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北京十一晋元中学2025-2026学年七年级上学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是某几何体的视图，该几何体是（）
A. 圆柱 B. 球 C. 三棱柱 D. 长方体
2.下列运算正确的是（　　）
A. 2x+y=3xy B. 2a2b-2ba2=0
C. -2（m+n）=-2m+2n D. 3x2-2x2=1
3.已知|x|≤π，则x的值不可能是（　　）
A. -4 B. -3.14 C. D. 0
4.春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》表现亮眼，仅大年初一当日的观影人次约为980万人，据相关数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》平均票价为每张50元，据此计算电影《哪吒之魔童闹海》的大年初一当日的电影票总收入用科学记数法表示约为（）元．
A. B. C. D.
5.如图所示，直线l与直线、相交，，若是的2倍，则大小为（ ）
A. B. C. D.
6.下列方程的变形中，正确的是（　　）
A. 若3x=2x-1，则3x+2x=1
B. 若2-（x-1）=5，则2-x-1=5
C. 若4x=2，则x=-2
D. 若，则5（x-1）-2x=10
7.已知表示有理数，的点在数轴上的位置如图所示，下列式子计算结果最小的是（ ）
A. B. C. D.
8.(2024黄石期中)下列图中,两个量a和b成反比例关系的是( )
A. 线段总长为1
B. 圆柱体积为1
C. 三角形面积为1
D. 长方体体积为1
9.整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（　　　）
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
10.正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语灯光通信是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“”表示亮红灯，“”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定：
根据约定的规则，下列说法正确的有（ ）
①“”表示字母；
②若要表示个英文字母，需要盏灯；
③先后发出“”、“”、“”、“”表示“”的缩写“”．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，共36分。
11.写出一个关于x的三次二项式，使得它的三次项系数为2，则这个三次二项式为 .
12.关于x的一元一次方程2x-a=5x-6的解是x=1，则a的值是 .
13.已知，则的补角大小为 ．
14.如图，，垂足为O，直线经过点，则 ．
15.将4个如图1所示的长为x、宽为的小矩形按照图2的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和
(1) 图形的周长= （用含x，y的式子表示）；
(2) 图形和的周长之和=
16.如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒．
(1) 当时， ；
(2) 若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则 ．
17.把下列的推理过程补充完整，并在括号内填上推理的依据：
如图，已知，，平分，证明：．
解：∵平分，
∴＝∠ ，
∵，
∴，
∴ （ ），
∴（ ），
∵，
∴，
∴（ ）．
18.已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．根据以上材料，回答下列问题：
(1) 【理解定义】
①计算： ， （用含x，y的代数式表示）；
②观察前三次的结果，猜想 （用含n，x，y的代数式表示）．
(2) 【初步应用】
当时，
① ；
②若关于x的方程有无数个解，则 ．
(3) 【深入探究】当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
19.计算：
(1) ；
(2)
20.解方程：
(1) ；
(2)
四、解答题：本题共6小题，共26分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题4分)
先化简，再求值：，其中，
22.(本小题5分)
如图，已知直线k和直线k外三点A、B、C，请按下列要求画图：
(1) 画线段；
(2) 画射线；
(3) 在射线上取一点D，使得；
(4) 在直线k上确定点E，使得最小．
23.(本小题4分)
如图，点O是AB的中点，点C在线段OB上，且BC=3OC，若AB=16，求线段OC的长.
24.(本小题4分)
列方程解下列问题：十一晋元中学拟定于年月日举办“智启未来数创无限”主题数学文化节，需要准备九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个作为奖励每种玩具都要有，其中华容道的单价比九连环的单价贵元，买个华容道和个九连环共需要元．
(1) 九连环和华容道的单价分别是多少元？
(2) 若某超市的魔方有两种类型，学校只能从中选择一种类型．价格如表：
魔方类型 正阶魔方 异形魔方
单价 元 元
若学校用元去购买这三种数学玩具，且九连环和魔方的数量是相同的，应该选择哪种类型的魔方比较合适？购买方案是什么？请说明理由．
25.(本小题5分)
我们规定一种新运算：，例如：
请根据上述规定回答下列问题．
(1) 则 ；
(2) 若，求x的值；
(3) 已知关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数，直接写出a的值．
26.(本小题4分)
设，，若满足或，则称和互为“半余角”．
(1) 已知是的角平分线，且和互为“半余角”，则 度；
(2) 如图1，若，，且和互为“半余角”，求的度数；
(3) 如图2，，是一条射线，作和的角分线，若和互为“半余角”，直接写出的所有可能值．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】2x3+1（答案不唯一）
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】40
15.【答案】【小题1】

【小题2】
16

16.【答案】【小题1】

【小题2】
或0

17.【答案】
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
同位角相等，两直线平行

18.【答案】【小题1】
①
【小题2】
24
【小题3】
4或0或

19.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：原式
．

20.【答案】【小题1】
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
【小题2】
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．

21.【答案】解：原式
；
当，时，
原式．

22.【答案】【小题1】
解：如图，线段即为所求；
【小题2】
解：如图，射线即为所求；
【小题3】
解：如图，点D即为所求；
【小题4】
解：如图，点E即为所求．


23.【答案】解：∵点O是AB的中点，AB=16，
∴OB=，
∵BC=3OC，
∴OC=OB=2，
故线段OC的长为：2．
24.【答案】【小题1】
解：设九连环的单价是元，则华容道的单价是元，
买个华容道和个九连环共需要元，
，
解得：，
，
答：九连环的单价是元，华容道的单价是元；
【小题2】
解：设购买九连环和魔方的数量都是个，则可购买华容道个，
若购买正阶魔方，则，
解得：，
即购买九连环和魔方个，这与购买九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个不符合；
若购买异形魔方，则，
解得：，
，
购买九连环个，华容道个，异形魔方个符合题意；
答：应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方40个．

25.【答案】【小题1】
-8
【小题2】
解：，
当时，可化为
，
，
；
当时，可化为，
，
，
；
综上，或1；
【小题3】
解：，解得，
，
，
，
，
，
关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数，
，

26.【答案】【小题1】
120
【小题2】
解：已知，，
分两种“半余角”情况讨论：
当时：
则，
解得，舍去；
当时：
则，
解得．
再根据的位置分两种子情况：
若在内部，
则；
若在外部，
则．
∴综上的度数为或．
【小题3】
解：设，，
∵平分，平分，
∴，，
当点D在直线上面，时，，
由，
得，
∴，
∴，
∵与互为“半余角”，
∴当时，
则，
解得，
则；
当时，
∴，
解得，
∴；
当点D在直线上面，时，，
,
当时，
则，
结合，
解得，
则，舍去．
当时，
∴，
解得，
∴，舍去；
当点D在直线下面，时，，
,
，
当时，
则，
则，
当时，
∴，
解得，舍去；
当点D在直线下面，时，，
,
，
当时，
则，
则，舍去，
当时，
∴，
解得，舍去；
综上：的值为：或或．

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