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2025-2026学年广东省惠州市综合高级中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.如图所示的几何体，其俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值是（　　）
A.
B. 0.5
C.
D. 2
4.如图，AD∥BE∥CF，AB=2，BC=3，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.关于x的一元二次方程（m-3）x2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A. m≤4 B. m＞4 C. m≥4 D. m≤4且m≠3
6.对于二次函数y=-（x-1）2+4的图象，下列说法正确的是（　　）
A. 开口向上 B. 对称轴是直线x=-1
C. 与y轴交点为（0，4） D. 顶点坐标是（1，4）
7.在平面直角坐标系中，点A（1，3）与点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为（　　）
A. （-1，-3） B. （-1，3） C. （1，-3） D. （1，3）
8.如图，已知BC与⊙O相切于点D，AE是⊙O的直径，当∠ACB=90°，∠BAD=26°时，∠CAD的度数是（　　）
A. 26°
B. 64°
C. 34°
D. 19°
9.有两个有两个除所标数字外构造完全相同的转盘A和B，游戏规定：两人各选择一个转盘转一次，指向的数字较大者获胜，则选择转盘A获胜的概率是（　　）

A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴，y轴的正半轴上，双曲线分别与边AB，BC相交于点E，F，且点E，F分别为AB，BC的中点，连接BF.若△BEF的面积为5，则k的值是（　　）
A. 20 B. 40 C. -20 D. -40
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程x2=x的解是 .
12.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m.
13.如图所示，是反比例函数与在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于 .
14.如图，在等腰三角形△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形EDF，若点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 .
15.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，已知图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，有下列结论：①a＜0，b＞0，c＞0；②4a+b=0；③9a+c＞3b；④若点A（-2，y1）、点B（2，y2）、点C（3，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2.其中正确的结论有 个.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
（1）计算：；
（2）解方程：x2-2x-7=0.
17.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°.
（1）求作⊙O，使圆心O落在BC边上，且⊙O经过A，B两点.（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）.
（2）已知BC=6，求⊙O的半径.
18.(本小题9分)
如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1）、B（3，3）、C（1，3）.
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；并直接写出点C1的坐标.
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；并求出在上述旋转过程中点B到点B2经过的路径长.
19.(本小题9分)
初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分为A、B、C、D四类.其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图.
“垃圾分类”知晓情况各类别人数条形统计图“垃圾分类”知晓情况各类别人数扇形统计图
根据以上信息解决下列问题：
（1）初三（1）班参加这次调查的学生有______人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为______°；
（2）求出类别B的学生数，并补全条形统计图；
（3）类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.
20.(本小题9分)
2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧BOT》.图2是其动作1的示意图，胳膊AB=40cm,OB=30cm,旋转的手绢近似圆形，半径OD=20cm,手绢OD与手臂OB始终保持垂直.
（1）若肘关节点B与肩关节点A之间的竖直高度为16cm,即BF=16cm,求肘关节角∠ABO的度数.
（2）如图3，机器人手臂绕肩关节点A向下旋转90°，即∠BAB′=90°，同时调节肘关节角∠AB′O′=90°，完成动作2.问此时手绢端点D′与机器人身体AE的水平距离，即D′G的长度为多少？
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，cos23.6°≈0.92.）
21.(本小题9分)
综合与实践：根据素材回答问题.
茶叶的销售问题
背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶.产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶.由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制.每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）.
素材1
某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示.
任务1 （1）分别求出y与x的函数关系式；
任务2 （2）若该茶叶的日销售量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元；
任务3 （3）若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价x的取值范围.
22.(本小题9分)
如图，在△ABD中，AB=BD，⊙O为△ABD的外接圆，∠EBC=∠BAC，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E.
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若，BE=5，求⊙O的半径.
23.(本小题12分)
如图1为正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE.
（1）正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间有怎样的关系？请说明理由；
（2）如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD=2AB，AG=2AE，猜想DG与BE的关系，并说明理由；
（3）在（2）问的情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且，AE=1，求DG的长.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】x1=0，x2=1
12.【答案】10
13.【答案】
14.【答案】π-2
15.【答案】3
16.【答案】 ，
17.【答案】解：（1）如图，
（2）由（1）可知，连接OA，
∴OA=OB，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠B=∠BAO=30°，
∴∠AOC=∠B+∠BAO=60°，
又∵∠C=30°，
∴∠OAC=90°，
∴OC=2OA=2OB，
∵BC=6∴OB+OC=OB+2OB=3OB=6，
∴OB=2，
故⊙O的半径为2．

18.【答案】解：（1）△ABC的顶点坐标分别为A（0，1）、B（3，3）、C（1，3），关于点O的中心对称，得△A1B1C1，
∴A1（0，-1），B1（-3，-3），C1（-1，-3），如图所示，
∴△A1B1C1即为所求图形，且C1（-1，-3）．
（2）△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，如图所示，
∴△A2B2C2即为所求图形，
∵点B到点B2经过的路径是以点O为圆心，以OB为半径的圆（扇形），如图所示，
∴∠BOB2=90°，，
∴弧BB2=×=π．
∴点B到点B2经过的路径长．
19.【答案】40，144；
类别B的学生数为18，
补全条形统计图如图．

20.【答案】∠ABO=113.6° D′G的长度为51.6cm
21.【答案】y=-2x+240；
当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元；
70≤x≤100
22.【答案】（1）（1）证明：连接OB，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°．
∵OB=OC，
∴∠OBA=∠BAC，
∵∠EBC=∠BAC，
∴∠EBC=∠OBA，
∴∠EBC+∠OBC=90°，
即∠OBE=90°，
∴OB⊥BE，
∵OB为圆的半径，
∴BE为⊙O的切线 （2）证明：∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠BCE=∠BAD，
∴∠BCE=∠BDA，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDA+∠BDC=90°，
∴∠BCE+∠BDC=90°，
∵∠BDC=∠BAC，∠EBC=∠BAC，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠E=90°，
∴DE⊥BE （3）⊙O的半径=3
23.【答案】DG=BE；理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，∠GAE=∠BAD=90°，
∴∠GAD=∠BAE=90°-∠DAE，
在△GAD和△EAB中，
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴DG=BE DG=2BE；理由如下：
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠GAE=∠BAD=90°，
∴∠GAD=∠BAE=90°-∠DAE，
∵AD=2AB，AG=2AE，
∴，
∴△GAD∽△EAB，
∴，
∴DG=2BE DG=4
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