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【50道解答题·专项集训】华东师大版数学八年级下册第15章 分式
1．2019年母亲节前夕，某花店用4500元购进若干束花，很快售完了，接着又用4800元购进第二批花，已知第二批所购花的数量是第一批所购花的数量的 倍，且每束花的进价比第一批的进价少3元，问第一批花每束的进价是多少元？
2．“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，若一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．
（1）求一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
（2）某森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
3．某中学八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝十四岁生日活动，先遣队与大部队同时从学校出发．已知先遣队每小时比大部队多行进1千米，预计比大部队早半小时到达目的地．求先遣队与大部队每小时各行进了多少千米．
4．甲、乙两容器内分别盛有酒精溶液(由纯酒精与水组成)v1(kg)，v2(kg).甲容器中纯酒精与水的质量之比为 m1：n1，乙容器中纯酒精与水的质量之比为 m2：n2，则甲容器中纯酒精的质量是乙容器中纯酒精质量的多少倍
5．先化简，再求值：，其中x＝4．
6．解方程： ．
7．2020年11月19日，长春发生了罕见的冻雨灾害，市政清洁队一个小分队承担着2100米长的道路冰雪清理任务．为了提高清理进度，在清理了300米后增加了人数和设备，清理效率是原来的4倍，结果共用了5小时就完成了清理任务求原来每小时清理的长度．
8．今年初，新型冠状病毒肺炎侵袭湖北，武汉是重灾区，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．
9．先化简，再求值：，其中x＝－．
10．先化简，再求值： ，然后从 ，0，1中选择适当的数代入求值．
11．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
12．若方程的解是整数，求整数a的值.
13．先化简：（ +2﹣x）÷ 再在﹣1、﹣2、1、2四个数任选一个作为x的值，求该式的值．
14．化简求值： ÷（ ﹣a），其中a= ﹣2．
15．解方程：+=1．
16．斑马线前“车让人”，不仅体现着对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小林共用11秒通过，其中通过段的速度是通过段速度的1.2倍，求小林通过段和段时的速度.
17．先化简再求值：，其中．
18．学校到学习基地的公路距离为15千米，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘坐汽车出发，结果他们同时到达，如果汽车的平均速度与自行车的平均速度的比是3：1，问：汽车与自行车的平均速度分别是多少？
19．先化简，再求值：，其中．
20．为了响应习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，芜湖市对境内24km长江干流岸线环境进行集中专项整治，全部工程由甲乙两家施工队共同分别从上、下游同时进行，已知乙施工队的平均整治速度是甲施工队的1.5倍，原计划用若干天完成，后来为了提前完工，两家施工队都将施工速度提高20%，结果比原计划提前两天完成全部整治任务，求甲施工队原计划平均每天整治多少m？
21．某地响应“绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”打造美好家园革工程队承接了万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变设原计划每天绿化的面积为万平方米，列方程为．
（1）根据方程在下列四个选项中选择题干中省略的部分是　 　
A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了这一任务
B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误天完成了这一任务
C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误天完成了这一任务
D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前天完成了这一任务
（2）在的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题：
E.求实际每天绿化的面积是多少万平方米？
F.求原计划完成这项绿化工程需要多少天？
我选的问题是： ▲ ；
根据选择的问题，写出完整的解题过程．
22．在精准扶贫攻坚战中，某驻村干部决定用引进优良农作物种子的办法帮助贫困户脱贫．在春播期间，他先后用4500元和6000元分两批为贫困户购进良种．已知第二批购进种子的质量是第一批质量的2倍，且每千克的价格比第一批的价格少10元，这位驻村干部两次购进种子的价格分别是每千克多少元？
23．某服装厂接到一份加工3000件服装的订单.应客户要求，需提前供货，该服装厂决定提高加工速度，实际每天加工的件数是原计划的1.5倍，结果提前10天完工.原计划每天加工多少件服装？
24．先化简再求值：，其中.
25．给定下面一列分式：，，，，…，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第2013个分式．
26．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
（1）求的值；
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个
27．已知．
（1）求c的值（用含a，b的代数式表示）．
（2）若，求k的值．
28．先化简，再求值： ，从-1，0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值.
29．小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，拿到借书卡后骑车返回图书馆.已知图书馆离小明家1650m，小明骑车时间比跑步时间少5.5 min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度.
30．安乡是中国酱卤之乡，某酱卤专卖店用8000元购进一批酱卤制品，很快售完，专卖店老板又用3500元购进第二批同样的酱卤制品，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了20元．
（1）这两次购进这种酱卤制品共多少件？
（2）若第一批酱卤制品的售价是200元/件，老板想让这两批酱卤制品售完后的总利润不低于4000元，则第二批酱卤制品每件至少要售多少元？
31．先化简，再求值： ，其中 .
32．为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
33．某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了 ，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？
34．先化简 ，再从 中取一个合适的整数 代入求值.
35．“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一段长度为720米的道路进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，实际每天改造的长度是原计划每天改造长度的2倍，结果提前3天成功地完成了该段道路的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？
36． 2018年6月28日，深湛高铁正式运营．从湛江到广州全程约468km，高铁开通后，运行时间比特快列车所用的时间减少了6h．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的3倍，求特快列车与高铁的平均速度．
37．先化简，后求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ +3.
38．化简：，并从中选取一个合适的整数代入求值．
39．A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，求A型机器人每小时搬运多少化工原料．
40．2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠疫情加重，当地加强了防控措施，对外出进行限制，小伟有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？
41．列分式方程解应用题
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格．
（1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数
型
型 3000
（2）请你完整解答本题．
42．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求 的值．
43．若求x的值
44．若关于x的方程无解，求 m 的值．
45．定义：若分式与分式的和等于它们的积，即，则称分式与分式互为“等和积分式”如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”又如求的等和积分式，可设其为，由定义有，去分母得，解得解答以下问题：
（1）判断分式与分式是不是等和积分式，说明理由；
（2）求分式的“等和积分式”；
（3）观察的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ▲ ；
用发现的规律解决问题：
若与互为“等和积分式”，求实数，的值．
46．为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．
（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？
（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？
47．某客商准备采购一批特色商品，下面是甲、乙两人的一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中型商品的件数不大于型商品的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式
（3）在第(2)问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润.
48．已知三个不同的实数a，b，c满足
求的值．
49．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．
（1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
（2）今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．
（3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值．
50．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
（3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
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【50道解答题·专项集训】华东师大版数学八年级下册第15章 分式
1．2019年母亲节前夕，某花店用4500元购进若干束花，很快售完了，接着又用4800元购进第二批花，已知第二批所购花的数量是第一批所购花的数量的 倍，且每束花的进价比第一批的进价少3元，问第一批花每束的进价是多少元？
【答案】解：设第一批花每束的进价为 元，则第二批花每束进价为 元，
依题意有： ，
解得： .
答：第一批花每束的进价为15元.
【解析】【分析】根据题意，列出分式方程，解出答案即可。
2．“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，若一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．
（1）求一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
（2）某森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
【答案】（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为；

（2）解：，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用.（1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树树叶一年的平均滞尘量为，根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，可列出方程，解方程可求出x的值，再进行检验，据此可求出答案.
（2）根据（1）的结果，可列出式子：，再进行计算，单位换算可求出答案.
（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为；
（2）解：，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．
3．某中学八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝十四岁生日活动，先遣队与大部队同时从学校出发．已知先遣队每小时比大部队多行进1千米，预计比大部队早半小时到达目的地．求先遣队与大部队每小时各行进了多少千米．
【答案】解：设先遣队每小时行进x千米，则大部队每小时行进（x﹣1）千米．
根据题意，得 ．
解得 x1=6，x2=﹣5．
经检验：x1=6，x2=﹣5是原方程的根，x2=﹣5不合题意，舍去．
∴原方程的根为x=6．
∴x﹣1=6﹣1=5．
答：先遣队与大部队每小时分别行进6千米和5千米．
【解析】【分析】根据题意，设先遣队每小时行进x千米，时间=路程÷速度，因为先遣队比大部队早半小时到达，所以可得出关于x的分式方程，并进行求解；根据实际的路程问题，进行根的检验，从而得出先遣队与大部队各自行进的千米数。
4．甲、乙两容器内分别盛有酒精溶液(由纯酒精与水组成)v1(kg)，v2(kg).甲容器中纯酒精与水的质量之比为 m1：n1，乙容器中纯酒精与水的质量之比为 m2：n2，则甲容器中纯酒精的质量是乙容器中纯酒精质量的多少倍
【答案】解：甲容器中纯酒精的质量是：
乙容器中纯酒精质量是：
即 甲容器中纯酒精的质量是乙容器中纯酒精质量的 倍。
【解析】【分析】溶液质量×酒精占比＝酒精的质量，根据这一数量关系得出甲乙容器中酒精质量，再求它们的倍数关系即可。
5．先化简，再求值：，其中x＝4．
【答案】解：原式＝
＝，
当x＝4时，原式＝．
【解析】【分析】括号内的进行通分，然后根据同分母的加法运算法则计算，括号外的分母利用平方差公式，分子利用完全平方公式化简，最后将分式除法转化成分式乘法计算即可，将 x＝4 代入化简后的式子，计算即可.
6．解方程： ．
【答案】解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得
3x+3﹣x﹣3=0，
解得x=0．
检验：把x=0代入（x﹣1）（x+1）=﹣1≠0．
∴原方程的解为：x=0
【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．本题考查了分式方程和不等式组的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（3）不等式组的解集的四种解法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
7．2020年11月19日，长春发生了罕见的冻雨灾害，市政清洁队一个小分队承担着2100米长的道路冰雪清理任务．为了提高清理进度，在清理了300米后增加了人数和设备，清理效率是原来的4倍，结果共用了5小时就完成了清理任务求原来每小时清理的长度．
【答案】解：设原来每小时清理 米，根据题意，得
解得
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：原来每小时清理150米．
【解析】【分析】设原来每小时清理 米，根据题意列出方程，解之再检验即可。
8．今年初，新型冠状病毒肺炎侵袭湖北，武汉是重灾区，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．
【答案】解：设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个，则第二次购进口罩的单价为1.4x元/个．
根据题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意
答；该爱心人士第一次购进口罩的单价为5元/个．
【解析】【分析】设第一次购进口罩的单价是x元，则第二次购进口罩的单价为1.4x元，根据第二次购买数量比第一次多了10000个，可得出方程，解出即可．
9．先化简，再求值：，其中x＝－．
【答案】解：
＝
＝
＝
＝
＝
当时，原式＝
【解析】【分析】先计算乘法与括号里，再进行同分母分式减法即可化简，最后将x值代入计算即可.
10．先化简，再求值： ，然后从 ，0，1中选择适当的数代入求值．
【答案】解：原式
．
∵x+1≠0且x-1≠0且x+2≠0，
∴x≠-1且x≠1且x≠-2，
当 时，分母不为0，代入：
原式 ．
【解析】【分析】先化简分式，再将
代入计算求解即可。
11．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
【答案】（1）解：设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，
根据题意得：
，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是方程的解且符合意义，
30﹣5＝25，
答：甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元，
（2）解：设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，
根据题意得：
30m+25（40﹣m）≤1150，
解得：m≤30，
答：最多可购买30件甲种商品．
【解析】【分析】（1）设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，根据“用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同”列出方程，再求解即可；
（2）设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，根据“投入的经费不超过1150元”列出不等式30m+25（40﹣m）≤1150， 再求解即可.
12．若方程的解是整数，求整数a的值.
【答案】解：方程两边同时乘以(x-1)得：
ax+2=-(x-1)，
解得：x=，
∵原方程的解是整数，
∴a+1=1或a+1=-1，
解得：a=0，a=-2，
∵x-1≠0，
∴≠1，
∴a≠-2，
∴a=0.
【解析】【分析】由题意，去分母将分式方程化为整式方程，用含a的代数式把x表示出来，根据方程的解为整数并根据分式方程有意义的条件“分母不等于0”可得关于a的方程和不等式，解之即可求解.
13．先化简：（ +2﹣x）÷ 再在﹣1、﹣2、1、2四个数任选一个作为x的值，求该式的值．
【答案】解：原式=
=
=
=
=﹣ ，
当x=﹣1时，原式=﹣ =﹣1
【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可．
14．化简求值： ÷（ ﹣a），其中a= ﹣2．
【答案】解：原式= ÷
=
= ，
当a= ﹣2时，原式= =
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
15．解方程：+=1．
【答案】解：方程两边同时乘以x﹣4得：3﹣x﹣1=x﹣4解得：x=3将x=3代入最简公分母x﹣4=3﹣4=﹣1≠0，∴x=3是原方程的解．
【解析】【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，然后再解这个整式方程，最后再进行检验即可．
16．斑马线前“车让人”，不仅体现着对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小林共用11秒通过，其中通过段的速度是通过段速度的1.2倍，求小林通过段和段时的速度.
【答案】解：设小林通过段时的速度为每秒米，则通过段时的速度为每秒米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴
答：小林通过段时的速度为每秒米，通过段时的速度为每秒米
【解析】【分析】设小林通过AB段时的速度为每秒x米，则通过BC段时的速度为每秒1.2x米，则通过AB段的时间为，通过BC段的时间为，然后根据共用11秒通过AC建立方程，求解即可.
17．先化简再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式
【解析】【分析】先化简，化简过程先算除法，再算减法，最终结果再代入求值，最后的结果要分母有理化.
18．学校到学习基地的公路距离为15千米，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘坐汽车出发，结果他们同时到达，如果汽车的平均速度与自行车的平均速度的比是3：1，问：汽车与自行车的平均速度分别是多少？
【答案】解：设自行车的平均速度是x千米/小时，汽车的平均速度是3x千米/小时，
由题意得： ，
x=15，
经检验，x=15是原方程的解且符合题意，
∴3x=45，
答：自行车的平均速度是15千米/小时，汽车的平均速度是45千米/小时。
【解析】【分析】先根据题意设自行车的平均速度是x千米/小时，汽车的平均速度是3x千米/小时，然后根据自行车所用时间=汽车所用时间+早出发的时间可得分式方程，最后解方程进行检验即可.
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
把代入得：
原式
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将的值代入计算即可。
20．为了响应习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，芜湖市对境内24km长江干流岸线环境进行集中专项整治，全部工程由甲乙两家施工队共同分别从上、下游同时进行，已知乙施工队的平均整治速度是甲施工队的1.5倍，原计划用若干天完成，后来为了提前完工，两家施工队都将施工速度提高20%，结果比原计划提前两天完成全部整治任务，求甲施工队原计划平均每天整治多少m？
【答案】解：设甲施工队原计划平均每天整治xm，则乙施工队平均每天整治1.5xm，
依题意，得： ，
解得：x＝800，
经检验，x＝800是原分式方程的解，且符合题意．
答：甲施工队原计划平均每天整治800m．
【解析】【分析】设甲施工队原计划平均每天整治xm，则乙施工队平均每天整治1.5xm，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提高施工速度后提前两天完工，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
21．某地响应“绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”打造美好家园革工程队承接了万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变设原计划每天绿化的面积为万平方米，列方程为．
（1）根据方程在下列四个选项中选择题干中省略的部分是　 　
A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了这一任务
B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误天完成了这一任务
C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误天完成了这一任务
D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前天完成了这一任务
（2）在的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题：
E.求实际每天绿化的面积是多少万平方米？
F.求原计划完成这项绿化工程需要多少天？
我选的问题是： ▲ ；
根据选择的问题，写出完整的解题过程．
【答案】（1）
（2）解：选择，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：实际每天绿化的面积是万平方米；
选择，设原计划完成这项绿化工程需要天，则实际完成这项绿化工程需要天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划完成这项绿化工程需要天．
【解析】【解答】解：（1） 方程为，且x表示原计划每天绿化的面积，
（1+25%）x表示实际每天绿化的面积，
实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了这一任务 ，
故选A，
【分析】（1）根据所列方程即x表示的意义，即可找出题干中省略的条件；
（2） 选择，解方程得到x的值，并检验，再将x的值代入即可得出结论； 选择，设原计划完成这项绿化工程需要天，则实际完成这项绿化工程需要天，利用工作效率=工作总量工作时间，可得出关于y的分式方程解分式方程并检验，即可求解.
22．在精准扶贫攻坚战中，某驻村干部决定用引进优良农作物种子的办法帮助贫困户脱贫．在春播期间，他先后用4500元和6000元分两批为贫困户购进良种．已知第二批购进种子的质量是第一批质量的2倍，且每千克的价格比第一批的价格少10元，这位驻村干部两次购进种子的价格分别是每千克多少元？
【答案】解：设第一批购进的种子价格为x元/千克，则第二批购进的种子价格为 元/千克，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的根，且符合实际．
（元/千克）
答：这位驻村干部第一次购进种子的价格是每千克30元，第二次购进种子的价格是每千克20元．
【解析】【分析】设第一批购进的种子接个为x元/千克，根据条件“第二批购进种子的质量是第一批质量的2倍”列出分式方程，并解得结果，注意接分式方程需检验其结果是否为增根.
23．某服装厂接到一份加工3000件服装的订单.应客户要求，需提前供货，该服装厂决定提高加工速度，实际每天加工的件数是原计划的1.5倍，结果提前10天完工.原计划每天加工多少件服装？
【答案】解：该服装厂原计划每天加工x件服装，则实际每天加工1.5x件服装，根据题意，得
解这个方程得 x=100
经检验，x=100是所列方程的根．
答：该服装厂原计划每天加工100件服装
【解析】【分析】设该服装厂原计划每天加工x件服装，则实际每天加工1.5x件服装，然后，依据结果提前10天完工列方程求解即可.
24．先化简再求值：，其中.
【答案】解：
当时，原式
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子利用完全平方公式进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来将a=2代入计算即可.
25．给定下面一列分式：，，，，…，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第2013个分式．
【答案】解：（1）第二个分式除以第一个分式得，第三个分式除以第二个分式得，同理，第四个分式除以第三个分式也是，故规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于；（2）由（1）可知该第2013个分式应该是．
【解析】【分析】（1）将任意一个分式除以前面一个分式，可得出规律．
（2）由（1）可知任意一个分式除以前面一个分式恒等于一个代数式，由此可得出第7个分式．
26．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
（1）求的值；
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个
【答案】（1）解：由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴的值为8
（2）解：1小时，
设需要个这样的机器人，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小值为6，
答：至少需要6个这样的机器人．
【解析】【分析】（1）根据 该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个 ，可列出分式方程，解方程并进行检验，即可得出答案；
（2）设需要个这样的机器人，并把1小时转化成，根据采摘的苹果个数不少于10000个，可列出不等式，解不等式并取其最小整数解即可得出答案。
27．已知．
（1）求c的值（用含a，b的代数式表示）．
（2）若，求k的值．
【答案】（1）解：由，得a－c＝2b－4c，3c＝2b－a．
（2）解：把3c＝2b－a代入，得
．
【解析】【分析】（1）把已知的等式去分母，将c看作已知数整理可求解；
（2）由（1）知：3c＝2b－a，把3c＝2b－a代入K=计算即可求解.
28．先化简，再求值： ，从-1，0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值.
【答案】解：原式= =
当a= -1时，原式=
【解析】【分析】根据异分母分式减法法则以及分式的除法法则可将原式化为，然后由分式有意义的条件取一个值代入计算即可.
29．小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，拿到借书卡后骑车返回图书馆.已知图书馆离小明家1650m，小明骑车时间比跑步时间少5.5 min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度.
【答案】解：设小明跑步的平均速度为xm/min.
由题意得，
解得：
答：小明跑步的平均速度为100m/min.
【解析】【分析】设小明跑步的平均速度为xm/min，则骑车的平均速度为1.5m/min，跑步所用的时间为，骑车所用的时间为，然后根据骑车时间比跑步时间少5.5min列出方程，求解即可.
30．安乡是中国酱卤之乡，某酱卤专卖店用8000元购进一批酱卤制品，很快售完，专卖店老板又用3500元购进第二批同样的酱卤制品，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了20元．
（1）这两次购进这种酱卤制品共多少件？
（2）若第一批酱卤制品的售价是200元/件，老板想让这两批酱卤制品售完后的总利润不低于4000元，则第二批酱卤制品每件至少要售多少元？
【答案】（1）解：法一：设第一批酱卤制品每件进价是元，则第二批每件进价是元，
根据题意可得：
解得：
经检验是原方程的解，
第一批酱卤制品每件进价是160元，第二批每件进价是140元，
（件），
（件）（件）
答：这两次购进这种酱卤制品共75件；
（2）解：设第二批酱卤制品每件售价元，
根据题意可得：，
解得：，
答：第二批酱卤制品每件至少要售220元．
【解析】【分析】（1）设第一批酱卤制品每件进价是x元，则第二批每件进价是(x-20)元，根据题意第二次进货量是第一次的一半，列出分式方程求解即可.
（2） 设第二批酱卤制品每件售价y元，根据题意老板想让这两批酱卤制品售完后的总利润不低于4000元，列出一元一次不等式，求解后取最小值即可.
31．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式=
=
= ，
将 代入得：原式= = =
【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，最后将x的值代入化简后的代数式求值即可.
32．为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
【答案】解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，
根据题意，得： ，
解得：x=3.2，
经检验：x=3.2是原分式方程的解，且正确，
答：A4薄型纸每页的质量为3.2克．
【解析】【分析】设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．
33．某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了 ，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？
【答案】解：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+ ）x个零件，
根据题意得： ﹣ = + ，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
∴（1+ ）x=80．
答：软件升级后每小时生产80个零件
【解析】【分析】设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+ ）x个零件，软件升级前生产240个零件需要的时间是小时，软件升级后生产240个零件需要的时间是小时，根据生成前240个零件所用的时间比生成后240个零件所用的时间多一个小时，结论列出方程，求解并检验即可。
34．先化简 ，再从 中取一个合适的整数 代入求值.
【答案】解：原式
且 为整数
又 当 且 时，原分式有意义
只能取 或
①当 时，原式 （或②当 时，原式 ）
【解析】【分析】利用分式的混合运算将原式化简，然后求出 中使分式有意义的整数值代入计算即可.
35．“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一段长度为720米的道路进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，实际每天改造的长度是原计划每天改造长度的2倍，结果提前3天成功地完成了该段道路的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？
【答案】解：设施工队原计划每天改造米，
根据题意得：，解得，
经检验，是原分式方程的解且符合实际意义
答：施工队原计划每天改造120米．
【解析】【分析】设施工队原计划每天改造米，根据题意列出分式方程，进而解方程，再检验，从而即可求解。
36． 2018年6月28日，深湛高铁正式运营．从湛江到广州全程约468km，高铁开通后，运行时间比特快列车所用的时间减少了6h．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的3倍，求特快列车与高铁的平均速度．
【答案】解：设特快列车的平均速度是x km/h，由题意得：
解得：x=52．
经检验：x=52是原方程的解，且符合实际意义．
3x=156．
答：特快列车的平均速度是52 km/h，高铁的平均速度是156km/h
【解析】【分析】由题意可得相等关系：特快列车全程所需时间-高铁全程所需时间=减少的时间，根据相等关系列方程即可求解。
37．先化简，后求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝ +3.
【答案】解：（1﹣ ）÷
=
=
当 时，原式＝ .
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入求值即可.
38．化简：，并从中选取一个合适的整数代入求值．
【答案】解：原式
∵原分式有意义，∴且且，
∵x在内取值，∴x可选1或3．
当时，原式的值为；当时，原式的值为1（选取一个整数求值即可）
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，然后从 中选取一个使分式有意义的整数代入求值即可.
39．A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，求A型机器人每小时搬运多少化工原料．
【答案】解：设A型机器人每小时搬xkg化工原料
解得
经检验是原分式方程的根
答：A型机器人每小时搬90kg化工原料.
【解析】【分析】设A型机器人每小时搬xkg化工原料，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“ A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等 ”，列方程，解方程并检验即可．
40．2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠疫情加重，当地加强了防控措施，对外出进行限制，小伟有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？
【答案】解：设小伟原计划每天做 页数学寒假作业，则效率提高做作业后每天做页，根据题意得：
，
解得： ，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：小伟原计划每天做2页数学寒假作业．
【解析】【分析】设小伟原计划每天做x 页数学寒假作业，则效率提高做作业后每天做2x页，根据题意列出方程求解即可。
41．列分式方程解应用题
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格．
（1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数
型
型 3000
（2）请你完整解答本题．
【答案】（1）1300；；
（2）解：由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元．
【解析】【解答】解：（1）由题意得，型号的“文房四宝”花费元，
∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，
∴每套型号的“文房四宝”的价格为元，
∴购买型号的“文房四宝”套，
故答案为：1300；；；
【分析】（1）先求出型号的“文房四宝”花费，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套；
（2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程：，求解即可．
（1）解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元，
∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，
∴每套型号的“文房四宝”的价格为元，
∴购买型号的“文房四宝”套，
故答案为：1300；；；
（2）解：由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元．
42．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求 的值．
【答案】（1）解：x÷[1÷（ + ）]
=x÷[1÷ ]
=x÷
= ．
答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的 倍
（2）解：由题意得x= ①，y= ②，z= ③．
由①得a= + ，
∴a+1= + +1，
∴ = = ；
同理，由②得 = ；
由③得 = ；
∴ = + + = =1
【解析】【分析】（1）根据时间=总量÷效率，将总量设为1，可以表示出乙丙合作完成所需要的时间，用甲的时间÷乙丙合作的时间即可。
（2）根据题目要求，写出甲乙丙三个相关的式子，对其进行通分和约分，得出最后的化简结果，作和即可。
43．若求x的值
【答案】解：当底数x=1时，指数为任意数结果都为1；
当底数x=-1时，指数为-2，结果等于1；
当指数|x|-3=0时，底数x≠0，即x=±3时，结果为1；
综上x的值为±1；±3.
【解析】【分析】根据底数为±1和指数为0进行讨论即可.
44．若关于x的方程无解，求 m 的值．
【答案】解：方程两边同乘以，得：
，
化简得：，
当时，原方程无解，
可能的增根是或，
当时，，
当时，，
当或时，原方程无解，
或或时原方程无解．
【解析】【分析】分式方程无解，一是产生增根，需要舍去，有解变无解；二是解出的根是含有字母的代数式，字母的取值使代数式无意义，只有这两种情况下分式方程无解，据此可求m值。
45．定义：若分式与分式的和等于它们的积，即，则称分式与分式互为“等和积分式”如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”又如求的等和积分式，可设其为，由定义有，去分母得，解得解答以下问题：
（1）判断分式与分式是不是等和积分式，说明理由；
（2）求分式的“等和积分式”；
（3）观察的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ▲ ；
用发现的规律解决问题：
若与互为“等和积分式”，求实数，的值．
【答案】（1）解：是等和积分式，；理由如下；
，
分式与分式是“等和积分式”；
（2）解：设分式的“等和积分式”为，
则，
，
，
即分式的“等和积分式”为；
（3）解：①
②由规律可得的“等和积分式”为，
与互为“等和积分式”，
，
由得：，
将代入，
得：，
解得，
．
【解析】【解答】解：（3）①观察得分式的“等和积分式”为，理由如下：
设分式的“等和积分式”为，则，
，
；
故答案为：.
【分析】（1）利用公式计算，结果与比较，即可得到结论；
（2）设分式的“等和积分式”为，利用定义有，用含x的代数式表示A，即可得到答案.
（3）①观察得分式的“等和积分式”为，设分式的“等和积分式”为，并利用定义证明即可得到结论；
②根据规律得的“等和积分式”为，利用定义得方程，求解即可得到m和n的值.
46．为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．
（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？
（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？
【答案】（1）解：设B工程公司单独完成需要x天，
根据题意得：45× +54（ + ）=1，
解得：x=120，
经检验x=120是分式方程的解，且符合题意，
答：B工程公司单独完成需要120天。
（2）解：根据题意得：m× +n× =1，
整理得：n=120﹣ m，
∵m＜46，n＜92，
∴120﹣ m＜92，
解得42＜m＜46，
∵m为正整数，
∴m=43，44，45，
又∵120﹣ m为正整数，
∴m=45，n=90，
答：A、B两个工程公司各施工建设了45天和90天．
【解析】【分析】（1）把该项工程总量看成单位1，再由工作效率×工作时间=工作总量，分别表示出甲、乙的工作量，合作完成该项工程，即甲、乙的工作量和为1。列出方程即可求解。
（2）根据甲、乙的工作量和为1，可建立n关于m 的关系式，再根据m＜46，n＜92，即可确定m的范围，确定出m值后继而可确定n的值。
47．某客商准备采购一批特色商品，下面是甲、乙两人的一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中型商品的件数不大于型商品的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式
（3）在第(2)问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）解：设一件B型商品的进价分别为x元，则一件A型商品x+10元，
∴
∴
∴一件B型商品的进价分别为150元，则一件A型商品160元.
（2）解：设购进A型商品y件，则购进B型商品160-y件，
∴
∴
∴共有3种进货方式：
方式1：购进型商品78件，型商品82件；
方式2：购进型商品79件，型商品81件；
方式3：购进型商品80件，型商品80件；
（3）解：方式一：
方式二：
方式三：
∵
∴购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元.
【解析】【分析】（1）设一件B型商品的进价分别为x元，则一件A型商品x+10元，根据题意列出分式方程：解此方程即可求解；
（2）设购进A型商品y件，则购进B型商品160-y件，则，进而得到：据此即可知共有3种进货方式，分别写出来即可；
（3）结合（2）分别计算出三种进货方式所获得利润，进而即可求解.
48．已知三个不同的实数a，b，c满足
求的值．
【答案】解：设，则由题意有
因式分解可得：
又因为
故
于是：
【解析】【分析】根据（a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得a2+b2+c2=（a+b+c)2-（2ab+2bc+2ac），根据abc=1可得， 设，则由题意有，分解因式可得，计算得不能为0， 可得，再把所求的代数式通分变形后整体代入求解即可。
49．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．
（1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
（2）今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．
（3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值．
【答案】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
【解析】【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可判断求解；
（3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可得关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可求解．
（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
50．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
（3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴
．
∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”；
故答案为：A与B是互为“和整分式”， “和整值”.
（2）解：①∵，，
∴
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
故答案为：①；②.
（3）解：根据题意可得：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
解得：，
当，方程有增根，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
故答案为：或．
【解析】【分析】（1）先利用分式的加法计算方法可得结果，再结合“和整分式”及“和整值”的定义分析求解即可；
（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；
②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案；
（3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可．
（1）解：∵，，
∴
．
∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”；
（2）①∵，，
∴
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）由题意可得：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
解得：，
当，方程有增根，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
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