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第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
21.1.1 四边形及其内角和
人教 2024
四边形的概念
平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.
组成四边形的各条线段叫做四边形的边，相邻四边形的公共端点叫做四边形的顶点.
如图，四边形的边：
AB、BC、CD、AD
四边形的顶点：A、B、C、D
四边形各条边的和叫做四边形的周长，如图，四边形的周长=AB+BC+CD+AD
四边形的表示
按照顺时针或者逆时针的顺序依次写出各个顶点
如图四边形，可记作：
四边形ABCD
或者四边形BCDA 或者四边形ADCB
...
四边形的分类
画出四边形任意一条边所在的直线，若整个四边形都在该直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形；否则，就叫做凹四边形.
凸四边形
凹四边形
温馨提醒：在没有特别说明的情况下，我们只讨论凸四边形
四边形的其他概念
四边形的对角线
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫做四边形的对角线.
如图，四边形的对角线是AC和BD
四边形有两条对角线
四边形的其他概念
四边形的对角线
(课本P53T8)如图，在四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线.比较AC+BD与四边形周长的大小.
在△ABD中 AB+AD>BD
在△CBD中 BC+CD>BD AB+AD+BC+CD>2BD
同理有 AB+AD+BC+CD>2AC
2(AB+AD+BC+CD)>2(BD+AC)
∴AB+AD+BC+CD>BD+AC
四边形的其他概念
四边形的对角线
(课本P53T8)如图，在四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线.比较AC+BD与四边形周长的大小.
在△OAB中 OA+OB>AB
同理有 OB+OC>BC OC+OD>CD OD+OA>AD
2(OA+OB+OC+OD)>AB+BC+CD+AD
∴2(BD+AC)>AB+BC+CD+AD
最终结论：
AC+BD我有新的发现
四边形的其他概念
四边形的不稳定性
四边形的四条边确定后，四边形的形状是可以改变的，这说明四边形和三角形不同，不具有稳定性.
日常生活中，有时候需要利用四边形的不稳定性.如伸缩门、升降机、缩放制图尺、活动晾衣架、折叠式遮阳棚等（见课本P49）.
有时候需要规避四边形的不稳定性.借助四边形的对角线将四边形转化为三角形是常见的方案之一（如：安装窗框时加一根木条）.
此时，四边形ABCD的形状可变，不具有稳定性.
这个时候，四边形形状就不能变了.具有稳定性.
四边形的其他概念
四边形的角
四边形相邻两边组成的角叫做四边形的内角，简称四边形的角；内角的邻补角叫做四边形的外角.
如图，
四边形的角有：
∠A、∠B、∠C和∠D
顶点A位置：∠α的邻补角有∠1和∠2，∠1=∠2
∠1(或∠2)称为四边形ABCD的顶点A位置的外角
通常情况下，每个顶点位置取一个外角.
如图，四边形ABCD的外角有∠1、∠3、∠4和∠5.
四边形的内角和
四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=
连接BD，可知∠ABC=∠1+∠2 ∠ADC=∠3+∠4
在△ABD中 有∠A+∠1+∠3=180°
在△CBD中 有∠C+∠2+∠4=180°
∴∠A+∠1+∠3+∠C+∠2+∠4=360°
即∠A+(∠1+∠2)+∠C+(∠3+∠4)=∠A+∠B+∠C+∠D=360°
作四边形的对角线，可以将四边形的问题转化为三角形的问题
四边形的内角和是360°
四边形ABCD中，有∠A+∠B+∠C+∠D=360°
四边形的外角和
四边形ABCD中，∠1+∠2+∠3+∠4=
∠1和∠BAD是邻补角 ∠1+∠BAD=180°
同理 ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BCD=180° ∠4+∠ADC=180°
∴∠1+∠BAD+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠ADC=180°×4=720°
(∠1+∠2+∠3+∠4)+(∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC)=(∠1+∠2+∠3+∠4)+360°=720°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°
四边形外角和是360°
四边形的外角和
我有别的想法
请看视频
小马从A点出发，沿着四边形ABCD走一圈最终回到起始位置并和最初的方向相同. 小马一次在B、C、D、A要调整方向，调整的角度分别是∠2、∠3、∠4、∠1. 由于
小马恰好走了一圈，所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°
这个想法好，
结论与是否是四边形无关
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例1. (课本P49Ex.1改)求下列图形中x的值：
例2. (1)若四边形的四个内角的度数之比为1：2：3：4，则其中最大的内角是 .
(2)一四边形的其中三个内角之比是2：3：4，第四个内角的大小是最小内角的2倍还大35°，则这个四边形的四个内角的大小分别是 .
例3. (课本P49Ex.2改)如图，∠α是四边形ABCD的顶点A位置的外角.
证明：若∠α=∠C，则∠B+∠D=180°. 反之亦然.
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例4. (课本P53T5改)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
AB与DC有怎样的关系？BC与AD呢？
例5. (2025合肥庐阳区模拟)在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，
则一定有( )
A. ∠ADE=20° B. ∠ADE=30°
C. ∠ADC=2∠ADE D. ∠ADC=3∠ADE
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画个图看看！
设∠A=α
在△ADE中，∠ADE+α+60°=180° ∠ADE=120°-α
在四边形ABCD中，∠ADC=360°-3∠A=360°-3α
∠ADC=3∠ADE
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例6. 如图ABCD中，∠C=∠D=90°，BC=4，AB=2CD=12. 求该四边形的周长和面积.
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例7. 如图ABCD中，∠A=∠C=90°，BC= ，AD=10，∠D=60°. 求AB.
过C作CF⊥AD于F，过B作BE⊥CF于E
在△ECB中∠EBC=30°知CE= EB=3
在△ADC中，DF=DA-AD=DA-EB=7 CF=
∴AB=EF=
方法改进一下：
过B作BE⊥AB交CD于E，过E作EF⊥AD于F
在△ECB中∠EBC=30°知EB=4 AF=4
在△DEF中，DF=DA-AF=6 EF=
∴AB=
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例7. 如图ABCD中，∠A=∠C=90°，BC= ，AD=10，∠D=60°. 求AB.
还可以再改进
延长AB、DC交于点E，则∠E=30°.
在△CBE中，由BC= BE=
在△ADE中，AD=10，则EA=
∴AB=
一题多解时，需要多看一看，尽可能简单不复杂.
再 见

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