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2025-2026学年上海市华东师大二附中七年级（上）期中数学试卷
考试注意事项：
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（每题3分，共18分）
（多选）1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知，，那么的值是（　　）
A．48 B．24 C．72 D．36
3．在整式中，最高次项的系数和常数项分别为（　　）
A．4和 B．和 C．1和 D．1和8
4．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（　　）
A．且 B． C． D．且
5．若等式对任意恒成立，，，为常数，则的值为（　　）
A． B．22 C． D．14
6．已知，则的值是（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
二、填空题（每题2分，共24分）
7．（2分）计算：　　 ．
8．（2分）整式与的和是，那么　　 ．
9．（2分）因式分解：　　 ．
10．（2分）计算：　　 ．
11．（2分）若，则所满足的条件是　　 ．
12．（2分）若单项式与是同类项，则　　 ．
13．（2分）若，那么　　 ．
14．（2分）已知，则　　 ．
15．（2分）若关于的整式是某个整式的平方，则常数的值为　　 ．
16．（2分）计算：　　 ．
17．（2分）已知，，则　　 ．
18．（2分）若整数不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有　　 个“孤立数”
三、解答题（共9题58分）
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：．
21．（5分）计算：．
22．（5分）因式分解：．
23．（5分）因式分解：．
24．（6分）先化简，再求值：，其中．
25．（6分）小吴做一道题：已知两个整式、，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案．
26．（6分）为提高水资源的利用率，某校区安装了循环用水装置，经测算，原来天用水吨，安装了循环用水装置之后这些水恰可以多用天，则该小区现在每天平均用水量比平时多多少吨？当，时，每天用水量比原来少多少吨？
27．（7分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　　；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
28．（8分）阅读材料：如果将为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
，它只有一项，系数为
，它有两项，系数分别为1，1；
它有三项，系数分别为1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表．
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角．
（1）应用规律：
①直接写出的展开式，　　 ；
②先化简，再求值：，其中．
（2）杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，和，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即，若且，则的值为　　 （用表示）．
参考答案
一、选择题（每题3分，共18分）
（多选）1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下：
、，是因式分解，符合题意；
、右边结果不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
、是多项式与多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意；
、属于因式分解，符合题意．
故选：．
2．已知，，那么的值是（　　）
A．48 B．24 C．72 D．36
解：根据题意可知，，，
即，，
原式
．
故选：．
3．在整式中，最高次项的系数和常数项分别为（　　）
A．4和 B．和 C．1和 D．1和8
解：在整式中，最高次项是，其系数是4，常数项是，
故选：．
4．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（　　）
A．且 B． C． D．且
解：，分式的值是非负数，
，即．
的取值范围是．
故选：．
5．若等式对任意恒成立，，，为常数，则的值为（　　）
A． B．22 C． D．14
解：原式，
，，，
．
故选：．
6．已知，则的值是（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
解：由题意可得：
．
设，则，，
代入得：，
展开：左边，
右边，
，
移项得：，
即，
，，
，
．
故选：．
二、填空题（每题2分，共24分）
7．（2分）计算： ．
解：原式．
故答案为：．
8．（2分）整式与的和是，那么 ．
解：整式与的和是，
由题意，
．
故答案为：．
9．（2分）因式分解： ．
解：通过寻找两个数，它们的乘积为常数项24，且和为一次项系数，利用十字相乘法分解因式可得：
．
故答案为：．
10．（2分）计算： ．
解：
．
故答案为：．
11．（2分）若，则所满足的条件是 ．
解：，
．
解得．
故答案为：．
12．（2分）若单项式与是同类项，则 ．
解：由同类项的定义可知，，
解得，，
．
故答案为：．
13．（2分）若，那么 ．
解：由题意可得：
，
．
．
，
故答案为：．
14．（2分）已知，则 ．
解：原式，
由已知，得，
，
代入上式：．
故答案为：．
15．（2分）若关于的整式是某个整式的平方，则常数的值为或 ．
解：若关于的整式是某个整式的平方，
．
，
的值为或．
故答案为：或．
16．（2分）计算： ．
解：先计算乘方运算和乘法运算，再进行加法运算可得：
．
故答案为：．
17．（2分）已知，，则 ．
解：由条件得；，
将两式相加，得，所以；
将两式相减，得，所以，
所求表达式为，
，
代入已知值可得：，
将，代入得．
故答案是：．
18．（2分）若整数不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有　50　 个“孤立数”
解：根据题意，为孤立数当且仅当为整数），
绝对值小于100的整数中，要满足为整数），最小可取，最大可取24，
故满足条件的孤立数共有50个．
故答案为：50．
三、解答题（共9题58分）
19．（5分）计算：．
解：原式
．
20．（5分）计算：．
解：先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项可得：
．
21．（5分）计算：．
解：
．
22．（5分）因式分解：．
解：．
23．（5分）因式分解：．
解：原式
．
24．（6分）先化简，再求值：，其中．
解：
，
，
原式．
25．（6分）小吴做一道题：已知两个整式、，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案．
解：将看成，求得结果为，
，，
，
，
．
26．（6分）为提高水资源的利用率，某校区安装了循环用水装置，经测算，原来天用水吨，安装了循环用水装置之后这些水恰可以多用天，则该小区现在每天平均用水量比平时多多少吨？当，时，每天用水量比原来少多少吨？
解：．
当，，
（吨．
答：该小区现在每天平均用水量比平时少吨，当，时，每天用水量比原来少11.25吨．
27．（7分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　　；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
解：（1）因为第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
故答案为：；
（2）第个等式：，
证明：左边，
右边
，
左边右边．
等式成立．
28．（8分）阅读材料：如果将为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
，它只有一项，系数为
，它有两项，系数分别为1，1；
它有三项，系数分别为1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表．
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写，以此确定的展开式．该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角．
（1）应用规律：
①直接写出的展开式， ；
②先化简，再求值：，其中．
（2）杨辉三角和斐波那契数列有着密切的联系，如图，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，和，该数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即，若且，则的值为　　 （用表示）．
解：（1）①的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1，
．
故答案为：；
②
，
，
原式
．
（2），
，
，
，
，
．
故答案为：．

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