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2025-2026学年北京市顺义区牛栏山一中实验学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M1N1P1，则旋转中心是（　　）

A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
2.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠CDB=25°，则∠ABC的度数为（　　）
A. 25°
B. 50°
C. 65°
D. 90°
3.按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（　　）
A. α=30°，β=60° B. α=60°，β=30° C. α=30°，β=45° D. α=45°，β=30°
4.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响.据统计，2020年全国生活垃圾无害化处理能力约为3.6亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2025年提升到约8亿吨.如果设这几年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x,那么根据题意可以列方程为（　　）
A. 3.6（1+x）=8 B. 3.6（1+5x）=8 C. 3.6（1+x）5=8 D. 3.6（1-x）5=8
5.在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，3），B（3，4），y=ax2的图象如图所示，则a的值可以为（　　）
A. 3 B. 2 C. 1.7 D. 0.5
6.在一个不透明的口袋中，放入标有数字1，2，3，3的四个小球除数字外完全相同，从中随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和为5的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.已知△ABC中a=6，b=8，则“c=10”是“△ABC是直角三角形”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知x,y为正实数，则的最小值为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
9.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记|S|为集合S的元素个数，φ（S）为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：①|A|=2025，|B|=2026；②φ（A）+φ（B）+φ（C）=φ（A∪B∪C），则|A∩B∩C|的最大值是（　　）
A. 1 B. 2025 C. 2024 D. 2023
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
10.若，则代数式= .
11.已知点（-2，y1），（3，y2）在二次函数y=x2-2x+m的图象上，比较y1 y2.（填＞、＜或=）.
12.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，AB=2AE，EC、BD交于点F.BD=15，则DF的长为 .
13.半圆形纸片的半径为2cm,用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为 cm.
14.如图，现有棱长为a的8个正方体堆成一个棱长为2a的正方体，它的主视图、俯视图、左视图均为一个边长为2a的正方形，现如果要求从图中上面4个正方体中拿去2个，而三个视图的形状仍不改变，那么拿去的2个正方体的编号应为______．
15.如图，函数y=（x＞0）和（x＞0）的图象分别是l1和l2．设点P在l2上，PA∥y轴交l1于点A，PB∥x轴交l1于点B，△PAB的面积为______．
16.若二次函数y=（x-2）2-2的图象与x轴交于两点（x1，0），（x2，0），则= .
17.矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 ．
三、解答题：本题共6小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题11分)
在△ABC中，∠A=30°，c=6，a=4.
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积.
19.(本小题11分)
在直角△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线.
（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O，求证：BC为⊙O的切线；
（2）如果BC=12，，求⊙O的周长.
20.(本小题11分)
已知抛物线y=x2+ax+a+1.
（1）请写出它的图象与x轴没有交点的充要条件（a的取值范围）；
（2）若 x＞0，函数图象在x轴上方，求a的取值范围.
21.(本小题11分)
因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）.第一次用2600万元购进甲型号汽车100辆和乙型号汽车200辆；第二次用1600万元购进甲型号汽车50辆和乙型号汽车150辆.
（1）求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价；
（2）经销商发现，乙型号汽车以每辆7.2万元的价格销售时较好，每月能售20台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低0.1万元，销售量会增加2台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？
22.(本小题11分)
在△ABC中，AB=BC=2，，点E在边AB上，点F在边BC上，试沿直线EF，将三角形EBF翻折，使点B落在AC边上，记为P.
（1）当点P在AC中点时，求AP BF的值；
（2）当点P不是AC中点时，试探究AP BF与CP BE的大小，并说明理由.
23.(本小题12分)
设n为正整数，集合A={a|a=（m1，m2， ，m2n），mi∈{0，1}，i=1，2， ，2n}.对于集合A中的元素a=（m1，m2， ，m2n）和b=（t1，t2， ，t2n），记h=|m1-t1|+|m2-t2|+ +|m2n-t2n|为元素a与b的相异系数.
（1）当n=2时，写出与元素（1，1，1，1）的相异系数为3的所有元素；
（2）当n=2时，证明：对于集合A中任意3个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于3.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】
11.【答案】＞
12.【答案】6
13.【答案】2
14.【答案】A、C或B、D
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】或3
18.【答案】
19.【答案】证明：如图所示，⊙O为所求圆；连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
又∵OD为半径，
∴BC是⊙O的切线
20.【答案】
21.【答案】甲型号新能源汽车每辆进价为14万元，乙型号新能源汽车每辆进价为6万元 乙种型号新能源汽车定价为7.1万元时，月销售获取的利润最大
22.【答案】 AP BF=CP BE，理由如下：
过点P作PD⊥AB于D，PM⊥BC于M，连接PE，PF如图
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°
∴∠A=∠C=45°，
∵PD⊥AB，PM⊥BC
∴∠PDA=∠PMB=∠PDB=∠PMC=90°，
∴△PDA∽△PMC，∠DPM=360°-∠ABC-∠EDP-∠FMP=90°，
∴，∠FPD+∠FPM=90°，
由翻折，得∠EPF=∠ABC=90°，
∴∠DPE+∠DPF=90°，
∴∠DPE=∠FPM，
∵∠EDP=∠FMP=90°，
∴△DPE∽△MPF，
∴，
∴．
由题意得，BE=PE，BF=PF，
∴，
∴AP BF=CP BE
23.【答案】（0，0，0，1）、（0，0，1，0）、（0，1，0，0）、（1，0，0，0） 设集合A中任意3个元素为a=（m1，m2，m3，m4）、b=（t1，t2，t3，t4）、c=（s1，s2，s3，s4），其中mi、ti、si∈{0，1}，i=1，2，3，4，
假设这三个元素两两相异系数都不小于3，
则h=|m1-t1|+|m2-t2|+|m3-t3|+|m4-t4|≥3，
h′=|m1-s1|+|m2-s2|+|m3-s3|+|m4-s4|≥3，
h″=|t1-s1|+|t2-s2|+|t3-s3|+|t4-s4|≥3，
若mi=ti=si，则|mi-ti|+|mi-si|+|ti-si|=0+0+0=0，其中i=1，2，3，4；若mi、ti、si中有且仅有两个相等，
设mi=ti≠si，则|mi-ti|=0、|mi-si|=1、|ti-si|=1，此时|mi-ti|+|mi-si|+|ti-si|=0+1+1=2，其中i=1，2，3，4；综上所述，|mi-ti|+|mi-si|+|ti-si|=0或2，
则h+h′+h″≤4×2=8，
但根据假设，h+h′+h″≥3+3+3=9，此时产生矛盾，
故假设不成立，即对于集合A中任意3个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于3
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