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2025-2026学年七年级下册数学单元自测
第一章 整式的乘除·能力提升
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．碳化硅（）是一种新型超级材料，它在微芯片传感器中起着非常重要的作用．碳化硅每两个相邻碳原子间的键长，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．计算的值等于（ ）
A． B．4 C．5 D．
5．若是完全平方式，则的值为（ ）
A．7或 1 B．5 C．7 D． 1
6．若，则的值为（ ）．
A． B．1 C．8 D．64
7．已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
8．明明将展开后得到；东东将展开后得到，若两人计算结果无误，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
9．我们把叫作二阶行列式，规定它的运算法则为按照这种运算方式化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．6 B．9 C．5 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ；
12．一个长方形的面积是，长是，则它的宽是 ．
13．若，，求 ；若，则 ．
14．若，，，则下列a，b，c的大小关系正确的是 ．
15． 已知实数满足，，则的值为 ．
16．若，则x的值为 ．
解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)（简便运算）；
(2)（利用乘法公式运算）．
19．先化简，再求值：，其中，．
20．某校的一个数学兴趣小组参加了学校科技节比赛，制作了航天火箭模型．为了向全校同学宣传自己的科技作品，制作了如下图所示的宣传版画，它由一个三角形和两个梯形组成，已知宣传版画（阴影部分）的尺寸如图所示．
(1)用含a，b的代数式表示图中宣传版画的总面积（结果需化简）．
(2)若，，求宣传版画的总面积．
21．观察下列关于自然数的等式：
①
②
③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第五个等式：______________________________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．
22．对于整数、定义运算：（其中、为常数），如．
(1)填空：当时，______；
(2)若，求的值．
23．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于______对称；
(2)若关于x的多项式关于对称，求b的值；
(3)若整式关于对称，求m的值．
24．已知的值与x的取值无关，求k的值．
解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到．
根据上述方法，求解：
(1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值；
(3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系．
25．数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到．现用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
【探索发现】（1）请用两种不同的方法表示图3中阴影部分（小正方形）的面积；①________，②________；由此可得，，之间的等量关系________．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下列问题．
【知识迁移】已知，，求的值；
【拓展提升】正方形与正方形如图4摆放，边长分别为x，y，若，．求图中阴影部分的面积．
2025-2026学年七年级下册数学单元自测
第一章 整式的乘除·能力提升（参考答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B A C D C D D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13． 12 4
14．
15．
16．或1或0
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．
【详解】（1）解：
；.......................3分
（2）解：
．.......................6分
18．
【详解】
（1）解：
；.......................3分
（2）解：
.......................6分
19．
【详解】解：
.......................4分
当，时，
原式．.......................6分
20．
【详解】（1）解：（1）由图可得，
宣传版画的总面积为
．.......................3分
（2）解：，，
，
∴宣传版画的总面积为
．.......................6分
21．
【详解】（1）解：根据前面算式的规律，可得第五个等式为：．
故答案为：；.......................3分
（2）解：第个等式为：，
证明：．
．.......................8分
22．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；.......................3分
（2）∵
∴，，
∴，
∴
∴．.......................8分
23．
【详解】（1）解：，
则多项式关于对称；.......................2分
（2）解：∵，
∴关于x的多项式关于对称，
∴，
∴；.......................5分
（3）解：
，
∴关于对称，
∴．.......................8分
24．
【详解】（1）解：
代数式的值与x的取值无关，
，
解得：；.......................4分
（2）解：
∵的值与无关，
，，
解得：，；.......................8分
（3）解：设的长为，
当的长度变化时，与的差始终为定值，
，
．.......................12分
25．
【详解】解：（1）图3中阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为，
图3中阴影部分的面积等于边长为的正方形面积减去四个长与宽分别为a，b的小长方形面积，其面积为，
∴，
故答案为：；；；.......................4分
（2）知识迁移：由（1）得，
∵，，
∴，
∴；.......................8分
拓展提升：由题意得，，
∴
，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．.......................12分

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