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分式 单元同步达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了 米，用科学记数法表示 为（　　）
A． B． C． D．
2．下列判断错误的是（　　）
A．当a≠0时，分式 有意义
B．当a＝﹣3时，分式 有意义
C．当 时，分式 的值为0
D．当a＝1时，分式 的值为1
3．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变
4．下列运算中，正确的是（　　）
A．a2 a3=a6 B．（﹣a2）3=a6
C．﹣3a﹣2=﹣ D．﹣a2﹣2a2=﹣3a2
5．如图，若x为正整数，则表示1-的值的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
6． 若 ， ， ，则正确的为（　　）
A． B． C． D．
7．分式方程的解为（　　）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
8．在下列各式① （1﹣x）；② ；③ ；④ ；⑤ 中，是分式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+ （x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，矩形的周长是2（x+ ）；当矩形成为正方形时，就有x= （0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+ ）=4最小，因此x+ （x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子 （x＞0）的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．10
10．若分式方程无解，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．或
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分式方程的解是　 　 ．
12．若关于x的分式方程 ＝1的解是非负数，则m的取值范围是　 　．
13．如果分式 的值为0，则x的值应为　 　．
14．关于x的方程 =1的解是正数，则m的取值范围是　 　 .
15．关于x的方程=无解，则m的值是　 　 ．
16．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）先化简，再求值：其中
（2）当x=-3.2时，求的值.
18．某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同．
（1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？
19．解下列不等式（组）：
（1）
（2）
20．已知关于的方程．
（1）求方程的解（用含的代数式表示）；
（2）若这个方程的解是正数，求的取值范围．
21．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
22．已知甲工人每小时能加工零件 个， 现要加工零件 个．
（1） 若甲单独完成这批零件， 则需要几小时？
（2） 已知乙工人每小时能加工零件 个， 若两人同时加工这批零件， 比甲单独做提前几小时完成？
23．对于正数，规定．请解答下列问题．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值．
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分式 单元同步达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了 米，用科学记数法表示 为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： =0.000005= ．
故答案为：D．
【分析】 将一个数表示成 a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
2．下列判断错误的是（　　）
A．当a≠0时，分式 有意义
B．当a＝﹣3时，分式 有意义
C．当 时，分式 的值为0
D．当a＝1时，分式 的值为1
【答案】B
【解析】【解答】解：A、当a≠0时，分式 有意义，不合题意；
B、当a＝﹣3时，a2﹣9＝0，则分式 无意义，符合题意；
C、当 时，分式 的值为0，不合题意；
D、当a＝1时，分式 的值为1，不合题意；
故答案为：B．
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，分式有意义进而得出答案．
3．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变
【答案】B
【解析】【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：，
则分式的值缩小成原来的，即缩小3倍．
故选B．
【分析】x，y都扩大3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x和3y．用3x和3y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
4．下列运算中，正确的是（　　）
A．a2 a3=a6 B．（﹣a2）3=a6
C．﹣3a﹣2=﹣ D．﹣a2﹣2a2=﹣3a2
【答案】D
【解析】【解答】A、原式=a2+3=a5≠a6，故本选项错误；B、原式=﹣a2×3=﹣a6≠a6，故本选项错误；C、原式=﹣≠﹣，故本选项错误；D、原式=﹣3a2，故本选项正确．故选D．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则对各选项进行逐一解答即可．
5．如图，若x为正整数，则表示1-的值的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，且x为正整数，
取时，，
∴表示1-的值的点落在段②，
故答案为：B.
【分析】根据异分母分式减法法则可得，且x为正整数，令x=1，求出对应的值，进而判断.
6． 若 ， ， ，则正确的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵.b=.c=..
∴.
故答案为： D.
【分析】根据相关运算法则先化简各个式子，再比较大小，即可作答.
7．分式方程的解为（　　）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
【答案】C
【解析】【解答】解：，
去分母得：3x﹣3=2x，
移项得：3x﹣2x=3，
合并同类项得：x=3，
检验：把x=3代入最简公分母2x（x﹣1）=12≠0，故x=3是原方程的解，
故原方程的解为：X=3，
故选：C．
【分析】首先分式两边同时乘以最简公分母2x（x﹣1）去分母，再移项合并同类项即可得到x的值，然后要检验．
8．在下列各式① （1﹣x）；② ；③ ；④ ；⑤ 中，是分式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】【解答】解：④ ；⑤ 是分式，共2个，
故选：A．
【分析】根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式进行分析即可．
9．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+ （x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，矩形的周长是2（x+ ）；当矩形成为正方形时，就有x= （0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+ ）=4最小，因此x+ （x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子 （x＞0）的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即 =x+ ，
在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，
矩形的周长是2（x+ ）；
当矩形成为正方形时，就有x= ，（x＞0），
解得x=3，
这时矩形的周长2（x+ ）=12最小，
因此x+ （x＞0）的最小值是6．
故答案为：C
【分析】因为题中的已知解释了的意义，所以可以按照这个解释将进行化简，可得，由此可知该矩形的面积应为9，两边长分别为x、，因为面积一定的矩形，当是正方形时，其周长最小，由此可知，周长是两边的和乘以2，即可求出最小值.
10．若分式方程无解，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．分式方程的解是　 　 ．
【答案】x=9
【解析】【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣3），得
3x﹣9=2x，
解得x=9．
检验：把x=9代入x（x﹣3）=54≠0．
∴原方程的解为：x=9．
故答案为：x=9．
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
12．若关于x的分式方程 ＝1的解是非负数，则m的取值范围是　 　．
【答案】m≥﹣4且m≠﹣3
【解析】【解答】去分母得：m+3＝x﹣1，
解得：x＝m+4，
由分式方程的解为非负数，得到m+4≥0，且m+4≠1，
解得：m≥﹣4且m≠﹣3．
故答案为m≥﹣4且m≠﹣3
【分析】先利用分式方程的解法求出解，再根据分式方程的解是非负数列出不等式求解即可。
13．如果分式 的值为0，则x的值应为　 　．
【答案】-3
【解析】【解答】解：由分式的值为零的条件得3x2﹣27=0且x﹣3≠0，
由3x2﹣27=0，得3（x+3）（x﹣3）=0，
∴x=﹣3或x=3，
由x﹣3≠0，得x≠3．
综上，得x=﹣3，分式 的值为0．
故答案为：﹣3．
【分析】根据分式的值为零的条件可以得到3x2﹣27=0且x﹣3≠0，从而求出x的值．
14．关于x的方程 =1的解是正数，则m的取值范围是　 　 .
【答案】m＜﹣2且m≠﹣4
【解析】【解答】解：∵ =1，
∴x=-m-2，
∵关于x的方程 =1的解是正数，
∴-m-2＞0，
解得m＜-2，
又∵x=-m-2≠2，
∴m≠-4，
∴m的取值范围是：m＜-2且m≠-4.
故答案为：m＜-2且m≠-4.
【分析】首先将m作为已知数根据解分式方程的步骤求出x的值，然后根据关于x的方程 =1的解是正数，列出不等式组，求出m的取值范围即可.
15．关于x的方程=无解，则m的值是　 　 ．
【答案】1或0
【解析】【解答】解：去分母得mx=3，
∵x=3时，最简公分母x﹣3=0，此时整式方程的解是原方程的增根，
∴当x=3时，原方程无解，此时3m=3，解得m=1，
当m=0时，整式方程无解
∴m的值为1或0时，方程无解．
故答案为：1或0．
【分析】先把分式方程化为整式方程得到mx=3，由于关于x的分式方程=无解，当x=3时，最简公分母x﹣3=0，将x=3代入方程mx=3，解得m=1，当m=0时，方程也无解．
16．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：解方程得
依题得且为整数，，
且为3的倍数，，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
，
解得，
，且，
为3的倍数，
∴当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
的值为1或4，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：5．
【分析】根据题意先求出且为3的倍数，，再求出，且，最后计算求解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）先化简，再求值：其中
（2）当x=-3.2时，求的值.
【答案】（1）解：原式 =
当 时，原式
（2）解：原式=
=x+3
当x=-3.2时，原式=-0.2
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再将x值代入即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再将x值代入即可求出答案.
18．某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同．
（1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？
【答案】（1）解：设种图书进价为元，则种图书进价为元，
由题意得：，
解得：，
检验：当时是原分式方程的根且符合实际，
∴，
∴种图书进价为30元，则种图书进价为36元；
（2）设购进种图书本，则购进种图书本，
由题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴的最大整数为33，
∴至多购进种图书33本．
【解析】【分析】（1）设种图书进价为元，则种图书进价为元，再找出等量关系求出，最后解方程求解即可；
（2）设购进种图书本，则购进种图书本，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：设种图书进价为元，则种图书进价为元，
由题意得：，
解得：，
检验：当时是原分式方程的根且符合实际，
∴，
∴种图书进价为30元，则种图书进价为36元；
（2）设购进种图书本，则购进种图书本，
由题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴的最大整数为33，
∴至多购进种图书33本．
19．解下列不等式（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
移项，得，
合并同类项，得
（2）解不等式①得，
解不等式②得，
所以不等式组的解集为
【解析】【分析】（1）利用移项，合并同类项，系数化为1解不等式即可；
（2）先分别解不等式求出解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可.
20．已知关于的方程．
（1）求方程的解（用含的代数式表示）；
（2）若这个方程的解是正数，求的取值范围．
【答案】（1） 解：
，
，
；
当 时，即 时，分母为零，方程无解．
因此，方程的解为：
当 时，解为 ；
当 时，方程无解．
（2）解：由题意得：且，
∴，且，
∴，且．
【解析】【分析】（1）将m作为常数解方程，用含m的式子表示出x，然后再检验即可得出方程解的情况；
（2）根据方程的解是正数可得x＞0且x≠2，从而得到关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
（1）解：
，
，
；
当 时，即 时，分母为零，方程无解．
因此，方程的解为：
当 时，解为 ；
当 时，方程无解．
（2）解：由题意得：且，
∴，且，
∴，且．
21．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
【解析】【分析】(1) 本题考察分式方程的解法，核心是将分式方程转化为整式方程求解并验根。把“ ”替换为-3，方程变为；方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；解这个整式方程，得；检验：将代入，因此是原分式方程的解。
(2) 本题考察分式方程无解的条件，分式方程无解通常是因为存在增根（使分母为0的根）。设“ ”为，原方程变为；方程两边乘得，整理得；因为原分式方程无解，所以存在增根（使）；将代入，得，解得，因此“ ”代表的数是-4。
（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，
方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
22．已知甲工人每小时能加工零件 个， 现要加工零件 个．
（1） 若甲单独完成这批零件， 则需要几小时？
（2） 已知乙工人每小时能加工零件 个， 若两人同时加工这批零件， 比甲单独做提前几小时完成？
【答案】（1）解：需要 小时．
（2）解：提前 小时完成．
【解析】【分析】（1）由已知甲工人每小时能加工零件 a 个，可以知道甲工人的工作效率为a个/小时。 由要甲工人加工零件 m 个．可以知道甲工人的工作总量为m个。由所求甲单独完成这批零件需要几小时？可以知道，所求的是工作时间。由工作实际=，可知，甲工人要单独加工m个工作零件的时间=小时.
（2）若甲乙两人同时加工这批零件，则甲的工作效率为a个/小时，乙的工作效率为b个/小时。所以甲乙同时加工，每小时加工（a+b）个，那么甲乙同时加工m个零件需要小时。由（1）可知甲单独加工m个零件需要小时，所以 两人同时加工这批零件， 比甲单独做提前（-）小时完成.
23．对于正数，规定．请解答下列问题．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值．
【答案】（1）解：由题意得：
；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：存在，理由如下：
由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
∵，
∴，即，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
【解析】【分析】（1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解；
（2）根据题意得出，结合新定义，即可求解；
（3）根据，可得，把等式中的和替换掉，再利用完全平方公式进行展开，化简得到.再根据定义，代入计算即可求解．
（1）解：由题意得；
（2）解：由（1）可知，则
；
（3）解：由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
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