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相交线与平行线 单元质量检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．下列各图中，∠AOB和∠COD是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列语句正确的有（　　）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A． 测量跳远成绩
B． 木板上弹墨线
C． 两钉子固定木条
D． 弯曲河道改直
5．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1=50°，那么∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．如图，下列5种说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是同位角；⑤∠2与∠5是内错角．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列说法正确的是（　　）
A．两点之间，直线最短
B．过一点有一条直线平行于已知直线
C．和已知直线垂直的直线有且只有一条
D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
8．如图，已知直线平移后得到直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1=130°，则∠2等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图，已知A1B∥AnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于（　　）
A．180°n B．(n＋1)·180°
C．(n－1)·180° D．(n－2)·180°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图 ，已知∠ACB=60°， ∠ABC=50°，OB、OC 分别平分∠ABC、∠ACB，且EF∥BC，EF 过点 O，则∠BOC=　 　．
12．平移线段AB，使点B移动到点C的位置，若AB=10cm，BC=8cm，则点A移动的距离是　 　 cm．
13．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD．当∠AOC= 30°时，∠BOD=　 　
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOE＝65°，则∠BOF的度数是　 　．
15．如图，将△ABC向左平移3得到△DEF，AB、DF交于点G，AB=5，AC=4，BF=2，那么四边形ADEC的周长是 　 　 ．
16．如图，已知 ， 、 为 上的两点， 、 为 上的两点，延长 于点 ， 平分 ，点 在直线 上，且 平分 ，若 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④设 ， ；⑤ 的度数为50°．其中正确结论为　 　．（填序号）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知：如图， ，求证： .
18． 如图，，平分．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）求的度数．
19．在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．，．
（1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，求的度数；
（2）如图2，小红将等腰直角三角板放在一组平行的直线与之间，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，求的度数．
20．如图，已知直线，，E、F在上，且满足．平分．
（1）求的度数．
（2）在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．
21． 已知：如图， ， .
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分 ， ，求 的度数.
22．直线a， b， c， d的位置如图所示， 已知
（1）直线 a与b平行吗 请说明理由；
（2）求∠4的度数.
23．已知， ，为射线上一点，平分．
（1）如图1，当点为线段上时，求证：；
（2）如图2，当点为线段延长线上时，连接，若，．
①求证：；
②求的度数．
24．直线交于M、N，P点是直线上一个动点
（1）如图a，P点在线段上时，若，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图b，P点在射线上时，若时，证明、与的关系．
25．问题情境：
（1）如图①，已知，，，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得______；
问题迁移：
（2）图②，图③均是由一块三角尺和一把直尺拼成的图形，三角尺的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．
①如图②，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如图③，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由．
拓展延伸：
（3）当点在，两点之间运动时，若，的平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．
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相交线与平行线 单元质量检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】D
【解析】【解答】解：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据定义，结合图形，∠1的同位角是∠5.
故答案为：D.
【分析】利用同位角的定义：在两条直线的同一侧，在第三条直线的同一旁的两个角是同位角，再观察图形，可得答案.
2．下列各图中，∠AOB和∠COD是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角”可得，
A、∠AOB和∠COD不是对顶角，不符合题意；
B、∠AOB和∠COD是对顶角，符合题意；
C、∠AOB和∠COD不是对顶角，不符合题意；
D、∠AOB和∠COD不是对顶角，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可。
3．下列语句正确的有（　　）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，还有重合；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；
故选：D．
【分析】根据任意两条直线的位置关系是相交、平行和重合；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．
4．用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A． 测量跳远成绩
B． 木板上弹墨线
C． 两钉子固定木条
D． 弯曲河道改直
【答案】A
【解析】【解答】解：
A、运用了垂线段最短，A符合题意；
BCD、运用了两点间线段最短，BCD不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据垂线段最短，两点间线段最短即可求解。
5．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1=50°，那么∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=90°﹣50°=40°．
故选B．
【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
6．如图，下列5种说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是同位角；⑤∠2与∠5是内错角．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①与不是内错角，原说法错误；
②与是同位角，原说法正确；
③与是同旁内角，原说法正确；
④与是同位角，原说法错误；
⑤∠2与∠5是内错角，原说法正确．
正确的个数有②③⑤，共3个，
故答案为：C
【分析】根据同位角： 当两条直线被第三条直线（ 称为横截线） 所截时， 位于这两条被截直线同一侧， 并且在横截线同一侧的两个角被称为同位角。 简单来说， 就是“F”形状中的两个角， 它们位于横截线的同一侧， 并且分别位于被截直线的两侧。 内错角：当两条直线被第三条直线所截时， 位于这两条被截直线之间（ 即内部） ， 并且在横截线两侧的两个角被称为内错角。 它们看起来像是一个“Z”形状中的两个角， 分别位于横截线的两侧和被截直线的内部。 同旁内角： 当两条直线被第三条直线所截时， 位于这两条被截直线之间（ 即内部） ， 并且在横截线同一侧的两个角被称为同旁内角。 它们看起来像是一个“U”形状中的两个角， 都位于横截线的同一侧和被截直线的内部，进而即可求解。
7．下列说法正确的是（　　）
A．两点之间，直线最短
B．过一点有一条直线平行于已知直线
C．和已知直线垂直的直线有且只有一条
D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【答案】D
【解析】【解答】解：A、应为两点之间线段最短，故本选项错误；
B、应为过直线外一点有且只有一条一条直线平行于已知直线，故本选项错误；
C、应为在同一平面内，和已知直线垂直的直线有且只有一条，故本选项错误；
D、在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线正确，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据线段的性质，平行公理垂线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
8．如图，已知直线平移后得到直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点B作a∥b∥BC，
∴∠1＋∠ABC=180°，∠CBD=∠3，
∵，，
∴∠CBD=∠3=140°-（180°-65°）=25°，
故答案为：D
【分析】过点B作a∥b∥BC，根据平行线的性质得到∠1＋∠ABC=180°，∠CBD=∠3，再结合题意即可求出∠3的度数。
9．如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1=130°，则∠2等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠3=∠2，
又∵∠3=180﹣∠1=180°﹣130°=50°，
所以∠2=50°．
故选C．
【分析】因为a∥b，所以∠3=∠2，又因为∠3=180﹣∠1，所以可求出∠3，也就求出了∠2．
10．如图，已知A1B∥AnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于（　　）
A．180°n B．(n＋1)·180°
C．(n－1)·180° D．(n－2)·180°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……
∵A1B∥AnC，
∴A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，
∴∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….
∴∠A1＋∠A1A2A3＋…＋∠An－1AnC＝(n－1)·180°.
故答案为：C.
【分析】过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……根据平行的传递性得A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，再由平行线的性质得∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….将所有式子相加即可得证.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图 ，已知∠ACB=60°， ∠ABC=50°，OB、OC 分别平分∠ABC、∠ACB，且EF∥BC，EF 过点 O，则∠BOC=　 　．
【答案】125°
【解析】【解答】解：∵OB、OC 分别平分∠ABC、∠ACB ， ∠ACB=60°， ∠ABC=50°，
∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=30°，
∵EF∥BC，
∴∠FOB=∠OBC=25°，∠EOC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=180°-∠FOB-∠EOC=125°.
故答案为125°.
【分析】利用角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=30°，根据平行线的性质可得∠FOB=∠OBC=25°，∠EOC=∠OCB=30°，由平角定义即可求出∠BOC的度数.
12．平移线段AB，使点B移动到点C的位置，若AB=10cm，BC=8cm，则点A移动的距离是　 　 cm．
【答案】8
【解析】【解答】解：由题意得：AD=BC=8cm，
∴点A移动的距离是8cm．
故答案为：8．
【分析】图形平移后，AB平移到线段CD，点A平移到点D，则A和D是对应点，B和C是对应点，则AD=BC可求．
13．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD．当∠AOC= 30°时，∠BOD=　 　
【答案】60°或 120°
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当OC，OD在直线AB的同侧时，如图1，
∵OC⊥OD，
∴∠COD= 90°，
又∵∠AOC=30°，
∴∠BOD= =180°-∠COD-∠AOC= 60°；
②当OC，OD在直线AB的异侧时，如图2，
∵OC⊥OD，∠AOC=30°，
∴∠AOD= 60°，
∴∠BOD=180°-∠AOD= 120°，
∴∠BOD=60°或 120°.
故答案为：60°或 120°.
【分析】分两种情况讨论：①当OC，OD在直线AB的同侧时，②当OC，OD在直线AB的异侧时，分别根据垂线的定义和平角的定义求出∠BOD的度数，即可得出答案.
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOE＝65°，则∠BOF的度数是　 　．
【答案】40°
【解析】【解答】解：∵OE平分∠AOD，∠AOE＝65°，
∴∠AOD=2∠AOE＝130°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=50°，
∵OF⊥CD，
∴∠FOD=90°，
∴∠BOF=90°-∠BOD=40°，
故答案为：40°.
【分析】根据角平分线求出∠AOD=2∠AOE＝130°，再求出∠FOD=90°，最后计算求解即可。
15．如图，将△ABC向左平移3得到△DEF，AB、DF交于点G，AB=5，AC=4，BF=2，那么四边形ADEC的周长是 　 　 ．
【答案】20
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：AD=CF=3，EF=BC，DE=AB，
∴EF=BC=BF+CF=5，
∴EC=EF+CF=8，
∴四边形ADEC的周长=AD+DE+EC+AC=3+5+8+4=20，
故答案为：20．
【分析】根据平移的性质先求出AD=CF=3，EF=BC，DE=AB，再求出EF=5，最后求解即可。
16．如图，已知 ， 、 为 上的两点， 、 为 上的两点，延长 于点 ， 平分 ，点 在直线 上，且 平分 ，若 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④设 ， ；⑤ 的度数为50°．其中正确结论为　 　．（填序号）
【答案】①②③⑤
【解析】【解答】∵ 平分 ，
∴ ，故①符合题意；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故②符合题意；
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③符合题意；
设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，故④不准确；
设 ，由④可知 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴ ，
，故⑤符合题意；
故正确的是①②③⑤；
故答案是①②③⑤．
【分析】根据平行线的性质定理及角平分线的定义，求解判断即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知：如图， ，求证： .
【答案】证明：∵ （对顶角相等），
（已知）
∴ （等量代换）
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
【解析】【分析】根据题意，由等量代换，即可得到∠2+∠3=180°，即可得到直线a与直线b平行。
18． 如图，，平分．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）求的度数．
【答案】（1）解：，
，
.
（2）解：，
，
平分 ，
，
，
，
.
【解析】【分析】(1)利用对顶角性质可得，进而证得.
(2)利用邻补角的定义求得的度数，进而求得的度数，再通过平行线的性质得到的度数．
19．在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．，．
（1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，且，求的度数；
（2）如图2，小红将等腰直角三角板放在一组平行的直线与之间，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，求的度数．
【答案】（1）解：由三角板的性质可知：，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
由三角板的性质可知：，，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】本题考查三角板中的角度计算与平行线性质的结合应用。
(1)先根据三角板的固有角度得到，再利用“两直线平行，内错角相等”由得到，最后通过角的差计算出结果；
(2)根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到直线、间相关角的和为，结合三角板的直角和角，求出的度数，再代入的度数求出。
（1）解：由三角板的性质可知：，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
由三角板的性质可知：，，
∴，
∵，
∴．
20．如图，已知直线，，E、F在上，且满足．平分．
（1）求的度数．
（2）在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
，
（2）解：存在，理由如下：
设
，
，
若，则
存在，
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同旁内角互补得∠ABC+∠C=180°，结合已知∠C=100°，可知∠ABC=80°；再由已知∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF，所以可以推出∠DBE=40°；
（2）先设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°，由平行线性质可知∠BEC=∠ABE，∠ADC+∠A=180°，所以可以推出∠BEC=x°+40°，∠ADC=80°，进而推出∠ADB=80°-x°；如果∠BEC=∠ADB，那么就会得到：x°+40°=80°-x°，进而解出方程，求出x的值；经检验，x的值符合实际情况，所以说明这种情况是存在的，进而可以求出∠BEC=∠ADB=60°.
21． 已知：如图， ， .
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分 ， ，求 的度数.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴
（2）解：∵平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴
【解析】【分析】（1）由线平行得到角互补，即，然后结合条件可知，根据内错角相等，两直线平行可知GD与CA是平行关系；
（2）根据平行线的性质，得到. 根据角平分线的定义，可得到 即再根据平行线的性质即可得出 的度数， 然后根据两直线平行，同位角相等解答即可
22．直线a， b， c， d的位置如图所示， 已知
（1）直线 a与b平行吗 请说明理由；
（2）求∠4的度数.
【答案】（1）解：直线，理由如下：
∵，，
∴，
∴直线；
（2）解：如图所示，
∵直线，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】
（1）根据同位角相等，两直线平行证明结论即可；
（2）根据两直线平行，同位角相等得到的度数，再根据领补角的定义解答即可．
23．已知， ，为射线上一点，平分．
（1）如图1，当点为线段上时，求证：；
（2）如图2，当点为线段延长线上时，连接，若，．
①求证：；
②求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
．
（2）解：①证明：， ，
， ，
②解：，设，
， ，
，
，
，
平分，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质及等量代换可得；
（2）①利用平行线的性质可得，，再求出即可；
②设，则， ，再利用角平分线的定义可得，再结合，求出，可得，，再利用平行线的性质求出即可.
24．直线交于M、N，P点是直线上一个动点
（1）如图a，P点在线段上时，若，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图b，P点在射线上时，若时，证明、与的关系．
【答案】（1）解：，理由如下：
过点P作
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴；
（2）证明：，理由如下：
过点P作，
∵
∴
∴
∵
∴．
【解析】【分析】本题考查平行线的判定和性质。（1）过点P作PQ∥AB，则∠APQ=∠A，根据∠A+∠PCD=∠APC=∠APQ+∠CPQ可得：∠PCD=∠CPQ（内错角相等，两直线平行），有PQ∥CD，根据平行线的传递性，可知AB∥CD；
（2） 过点P作PG∥AB， 根据 AB∥CD ，可得PG∥AB∥CD，则有，结合可得：．
25．问题情境：
（1）如图①，已知，，，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得______；
问题迁移：
（2）图②，图③均是由一块三角尺和一把直尺拼成的图形，三角尺的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．
①如图②，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如图③，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由．
拓展延伸：
（3）当点在，两点之间运动时，若，的平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】解：（1）；
（2）①，理由：
如图②，作过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
②，理由：如图，过点作，
则，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3），理由：
如图，
理由：由（2）①可得，，
∵，的平分线，相交于点，
，
∴．
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先过点P作，则，再利用平行线的性质可得，再利用角的运算求解即可；
（2）①过点P作，利用平行线的性质可得，再利用角的运算求解即可；
②过P作，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算求解即可；
（3）过P和N分别作的平行线，利用平行线的性质以及角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换求解即可.
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