知角形，∠CBE=∠DBO，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，分情况讨论：当∠BEC=∠BOD=90°时，过点E作EH⊥x轴于点H；当∠BOD=∠BCE=90°时；分别利用相似三角形的性质可求出点E的坐标.
25．已知正方形 的对角线 ， 相交于点 ．
（1）如图1， ， 分别是 ， 上的点， 与 的延长线相交于点 ．若 ，求证： ；
（2）如图2， 是 上的点，过点 作 ，交线段 于点 ，连结 交 于点 ，交 于点 ．若 ，
①求证： ；
②当 时，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴AC⊥BD，OD=OC.
∴∠DOG=∠COE=90°.
∴∠OEC+∠OCE=90°.
∵DF⊥CE.
∴∠OEC+∠ODG=90°.
∴∠ODG=∠OCE.
∴△DOG≌△COE（ASA）.
∴OE=OG.
（2）①证明∵OD=OC，∠DOG=∠COE=90°.
又OE=OG.
∴△DOG≌△COE（SAS）.
∴∠ODG=∠OCE.
②解：设CH=x，
∵四边形ABCD是正方形，AB=1
∴BH=1-x
∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°
∵EH⊥BC
∴∠BEH=∠EBH=45°
∴EH=BH=1-x
∵∠ODG=∠OCE
∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE
∴∠HDC=∠ECH
∵EH⊥BC
∴∠EHC=∠HCD=90°
∴△CHE∽△DCH
∴=.
∴HC2=EH·CD
得x2+x-1=0
解得x1=，x2= （舍去）.
∴HC=.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可根据三角形全等的判定ASA和性质即可.
（2）①同（1）中，利用上面的结论，根据SAS可证的结论.
②设CH=x，然后根据正方形的性质和相似三角形的判定于性质可得=，然后列方程求解即可.
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