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5 线段的垂直平分线
第十一章 三角形的证明及其应用
学习目标
1.理解线段垂直平分线的概念；
2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）
如图，画一条线段 AB ，然后对折 AB，使 A， B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O.
你发现了什么
我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
A(B)
B
O
A
B
线段垂直平分线的性质
如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗 改变点 P 的位置，结论还成立吗
A
P
B
C
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
你能证明这一结论吗？
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
　证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
可用来证明两条线段相等
典例精析
例1.如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm B．10 cm
C．15 cm D．17.5 cm
C
想一想
你能写出下面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
逆命题
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∵ PA = PB，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∵ PA = PB，
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
典例精析
例2.已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
你还有其他证明方法吗？
C
A
B
O
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
(两点确定一条直线).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线.
∴ A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO ＝ ∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
C
A
B
O
D
典例精析
例3.已知：如图，D 是 BC 延长线上的一点，BD = BC + AC.
求证：点 C 在 AD 的垂直平分线上.
A
B
C
D
证明：因为点 D 在 BC 延长线上，
所以 BD = BC + CD，
又因为 BD = BC + AC，
∴ AC = DC，
所以点 C 在 AD 的垂直平分线上.
A
B
C
D
随堂练习
1. 如图，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是 (　　)
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分∠ACB
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
2.如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD等于(　　)
A．3 B．4
C．4.8 D．5
D
3.如图，AD⊥ BC，BD = DC，点 C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
　解：∵　AD⊥ BC，BD = DC，
∴　AD 是 BC 的垂直平分线，
∴　AB = AC.
　∴　AB = AC = CE.
∵　AB = CE，BD = DC，
∴　AB + BD = CD + CE.
即　AB + BD = DE .
∵点 C 在 AE 的垂直平分线上，
∴　AC = CE.
课堂总结
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上

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