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5 线段的垂直平分线
第十一章 三角形的证明及其应用
学习目标
1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题.(重点)
2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
1、线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的性质
画一画：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
怎样证明这个结论呢
典例精析
例1.求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
P
A
B
C
已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P.
求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA = PB = PC.
证明：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.
同理，PB = PC.
∴ PA = PB = PC.
∴ 点 P 在线段 AC 的垂直平分线上
（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），即 边 AC 的垂直平分线经过点 P.
P
A
B
C
应用格式：
∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA = PB = PC．
A
B
C
P
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
议一议
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
A1
D
C
B
A
a
h
( )
D
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
可以画出无数个三角形
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
　　这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？
典例精析
例2.已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知：如图，线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h.
a
h
作法：
（1）作线段 BC = a.
（2）作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D.
（3）在 l 上作线段 DA，使 DA = h.
（4）连接 AB，AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
B
C
D
l
A
做一做
(1) 先以 P 为圆心，大于点 P 到直线 l 的垂直距离 R 为半径作圆，交直线 l 于A，B.
B
A
作法：
已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
● P
C
D
(3) 过两交点作直线 l' ，此直线为 l
过 P 的垂线.
(2) 分别以 A、B 为圆心，大于 R 的长
为半径作圆，相交于 C、D 两点.
典例精析
例3.如图所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，DF⊥AC 于点 F， 并与 BC 边上的高 AE 交于 G.
求证：EG＝EC.
F
A
B
C
E
G
D
证明：连接 AD. ∵点 D 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴EG＝EC.
∴△DEG≌△AEC (ASA).
∴∠CAE＝∠CDF.
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°.
又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°.
∴ AE＝DE.
∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°.
∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∴ DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°.
F
A
B
C
E
G
D
1.下列说法错误的是 ( )
(A)三角形三条边的垂直平分线必交于一点
(B)如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边
(C)平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等
(D)三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
D
随堂练习
2.如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE 等于 ( )
A．80° 　　 B．70°
C．60° D．50°
C
B
A
D
E
C
3. 已知：△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC边一上的中线，AB 的垂直平分线交 AD 于 O.
求证：OA = OB = OC.
A
B
C
D
O
证明：∵AB = AC，AD 是 BC 的中线，
∴AD 垂直平分 BC（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.
又∵AB 的垂直平分线与AD交于点 O，
∴OB = OC = OA（三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）.
A
B
C
D
O
课堂总结
三角形三边垂直平分线定理：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

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