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2025-2026学年安徽省合肥六十五中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响.下列图形：“刘徽割圆术”、“杨辉三角”、“赵爽弦图”、“中国七巧板”中，属于中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.抛物线y=x2+2先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是（　　）
A. y=（x+2）2-5 B. y=（x-2）2-3 C. y=（x-5）2+4 D. y=（x+2）2-3
3.若点A（-3，y1），B（-1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1y
4.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（　　）
A.
B.
C.
D.
5.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比.如图，点B为线段AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC=40cm,则BC的长为（　　）cm.
A.
B. 20
C.
D.
6.已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数且a≠0），下列结论正确的是（　　）
A. 当a=1时，函数图像过点（-1，1）
B. 当a=-2时，函数图像与x轴没有交点
C. 当a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D. 当a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
7.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE交BD于点F，S△DEF=12cm2，则S△AOB的值为（　　）
A. 12cm2
B. 24cm2
C. 36cm2
D. 48cm2
8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF，垂足为P，连接CP.若正方形的边长为1，则线段CP的最小值为（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如图，一次函数y1=x与二次函数图象相交于P、Q两点，则函数的图象可能是（　　）

A. B.
C. D.
10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，AB=8，D边AB上一点，连接CD，过点D作DE⊥DC交BC于E，把△BDE沿DE翻折得△DEB，连接B1C.下列说法正确的是（　　）
①∠ADC=∠B1DC；
②当B1E∥AC时，DB1⊥BC；
③当B1E∥AC时，折痕DE的长；
④当△B1CD是等腰三角形时，AD的长或.
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若，则= .
12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC.若∠DAB=40°，则∠D的度数为 .
13.如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕O点旋转至△A'B'O的位置，且A'在OB中点，B'在反比例函数y=上，则k的值是 ．
14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）直线BC的表达式 ；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1＜x2＜x3，设t=x1+x2+x3，则t的取值范围 .
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：2sin245°-6cos30°+tan60°.
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别为A（-3，-2），B（-1，-1），C（0，-3）.
（1）以点B为位似中心，在点B的上方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且位似比为2：1（A，C的对应点分别是A1，C1）；
（2）以点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2（A，B，C的对应点分别是A2，B2，C2）；
（3）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.在AB上找一点P，使.
17.(本小题8分)
如图，已知反比例函数与一次函数y=ax+b的图象交于点A（1，4），B（-4，n）.
（1）求△OAB的面积；
（2）直接写出一次函数大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
18.(本小题8分)
红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进一种畅销的红灯笼，灯笼每对的进价为35元/对，经市场调查发现，灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设灯笼每对涨价x元，小明一天卖灯笼获得利润W元.
（1）求出W与x之间的函数解析式；
（2）灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
19.(本小题10分)
如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮筐D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）
20.(本小题10分)
已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF．

21.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
22.(本小题12分)
已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，AD与BE交点为H，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，∠FGE=45°，连接DE.
（1）求证：AG⊥BE；
（2）若E为AC的中点，求的值.
23.(本小题14分)
已知抛物线y=ax2-2x（a为常数，且a≠0）的顶点纵坐标与抛物线y=-x2+2x的顶点纵坐标相等.
（1）求a的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y=-x2+2x上，点B（x1+2t,y1+h）在抛物线y=ax2-2x上（t,h为常数），若x1=2t+1，求h的最大值；
（3）点C（x3，y3）在抛物线y=ax2-2x上，点D（x3+k,y3+m）在抛物线y=-x2+2x上（k,m为常数，且k≠0），若是一个与x3无关的定值，求该定值及k的值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】110°
13.【答案】
14.【答案】y=-x+3
7＜t＜8

15.【答案】解：2sin245°-6cos30°+tan60°
=
=
=．
16.【答案】
17.【答案】解：（1）把点 A（1，4）代入反比例函数，得 k=1×4=4，
∴，
∵点B（-4，n）也在反比例函数 的图象上，
∴；
∴点B的坐标为（-4，-1），
把（1，4）和（-4，-1）代入y=ax+b得：
，解得：，
∴y=x+3，
如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，
∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴；
（2）∵A（1，4），B（-4，-1），
∴根据图象可知：当x＞1或-4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
18.【答案】W=-2x2+68x+1470（0≤x≤15） 灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元
19.【答案】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=，
∴AB=BC tan75°=0.60×3.732=2.2392m，
∴GM=AB=2.2392m，
在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHE=60°，sin∠FAG=，
∴sin60°==，
∴FG=，
∴DM=FG+GM-DF≈3.05米．
答：篮筐D到地面的距离是3.05米．
20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB，
∵DF=BE，
∴△CDF≌CBE（SAS），
∴∠DCF=∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H，
∵∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH．
（2）证明：∵BE2=AB AE，
∴=，
∵AG∥BC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF．
21.【答案】（1）证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
设AH=x．
∵DE+AE=8，OD=10，
∴AE=10-x，OH=DE=8-（10-x）=x-2．
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x-2）2=102，
解得x1=8，x2=-6（不合题意，舍去）．
∴AH=8．
∵OH⊥AF，
∴AH=FH=AF，
∴AF=2AH=2×8=16．
22.【答案】∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠BGD=∠FGE=45°，
∴∠C=∠BGD，
∵∠GBC=∠CBE，
∴△GBD∽△CBE，
∴；又∵∠C=45°，
∴，
∴∠ABG=∠EBA，，
∴△ABG∽△EBA，
∴∠BGA=∠BAE=90°，
∴AG⊥BE
23.【答案】（1）a=-1 （2）h最大值为 （3）
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