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2025-2026学年上海市虹口区迅行中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．如果，且是、的比例中项，那么等于（　　）
A． B． C． D．
2．已知△中，，，，那么下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知二次函数（其中、、为常数，且的自变量与函数的对应值如下表，根据表中的数据，下列说法正确的是（　　）
1 2 3
0 0
A．函数图象开口向下 B．对称轴是直线
C． D．
4．已知，求作，那么下列作图正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．将两个完全相同的等腰直角三角形与△摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△，那么图中一定相似的三角形是（　　）
A．△与△ B．△与△ C．△与△ D．△与△
6．关于直角三角形有如下两个命题：
①如果两个直角三角形相似，那么它们的斜边之比等于斜边上的高之比；
②如果两个直角三角形的斜边之比等于斜边上的高之比，那么这两个直角三角形相似．
下列说法正确的是（　　）
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知，则的值为 　　 ．
8．化简：　　．
9．已知点是线段上一点，并且，如果，那么的长为　　 ．
10．如图，，，，，那么的长为　　 ．
11．二次函数，如果，，，则该图象一定不经过第　　 象限．
12．如图，斜坡长为100米，坡角，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡改造成坡度的斜坡、、三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了 　　 米．（结果保留根号）
13．如图，点、都在格点上（网格小正方形的边长为，点是线段与网格线的交点，则的长为　　 ．
14．给定△，现进行如下操作：
①如图（1）所示，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，联结两弧两个交点的线段交于点，联结；
②如图（2）所示，取上一点，联结交于，并使得能平分；
③过点作的平行线交于点，作交于点．
　　 ．
15．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 　　 ．
16．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数的图象于另一点，连接，若点为的中点，则的值为　　 ．
17．如图，在△中，，，，点、分别是边、的中点，联结．将△绕点顺时针方向旋转，点、的对应点分别是点、．如果点落在线段上，那么线段　　 ．
18．如图，等腰△中，，，为的中点，将一块三角板的角顶点放在点处，让三角板的两边分别交两腰、于点、，，那么　　 ．
三、简答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，在梯形中，点、分别在边、上，，与交于点，，，．
（1）直接写出的长；
（2）设，，在图中画出在和方向上的分向量，并直接用和的线性组合表示；
（3）　　 （用向量、表示）．
21．（10分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹．
（1）在图1中作出边上的高；
（2）在图2中作出△的重心；
（3）在图3中作出边上的点，使得．
22．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 （1）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． （2）已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线． （3）为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度角（度907560453015
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米， ①　　 ；　　 ； ②请求出此时影子的长度；
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由；
任务3 探究合理范围 小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请你通过计算后直接写出的取值范围：　　 ．
23．（12分）已知：如图，在△中，点、分别在边、上，，平分．
（1）求证：；
（2）如果，求证：△△．
24．（12分）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，点在点的右侧，直线分别与、轴交于、两点，其中．
（1）求、两点的横坐标；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求的值；
（3）二次函数图象的对称轴与轴交于点，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
25．（14分）如图，已知在等腰△中，，，，垂足为，点是边上一点（不与，重合）．
（1）求边的长；
（2）如图2，延长交的延长线于点，如果，求线段的长；
（3）过点作，垂足为，交于点，联结，如果△和△相似，求线段的长．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．如果，且是、的比例中项，那么等于（　　）
A． B． C． D．
解：，且是、的比例中项，
．
故选：．
2．已知△中，，，，那么下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：△中，，，，
，
、，选项计算错误，不符合题意；
、，选项计算错误，不符合题意；
、，选项计算错误，不符合题意；
、，选项计算正确，符合题意．
故选：．
3．已知二次函数（其中、、为常数，且的自变量与函数的对应值如下表，根据表中的数据，下列说法正确的是（　　）
1 2 3
0 0
A．函数图象开口向下 B．对称轴是直线
C． D．
解：由表格数据得：，
解得：，
，
．，
开口向上，错误，不符合题意；
．对称轴为直线，错误，不符合题意；
．，正确，符合题意；
．，，，，错误，不符合题意；
故选：．
4．已知，求作，那么下列作图正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：，
或．
第一个图作出的为，正确，符合题意；
第二个图作出的为，但是所求线段，所以图形不能画出，错误，不符合题意；
第三个图作出的为，但是所求线段，所以图形不能画出，错误，不符合题意；
第四个图作出的为，即，错误，不符合题意，
综上所述，列作图正确的有1个．
故选：．
5．将两个完全相同的等腰直角三角形与△摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△，那么图中一定相似的三角形是（　　）
A．△与△ B．△与△ C．△与△ D．△与△
解：△△
理由：△与△都为等腰直角三角形，
，
△△，
故选：．
6．关于直角三角形有如下两个命题：
①如果两个直角三角形相似，那么它们的斜边之比等于斜边上的高之比；
②如果两个直角三角形的斜边之比等于斜边上的高之比，那么这两个直角三角形相似．
下列说法正确的是（　　）
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
解：相似三角形对应边上高的比等于相似比，由此得到如果两个直角三角形相似，那么它们的斜边之比等于斜边上的高之比，故①是真命题，
如果两个直角三角形的斜边之比等于斜边上的高之比，那么这两个直角三角形不一定相似，故②是假命题．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知，则的值为 ．
解：，
，
．
故答案为：．
8．化简：　　．
解：．
故答案为：．
9．已知点是线段上一点，并且，如果，那么的长为 ．
解：设，则．
由得，
解方程得，
故（负值舍去），
故答案为：．
10．如图，，，，，那么的长为 ．
解：，，，，
，即，
即，
．
故答案为：．
11．二次函数，如果，，，则该图象一定不经过第　三　 象限．
解：由条件可知二次函数图象开口向上，
，则图象必经过第一象限，
，则与的符号相同，则图象同时经过二、三象限，或一、四象限，
与轴交点在轴正半轴，则图象同时经过一、二象限，
综上可得：该图象一定经过一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三．
12．如图，斜坡长为100米，坡角，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡改造成坡度的斜坡、、三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了 米．（结果保留根号）
解：在△中，，
，，
斜坡的坡度，
，
，
则，
故答案为：．
13．如图，点、都在格点上（网格小正方形的边长为，点是线段与网格线的交点，则的长为 ．
解：如图：，，
，
在△中，，，
则：，
，
，
；
故答案为：．
14．给定△，现进行如下操作：
①如图（1）所示，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，联结两弧两个交点的线段交于点，联结；
②如图（2）所示，取上一点，联结交于，并使得能平分；
③过点作的平行线交于点，作交于点．
．
解：①由能平分，则点为的中点，即为中线；
②由作法可知：所作的是线段的垂直平分线，为中线；则中线和中线的交点为△重心，即正确，不符合题意；
由题意可知，
，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，即选项正确；
，，
△△，
．
故答案为：．
15．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是或12　 ．
解：如图1，△为等腰直角三角形，，
则，
；
如图2，△为等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：这个直角梯形的面积为：或12，
故答案为：或12．
16．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数的图象于另一点，连接，若点为的中点，则的值为 ．
解：过点作轴于点，过点作轴于点，则△△，如图所示．
△△，
，
，
．
，点为的中点，
，
△为等边三角形，
，，
故答案为：．
17．如图，在△中，，，，点、分别是边、的中点，联结．将△绕点顺时针方向旋转，点、的对应点分别是点、．如果点落在线段上，那么线段 ．
解：点、分别是边、的中点，
，，，
，，，
将△绕点顺时针方向旋转，
，，，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
△△，
，
，
故答案为：．
18．如图，等腰△中，，，为的中点，将一块三角板的角顶点放在点处，让三角板的两边分别交两腰、于点、，，那么 ．
解：连联结，作与点，于点，
，，为的中点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
△△，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
故答案为：．
三、简答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：
．
20．（10分）如图，在梯形中，点、分别在边、上，，与交于点，，，．
（1）直接写出的长；
（2）设，，在图中画出在和方向上的分向量，并直接用和的线性组合表示；
（3） （用向量、表示）．
解：（1），
，，
，
，
，
，，，，
△△，△△，
，，
，，
，，
，，
；
（2）作交于点，在和方向上的分向量如图所示：
，，
四边形是平行四边形，
，
，
；
（3），
又，
，
，
故答案为：．
21．（10分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹．
（1）在图1中作出边上的高；
（2）在图2中作出△的重心；
（3）在图3中作出边上的点，使得．
解：（1）如图1中，线段即为所求；
（2）如图2中，点即为所求；
（3）如图3中，点即为所求．
22．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 （1）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． （2）已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线． （3）为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度角（度907560453015
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米， ①　2米　 ；　　 ； ②请求出此时影子的长度；
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由；
任务3 探究合理范围 小明打算在这天露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请你通过计算后直接写出的取值范围：　　 ．
解：任务1：①如图2.1，过点作于点，过点作于点，
四边形为矩形，
米，米，
米，
米，
（米，
，
故答案为：2米；；
②，
，，，，
，
，
四边形为矩形，
米．
在△中，，
又，
，
解得：米，
此时影子的长度为米；
任务2：小明会被照射到．理由如下：
方法
如图2.2，过点作交于点．
由（1）知，，
在△中，米，米，
米．
在△中，米，
在△中，米，
在△中，当时，米，
小明刚好被照射到时离点的距离为，
小明会被照射到；
方法2：如图2，过点作交于点，
与方法1同理得，得米，
米，
在△中，，
小明会被照射到；
任务3：由任务2知，当时，．
由任务1知，，
当时，取得最小值，也即为时的长度，
在△中，，
，
，
综上，，
故答案为：．
23．（12分）已知：如图，在△中，点、分别在边、上，，平分．
（1）求证：；
（2）如果，求证：△△．
【解答】证明：（1），
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
△，
，
，
，
；
（2），，，
，
，
又，
△△，
，
即，
又，
△△．
24．（12分）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，点在点的右侧，直线分别与、轴交于、两点，其中．
（1）求、两点的横坐标；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求的值；
（3）二次函数图象的对称轴与轴交于点，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：（1）将二次函数与一次函数联立得：，
解得：和2，
故点、的坐标横坐标分别为1和2；
（2），
①当时，
即：，解得：（舍去；
②当时，
，解得：或；
故的值为：或或；
（3）存在，理由：
①当点在轴上方时，
过点作于点，将的图形放大见右侧图形，
过点作的角平分线交于点，过点作于点，过点作轴于点，
图中：点、点，则，，
设：，则，
则，，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
在中，，
解得：，
此时，则，故：舍去正值，
故；
②当点在轴下方时，
同理可得：，
解得：或，
此时，，故舍去，
故的值为：或．
25．（14分）如图，已知在等腰△中，，，，垂足为，点是边上一点（不与，重合）．
（1）求边的长；
（2）如图2，延长交的延长线于点，如果，求线段的长；
（3）过点作，垂足为，交于点，联结，如果△和△相似，求线段的长．
【解答】解（1）如图1，过点作于，
，
，
，
在△中，，
，
根据勾股定理得，，
，
，
；
（2），
，
，
，
由（1）知，，
，
，
在△中，，
，
根据勾股定理得，，
，
，
，
如图2，过点作交于，
△△，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
；
（3）如备用图，
在△中，根据勾股定理得，，
，
，
，
△△，
，
，，
，
，
设，则，
根据勾股定理得，，
在△中，，
，
根据勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△和△相似，
①当△△时，
，
，
，
，
，
，
，
②当△△时，，
，
，
，
，
，
即的长为或．

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