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直线与圆的位置关系 单元复习提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 已知⊙O 的半径为 cm，直线l与⊙O 有公共点，且直线l 和圆心O 的距离为d cm，则d满足的条件是(　　)
A． B． C． D．
2．某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，⊙ 的直径 和 是它的两条切线， 切⊙ 于 ，交 于 ，交 于 ，则四边形 的面积 的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
4．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连结OD．若，则∠AOD的度数为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（　　）
A．120° B．125° C．135° D．150°
7．如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧 上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（　　）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
10．如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D。下列结论不一定成立的是（　　）
A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为　 　．
12．如图，以BC为直径的半圆与AC相切于点，交AB于点．若，则　 　.
13．直角三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为　 　．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为　 　.
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为　 　．
16．如图 ，在直角边分别为 和 的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有 个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为 ， ， ， ， ，则 　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，OP=4．
（1）求∠POA的度数；
（2）计算弦AB的长．
18． 如图，已知∠BAC=90°，AB=AC，直线l 与以AB 为直径的圆相切于点B，点E 是圆上异于点A，B的任意一点，直线AE 与l 相交于点D.
（1）如果AD=10，BD=6，求 DE 的长.
（2）连接CE，过点 E 作CE 的垂线交直线AB 于点 F，当点 E 在什么位置时，相应的点 F 位于线段AB 上、位于AB 的延长线上(写出结果，不要求证明) 无论点 E 如何变化，总有BD=BF.请你就上述三种情况任选一种说明理由.
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tanB= ，求线段CF、PC的长．
20．如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点， 连结 ， 且 ．
（1） 判断 与 的位置关系， 并说明理由．
（2） 若直径 ， 求 的长．
21．已知：如图，在中，，D是的中点．以为直径作，交边于点P，连接，交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若是的切线，，求的长．
22．阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆☉的半径为，探究与，之间的关系．
解：连接、、．
∵，
，
，
∴，
∴
解决问题：
（1）利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
（2）如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式．
（3）若一个边形(为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，…，，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
23． 如图，在中，，以为直径作，交边于点D，点E是边的中点，直线交于点F．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求线段的长度．
24．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，AF平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，BE平分∠CBF，连结BO并延长交AD于点G.
（1）若∠EBC=35°，请直接写出∠BAC，∠OBC的度数；
（2）求证：BF是⊙O的切线；
（3）若BG平分∠ABC，AG=3，GD=2，求BG的长.
25．如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．
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直线与圆的位置关系 单元复习提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 已知⊙O 的半径为 cm，直线l与⊙O 有公共点，且直线l 和圆心O 的距离为d cm，则d满足的条件是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，得：
故答案为：B .
【分析】根据直线和圆的位置关系得到取值范围即可.
2．某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点O到三边的距离相等，
∴点O是的内心，即点O是角平分线的交点，
故选：D．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，实质是求作的内心，可分别作出其中两个内角和的角平分线即可．
3．如图，⊙ 的直径 和 是它的两条切线， 切⊙ 于 ，交 于 ，交 于 ，则四边形 的面积 的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】【解答】∵AB是直径，AM、BN是切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN．
过点D作DF⊥BC于F，则AB∥DF．
∴四边形ABFD为矩形．
∴DF＝AB＝2，BF＝AD．
∵DE、DA，CE、CB都是切线，
∴根据切线长定理，设DE＝DA＝x，CE＝CB＝y．
在Rt△DFC中，DF＝2，DC＝DE+CE＝x+y，CF＝BC﹣BF＝y﹣x，
∴（x+y）2＝22+（y﹣x）2，
∴y＝ ，
∴四边形的面积S＝ AB（AD+BC）＝ ×2×（x+ ），即S＝x+ （x＞0）．
∵（x+ ）﹣2＝x﹣2+ ＝（ ﹣ ）2≥0，当且仅当x＝1时，等号成立．
∴x+ ≥2，即S≥2，
∴四边形ABCD的面积S的最小值为2．
故答案为：C．
【分析】根据切线的性质得到它们都和直径垂直，作直角梯形的另一高，构造一个直角三角形，根据切线长定理和勾股定理列方程，表示出关于y的函数解析式，根据直角梯形的面积公式即可得出结论。
4．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示：
由切线长定理可知：，，，，，
，，
，，
，
故选：D．
【分析】设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理可得，，，，，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连结OD．若，则∠AOD的度数为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AC是⊙的切线
∴∠CAB=，
又∵
∴∠ABC=-=40
又∵OD=OB
∴∠BDO=∠ABC=40
又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD
∴∠AOD=40+40=80
故答案为C.
【分析】先利用切线的性质和三角形的内角和求出∠B的度数，再利用圆周角的性质求解∠AOD=2∠B即可。
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（　　）
A．120° B．125° C．135° D．150°
【答案】C
【解析】【解答】由CD为AB边上的高，得∠ADC=90°，那么∠DAC+∠ACD=90°；由I为△ACD的内切圆圆心，得AI，CI分别是∠DAC和∠ACD的平分线，∴∠IAC+∠ICA=45°，∴∠AIC=135°.又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI，∴△AIB≌△AIC，∴∠AIB=∠AIC=135°
【分析】根据垂直的定义得出∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠DAC+∠ACD=90°，根据三角形内心的定义得出得AI，CI分别是∠DAC和∠ACD的平分线，根据角平分线的定义得出∠IAC+∠ICA=45°，根据三角形的内角和得出∠AIC=135°，然后利用SAS判断出△AIB≌△AIC，根据全等三角形对应角相等得出答案。
7．如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：连接OC，
∵PC是 的切线，
∴∠PCO =90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∵AC=PC，
∴∠P=∠A，
设∠A = ∠OCA= ∠P=x，
∵∠A+∠P+∠PCA=180°，
∴x +x +90°+x = 180°，
∴x = 30°，
∴∠P=30°，
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质求出∠PCO =90°，再利用三角形的内角和计算求解即可。
8．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧 上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解析】【解答】解；如图
，
由四边形的内角和定理，得
∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，
由 = ，得
∠AOC=∠BOC=50°．
由圆周角定理，得
∠ADC= ∠AOC=25°，
故选：C．
【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．本题考查了切线的性质，切线的性质得出
= 是解题关键，又利用了圆周角定理．
9．题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（　　）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
【答案】D
【解析】【解答】解：，，
，
斜边上的高为：，
当时，图如图所示：
，
此时在圆内部，与只有一个交点，
当时，图如图所示：
，
此时与只有一个交点，
当时，如图所示：
，
此时与只有一个交点，
三人的答案合在一起才完整，
故答案为：D
【分析】结合题意并运用勾股定理可得，根据面积桥的方法可求得斜边上的高为，进而运用直线与圆的位置关系结合“甲答：．乙答：．丙答：”分别画出三种情况对应的图形，逐一进行判断即可求解。
10．如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D。下列结论不一定成立的是（　　）
A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线
【答案】B
【解析】【解答】解：
A.∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA= PB，∴△BPA是等腰三角形，故A选项不符合题意。
B.由圆的对称性可知：PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，故B选项符合题意，
C.连接OB，OA，PA，PB为⊙O的切线∠OBP=∠OAP=90°，点A，B，P在以OP为直径的圆上，故C选项不符合题意．
D.∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为OBPA的边AB上的中线，故D选项不符合题意。
【分析】根据切线长定理、等腰三角形的性质以及菱形的性质，分别判断得到答案即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：连接OC和切点D，如图
由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点
所以OD⊥BC，∠OCD=30°，OD即为圆的半径．
又由BC=2，则CD=1
所以在直角三角形OCD中：
代入解得：OD= ．
故答案为 ．
【分析】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD中，从而解得．
12．如图，以BC为直径的半圆与AC相切于点，交AB于点．若，则　 　.
【答案】
【解析】【解答】解： 连接CD，
∵AC是圆的切线，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵BC为圆的直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠ACD，
∵AC=5，AD=3，
∴CD=.
∴tan∠ABC=tan∠ACD=
故答案为：.
【分析】先证明∠ABC=∠ACD，再利用勾股定理求出CD，接着利用正切定义求解.
13．直角三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，则点O到三边的距离就是△AOC，△BOC，△AOB的高线，设到三边的距离是x，则三个三角形的面积的和是：
AC x+ BC x+ AB x= AC BC，就可以得到x=1．
【分析】连接OA，OB，OC利用小三角形的面积和等于大三角形的面积即可解答．
14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为　 　.
【答案】30°
【解析】【解答】解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝120°，
∴∠ODC＝180° ∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∴∠DOC＝180° 2×60°＝60°，
∴∠P＝90° ∠DOC＝30°；
故答案为：30°.
【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形对角互补得出∠ODC=60°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝60°，求出∠DOC＝60°，由直角三角形的性质即可得出结果.
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC tan30°= ，PC=2OC=2 ，
∴PB=PO﹣OB= ，
故答案为 ．
【分析】在Rt△POC中，根据∠P=30°，PC=3，求出OC、OP即可解决问题．本题考查切线的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，锐角三角函数等知识，解题的关键是利用切线的性质，在Rt△POC解三角形是突破口，属于中考常考题型．
16．如图 ，在直角边分别为 和 的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有 个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为 ， ， ， ， ，则 　 　．
【答案】π
【解析】【解答】图1，过点 做 ， ，垂足为 、 ，
则
四边形 为矩形
矩形 为正方形
设圆 的半径为 ，则 ， ，
，
图2，由
由勾股定理得： ，
由（1）得： 的半径 ， 的半径
图3，由
由勾股定理得： ，
由（1）得： 的半径 ， 的半径 ， 的半径
图4中的
则
故答案为： ．
【分析】图1，作辅助线构建正方形 ，设圆 的半径为 ，根据切线长定理表示出 和 的长，利用 列方程求出半径 、 是直角边， 为斜边），运用圆面积公式 求出面积 ；图2，先求斜边上的高 的长，再由勾股定理求出 和 ，利用半径 、 是直角边， 为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和 ；图3，继续求高 和 、 ，利用半径v、 是直角边， 为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和 ；据此规律进行求解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，OP=4．
（1）求∠POA的度数；
（2）计算弦AB的长．
【答案】解：（1）∵PA与⊙O相切于A点，
∴△OAP是直角三角形，
∵OA=2，OP=4，
∴cos∠POA=OA/OP=1/2，
∴∠POA=60°．
（2）∵直角三角形中∠AOC=60°，OA=2，
∴AC=OA×sin60°=2×/2=．
∵AB⊥OP，
∴AB=2AC=2．
【解析】【分析】（1）根据OA=2，OP=4，利用余弦的定义可得cos∠POA=，即可得到∠POA=60°；
（2）先利用解直角三角形的方法求出AC的长，再利用垂径定理求出AB的长即可.
18． 如图，已知∠BAC=90°，AB=AC，直线l 与以AB 为直径的圆相切于点B，点E 是圆上异于点A，B的任意一点，直线AE 与l 相交于点D.
（1）如果AD=10，BD=6，求 DE 的长.
（2）连接CE，过点 E 作CE 的垂线交直线AB 于点 F，当点 E 在什么位置时，相应的点 F 位于线段AB 上、位于AB 的延长线上(写出结果，不要求证明) 无论点 E 如何变化，总有BD=BF.请你就上述三种情况任选一种说明理由.
【答案】（1）解：连接BE，
∵BD是切线，
∴∠AEB=∠ABD=90°，
又∵∠DAB=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB，
∴，
（2）解：设M是上半圆的中点，当E在BM弧上时，F在直径AB上当E在AM弧上时，F在BA的延长线上，当E在下半圆时，F在AB的延长线上，
∵AB是直径， AC、BD是切线， ，
，
，
，
，
，
，
【解析】【分析】(1)证明△ABE∽△ADB，即可得到对应边成比例， 代入数值计算解答即可；
(2)设M是上半圆的中点，当E在BM弧上时，F在直径AB上当E在AM弧上时，F在BA的延长线上，当E在下半圆时，F在AB的延长线上，证明△CAE∽△FBE，Rt△DBE∽Rt△BAE， 根据对应边成比例解答即可.
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tanB= ，求线段CF、PC的长．
【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵ ，
∴ ，
设AC=3x，则BC=4x，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
即82=（4x）2+（3x）2，
解得 ，
∴ ， .
∵OF∥BC，
∴ ，
∴ ，
∵AO=4，
∴AF=3，
∴CF=AF=3.
在Rt△AOF中，AF=3，AO=4，
∴FO=5.
∵OF∥BC，
∴△PCB∽△PFO，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ .
【解析】【分析】（1）
连接OC，如图所示，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠BCA=90°，根据平行线的性质，可得∠1=∠2，∠B=∠3 ，继而可得
∠3=∠2.根据“SAS”可证△OAF≌△OCF，可得出∠OAF=∠OCF =90°，即证
AF是⊙O的切线；
（2）
根据三角函数定义
设AC=3x，则BC=4x .
在Rt△ABC中，由勾股定理 可求出AC、BC的长，由
，可得AF=3，即得CF=AF=3.在Rt△AOF中 ，由勾股定理可得FO=5.根据平行线可证△PCB∽△PFO，利用相似三角形对应边成比例，可求出PF的长，由PC=PF+FC求出即可.
20．如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点， 连结 ， 且 ．
（1） 判断 与 的位置关系， 并说明理由．
（2） 若直径 ， 求 的长．
【答案】（1）解： 与 相切， 理由如下：
连接OC，如图：
∵OA=OC，
∴∠CAD=∠ACO.
∵
∴∠ACO=∠DCF.
∵AD为 的直径，
∴∠ACD=90°=∠ACO+∠OCD.
∴∠OCF=∠DCF+∠OCD=90°.
∵OC是半径，
∴CF是 的切线，即 与 相切.
（2）解：∵∠ABC=∠ADC，
∴，
∵AD=10，
∴，AC=8.
∵． ∠DFC=∠CFA，
∴△DFC∽△CFA.
∴.即
∴.
∵设FD=3x，则FC=4x，FA=3x+10
即16x2=3x(3x+10).
解得：或x=0(舍去）
∴.
【解析】【分析】（1）证明∠ACO=∠DCF，由圆周角定理得∠ACD=90°=∠ACO+∠OCD，利用等量代换得∠OCF=∠DCF+∠OCD=90°，即可得到结论；
（2）根据圆周角定理的推论可得∠ABC=∠ADC，从而可求得CD和AC长，证明△DFC∽△CFA，得到，设DF=3x，则FC=4x，FA=3x+10，代入求得x的值，即可得到DF长.
21．已知：如图，在中，，D是的中点．以为直径作，交边于点P，连接，交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若是的切线，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，D是的中点，
∴．
又∵是直径，
∴是的切线．
（2）解：连接.
∵点D是边的中点，，
∴，
∴．
∴，
∵是的切线，O为圆心，
∴．
在中，由勾股定理，得，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明，根据切线的判定定理求证即可；
（2）连接OP，根据等腰三角形的性质，结合线段的和差求的长，根据切线的性质可得，再利用勾股定理求出的长．
22．阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆☉的半径为，探究与，之间的关系．
解：连接、、．
∵，
，
，
∴，
∴
解决问题：
（1）利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
（2）如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式．
（3）若一个边形(为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，…，，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
【答案】（1）∵，∴此三角形为直角三角形，
∴三角形面积，
∴r==2.
（2）设四边形内切圆的圆心为，连接、、，.
则
∴r=.
（3）类比（1）（2）的结论，
易得在圆内切边形中，有成立

【解析】【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形内心的性质.（1）根据题意可得：，据此可得边长分别为5，12，13的三角形是直角三角形，根据直角三角形的性质先求出面积，利用题目所述公式可求出三角形内切圆半径；
（2）设四边形内切圆的圆心为，连接、、，，类比阅读材料，可得，进而可得：，再进行变形可求出答案；
（3）由（1）（2）的结论，据此可得： ，进而可得在圆内切边形中，有成立；
（1）∵，
∴此三角形为直角三角形，
∴三角形面积，
∴r==2.
（2）设四边形内切圆的圆心为，连接、、，.
则
∴r=.
（3）类比（1）（2）的结论，
易得在圆内切边形中，有成立
23． 如图，在中，，以为直径作，交边于点D，点E是边的中点，直线交于点F．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求线段的长度．
【答案】（1）证明：连接，则，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴线段的长度是．
【解析】【分析】（1） 连接，则， 根据为的直径， 可得，， 由 点E是边的中点，可得进一步得到， 进而证明，从而求解；
（2）先利用三角函数与勾股定理求得，再证明， 得到，进一步得到，， 进而得到关于BF的一元二次方程，解方程取符合题意的值即可求解.
24．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，AF平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，BE平分∠CBF，连结BO并延长交AD于点G.
（1）若∠EBC=35°，请直接写出∠BAC，∠OBC的度数；
（2）求证：BF是⊙O的切线；
（3）若BG平分∠ABC，AG=3，GD=2，求BG的长.
【答案】（1）∠BAC=70°，∠OBC=20°.
（2）证明： 设∠BAE=∠CAE=∠EBC =∠FBE=θ，
∴∠BAC =2∠BAE = 2θ，
∴∠BOC = 2∠BAC = 4θ，
∴∠OBF=∠OBC+∠EBC+∠FBE=90°-2θ+θ+θ=90°，
∴OB⊥BF，
∵OB是半径，
∴BF是⊙O的切线；
（3）解：∵BG平分∠ABC，
∴∠BAG=∠CBG，
设∠BAG=∠CBG=α，
∵∠BAE=∠CAE=∠EBC =∠FBE=θ，
∴∠EBG=∠CBG+∠EBC=α+θ， ∠EGB
=∠GBA+∠GAB=α+θ，
∴∠EBG=∠EGB，
∴EB=EG，
设DE=x，
∵AG=3， GD=2，
∴EB = EG= DE+DG=x+2，
∴AE=AG+EG=x+5，
∵∠EBD =∠EAB， ∠BED=∠AEB，
∴△EBD∽△EAB，
∴x= 4，
过点E作EM⊥BG于点M，
【解析】【解答】（1）
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵BE平分∠CBF，
∴∠CBE=∠FBE，
∴∠BAE =∠CAE=∠EBC =35°，
∴∠BAC =2∠BAE =70°，
如图，连接OC，
∴OB=OC，
∴∠OBC =∠OCB，
∵∠BOC =2∠BAC = 140°，
故答案为：∠BAC=70°，∠OBC=20°；
【分析】(1)连接OC，根据角平分线定义和圆周角定理即可解决问题；
(2)结合 (1) 设∠BAE=∠CAE=∠EBC=∠FBE=θ， 证明OB⊥BF， 进而可以解决问题；
(3)设∠BAG =∠CBG =α， 证明∠EBG =∠EGB， 得EB= EG， 设DE =x， 证明△EBD∽△EAB，对应边成比例求出x = 4， 过点E作EM⊥BG于点M， 再证明△EBF∽△BAF， 求出BF， 根据勾股定理即可求出BG.
25．如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+k；
∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9），
∴ ，
解得： ，
∴ ．
（2）解：连接AE；
∵DE是⊙A的切线，
∴∠AED=90°，AE=3，
∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，
∴AB=BD=3，
∴AD=6；
在Rt△ADE中，DE2=AD2﹣AE2=62﹣32=27，
∴ ．
（3）解：当BF⊥ED时；
∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED∽△BFD，
∴ ，
即 ，
∴ ；
当FB⊥AD时，
∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，
∴△AED∽△FBD，
∴ ，
即 ；
∴BF的长为 或 ．
【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点橫从标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将A点、C点坐标代入求解即可．
（2）由于DE是⊙A的切线，连接AE，那么根据切线的性质知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A、D关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD的长，进而可利用勾股定理求得切线DE的长．
（3）若△BFD与△EAD相似，则有两种情况需要考虑：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF的长．
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